(선형대수학) 2.3 Isomorphism

선형대수학을 비롯한 대수학(algebra)이 의미 있도록 해주는 가장 중요한 개념들 중 하나인 isomorphism에 대하여 살펴보기 이전에 필요한 집합과 함수에 관한 개념을 몇 가지 살펴보자. 전사, 단사, 일대일대응 함수 개념을 정확히 정의해보자.

 

Injective, Surjective, Bijective

 

DEFINITION            Injective Function

 

집합 \(X\)(정의역)으로부터 집합 \(Y\)(공역)으로의 함수 \(f:X\to Y\)가 \(X\)의 원소 \(x_1\), \(x_2\)에 대하여

$$ f(x_1)=f(x_2) $$

이면 항상

$$ x_1=x_2 $$일 경우 함수 \(f\)를 injective function (또는injection, one-to-one function)이라고 한다.

DEFINITION            Surjective Function

 

집합 \(X\)(정의역)으로부터 집합 \(Y\)(공역)으로의 함수 \(f:X\to Y\)가 \(Y\)의 임의의 원소 \(y\)에 대하여 

$$ y=f(x) $$

인 \(x\)가 항상 \(X\)에 존재하는 경우 함수 \(f\)를 surjective function (또는 surjection, onto function)이라고 한다.

 

DEFINITION            Bijective Function

 

집합 \(X\)(정의역)으로부터 집합 \(Y\)(공역)으로의 함수 \(f:X\to Y\)가 injective이면서 동시에 surjective이면 함수 \(f\)를 bijective function(또는 bijection, one-to-one correspondence)이라고 한다.

 

       

injective function                         Surjective function                         Bijective function

( images by Schapel, https://commons.wikimedia.org/wiki/ )

 

THEOREM            Inverse Function

 

집합 \(X\)(정의역)으로부터 집합 \(Y\)(공역)으로의 함수 \(f:X\to Y\)가 bijective function이면 \(Y\)에 대한 임의의 원소 \(y\)에 대하여 항상

$$ f(g(y))=y $$

를 만족하는 \(Y\)로부터 \(X\)로의 bijective function \(g:Y\to X\)가 (유일하게) 존재한다. 이 함수를 \(f\)에 대한 inverse function이라고 부르고 \(f^{-1}\)으로 표현한다.

 

Injective는 결국 독립변수의 값이 다르면 함수값이 다른 경우를 의미하고, surjective는 공역의 원소가 그 원소를 함수값으로 하는 정의역의 원소가 최소한 하나라도 존재해야 함을 의미한다. Bijective는 결론적으로 surjective에서 최소한이 아니라 반드시 하나가 존재하는 경우이다.

일반적으로는 함수의 식이 정해져 있다고 하더라도 정의역과 공역에 따라서 injective, surjective, bijective가 달라질 수 있다. 그러나 여기에서는 정의역, 공역을 특별히 고려하지 않아도 된다. (이후에 정의역, 공역이 역할을 하는 경우에는 다시 언급할 것이다.) 현재로서는 bijective function이 존재하면 inverse function이 존재하고 inverse function도 bijective function이라는 것만 기억하면 된다.

 

 

Examples

 

(injective)
자연수의 집합 \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수

$$ f(n)=2n $$

은 임의의 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여

$$ f(a)=2a=2b=f(b) $$

이면 \(a=b\)이므로 injective function이다.

(surjective)
정의역 \((-\infty,\infty)\)로부터 공역 \([0,\infty)\)으로 정의된 함수

$$ f(x)=x^2 $$

는 임의의 음이 아닌 실수 \(y\)에 대하여

$$ f(\sqrt{y})=y $$

이므로 surjective function이다.

 

(bijective, inverse)
실수의 집합 \(\mathbb{R}\)로부터 \(\mathbb{R}\)으로의 함수

$$ f(x)=x^3 $$

은 ① 임의의 실수 \(a\), \(b\)에 대하여

$$ f(a)=a^3=b^3=f(b) $$

이면

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)=0 $$

이므로

$$ a=b $$

또는 (\(a\)에 대한 근의 공식에 의해)

$$ a=\frac{-b\pm \sqrt{-3b^2}}{2} $$

이나 두번째 식은 루트 안쪽이 음수이기 때문에 실수가 아니므로 \(a=b\)이어야 한다. 그러므로 \(f\)는 injective하다. ② 임의의 실수 \(y\)에 대하여

$$ f(\sqrt[3]{y})=y $$

이므로 \(f\)는 surjective하다. 그러므로 \(f\)는 bijective function이다. 이 때의 inverse function은

$$ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y} $$

이다.

 

 

Isomophism

 

이제 isomorphism를 정의해 보자.

 

DEFINITION            Isomorphism

 

Vector space \(V\)와 \(W\)에 대하여 bijective한 linear transformation이 존재하는 경우 \(V\)는 \(W\)와 isomorphic하다고 한다. 이 때 bijective linear transformation을 \(V\)와 \(W\) 사이의 isomorphism이라고 부른다.

정의에 의하면 isomorphism은

 

1. linear transformation이고

 

2. bijective function이다.

 

그러므로 \(V\)에서의 vector addition과 scalar multiplication은 \(W\)의 연산으로 완전히 전환되어 계산할 수 있다. \(V\)으로부터 \(W\)로의 Isomorphism을 \(T\)라고 한다면, \(V\)에서의 연산 \(c\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\)는 \(T\)에 의해

$$ T(c\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=c(T\mathbf{v}_1)+T\mathbf{v}_2 $$

처럼 \(W\)의 연산으로 전환되고 이 계산 결과를 inverse function을 이용하면 (inverse function이 linear transforamtion임은 정의로부터 쉽게 알 수 있다)

$$ T^{-1}(c(T\mathbf{v}_1)+T\mathbf{v}_2)=c \cdot T^{-1}(T\mathbf{v}_1)+T^{-1}(T\mathbf{v}_2)=c\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 $$

로 원래 \(V\)에서의 연산의 결과를 얻게 된다. 그러므로 vector addition과 scalar multiplication이 무엇인지 알지 못하더라도 vector 연산의 결과는 isomorphism을 이용해서 쉽게 구할 수 있음을 의미한다. 더 나아가 두 vector space들의 원소가 겉보기에는 전혀 상관없어 보일지라도 isomorphic하다면 vector 연산에 있어서 두 vector space는 완전히 동일함을 의미한다. 이와 같이 수학에서는 어떤 연산구조(algebraic structure라고 부른다)에 대하여 두 집합이 완전히 동일하게 작용하는 경우 이 두 집합을 그 연산구조 하에서 isomorphic하다고 부르고 algebraic structure에서 벗어나지 않으면 두 집합을 완전히 동일하게 취급하고 둘 중에서 보다 이해하기 쉬운 집합을 이용하여 이해하기 어려운 집합을 분석한다.

Vector를 다루는 선형대수에서는 특히 isomorphic의 조건이 아주 간명하면서도 강력한 도구로 작용한다.

 

THEOREM            Isomorphic Property of Finite dimensional Vector Spaces

 

모든 \(n\)-dimensional vector space는 \(\mathbb{R}^n\)과 isomorphic하다. 즉, 모든 \(n\)-dimensional vector space는 서로 isomorphic하다.

 

증명은 간단히 isomorphism을 찾는 것인데, 임의의 \(n\)-dimensional vector space의 basis vector에 순서를 붙여서 각각을 \(\mathbb{R}^n\)의 standard basis에 연결하는 linear transformation이 bijective함을 보이기만 하면 된다. 이 정리가 의미하는 바는 위에서 설명했듯이 finite dimensional vector space를 vector 연산에서 분석하는 것은 \(\mathbb{R}^n\)을 분석하는 것과 완전히 동일하다는 것이므로 고등학교 때 '기하와 벡터'에서 배운 연산과 그 과정들이 사실상 vector의 전부라는 것을 말해준다. (선형대수학) 1.4 Coordinate Representation에서 2차 이하의 다항식들의 집합과 좌표공간의 representation이 같은 \(1\times 3\) 행렬로 표현하는 것이 가능한 것은 두 vector space가 isomorphic하기 때문이다.(동시에 \(M_{1,3}\)에도 isomorphic하다.)

 

(선형대수학) 1.1 Vector Space에서 언급했던 field를 계속 실수집합으로 가정했으나 양자역학의 각운동량에서와 같이 field가 복소수집합이라면 Theorem에서 \(\mathbb{R}^n\)은 \(\mathbb{C}^n\)처럼 field의 \(n\)-tuple이 되어야 한다.