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[확률과정] 1.3-(2) Example: Queueing Model (1) 네트워크에서 요청을 받아 처리할 때 여러 서버에 분산하는 것은 중요한 주제이다. 가장 쉽게 접할 수 있는 예가 바로 대형 마트에서 계산을 위해 계산대에서 줄을 기다리는 상황일 것이다. 이번 페이지에서는 이러한 큐 모델의 가장 간단한 형태를 Markov chain으로 기술하는 것을 살펴보 것이다. 전화가 2개 있는 사무실을 생각해보자. 이 전화 시스템은 매우 오래되었기 때문에 대기 기능이 없어 회선이 사용 중일 때 다른 전화를 받지 못한다. 이 사무실에 1분 동안 문의 전화가 새롭게 들어올 확률을 \(p\)라고 하자. 그리고 들어온 문의가 처리될 확률을 \(q\)라고 하자. 1분 사이에 연속으로 2건 이상의 문의가 동시에 들어오지는 않는다. 마찬가지로 1분 사이에 한번에 2건 이상의 문의가 처리되지는 않는.. 공감수 3 댓글수 1 2024. 1. 10.
[확률과정] 1.3-(1) Example: Random Walk (1) 컴퓨터 공학, 물리학, 화학, 경제학 등에서 종종 언급되는 랜덤 워크는 말 그대로 방향을 임의로 정해서 움직이는 stochastic process를 의미한다. 먼저 가장 간단한 형태의 랜덤 워크를 이해해보자. 한 사람이 다음 그림과 같이 길게 연결된 N개의 점 위에서 시간이 지날때마다 왼쪽 또는 오른쪽으로 움직이는 상황을 생각해보자. \(t\) 시점에 이 사람이 있는 위치를 \(X_t\) 라고 하자. 예를 들어 \(X_3=N-2\) 는 \(t=3\) 시점에 이 사람이 서있는 곳이 \(N-2\)라는 뜻이다. 이 사람이 \(t\) 시점에 \(i\) 위치에 있었을 때, \(t+1\) 시점에는 왼쪽으로 이동, 즉 \(i-1\) 위치에 있을 확률이 1/2, 오른쪽으로 이동, 즉 \(i+1\) 위치에 있을 확률이 .. 공감수 5 댓글수 5 2024. 1. 9.
[확률과정] 1.3 transition matrix 각각의 실행 때마다 어떤 체인으로 관측이 될지 궁금한 경우도 있겠지만, 여러번 실행한 결과가 어떻게 될지 궁금한 경우도 있을 것이다. 예를 들어, 넷플릭스에 회원가입한 상태를 E, 구독하여 구독료를 내고 있는 상태를 A라고 했을 때, 아래 그림대로 transition probability를 가진다고 가정해보자. 이번달에 구독하고 있는 유저는 다음달에 구독을 유지할 확률(\(p(A|A)\))이 60%, 다음달에 구독을 해지할 확률(\(p(E|A)\))이 40%... Joxemai4, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons 만약 이번달에 비구독 가입상태인 유저가 천만명, 구독 상태인 유저가 2천만명이라고 했을 때, 다음달에는 비구독인 가입자와 구독 가입자의 수는 어떻게 변할까? 먼저.. 공감수 2 댓글수 1 2024. 1. 1.
[확률과정] 1.2 Markov Chain 어느 시간 \(t\)에 내리는 결정은 그 이전 시간에 내린 모든 결정의 결과에 영향을 받는 것이 일반적인 관점일 것이다. 예를 들어, 점심 식사 메뉴를 선택할 때, 월요일에 한식을 먹고, 화요일에 분식을 먹었는데 둘다 맛이 보통이었다면, 수요일엔 아마 다른 선택을 할 것이다. 그러나 경우에 따라서는, 다음 상태의 확률이 바로 그 직전의 상태에만 영향을 받는 경우도 존재한다. 모노폴리 게임을 예로 들어보자. fir0002 flagstaffotos [at] gmail.com Canon 20D + Canon 70-200mm f/2.8 L, GFDL 1.2, via Wikimedia Commons 만약 현재 나의 위치를 왼쪽 위 가장자리의 Free Parking에 있고, Fleet Street에 도착하여 빨간색.. 공감수 2 댓글수 1 2023. 12. 31.
[확률과정] 1.1 Stochastic process 시간에 따라 일어나는 일어나는 일들이 확률에 따라 결정되는 현상을 수학적으로 기술한 것을 stochastic process(확률 과정)이라고 부른다. 예를 들어, 점심 메뉴를 한식, 중식, 일식, 양식, 분식 중에서 고르는 상황을 상상해보자. 어제 한식을 먹었다고 한다면, 오늘은 똑같은 카테고리인 한식보다는 다른 카테고리를 선택할 것이다. 그렇게 오늘 중식을 먹고, 다시 다음날 점심이 되어, 어제는 중식을 먹었으니 오늘은 양식을 먹자라고 생각할 수 있을 것이다. 이를 그림으로 나타내면, 요일 월요일 화요일 수요일 목요일 ... 카테고리 한식 중식 양식 분식 ... 이 경우, 한식 → 중식 → 양식 → 분식 → 일식 → ... 이렇게 점심 메뉴를 선택한다고 할 수 있다. 그러나 실제로 이렇게 점심 메뉴를 .. 공감수 3 댓글수 3 2023. 12. 31.
Reporducing Kernel Hilbert Space (RKHS) *임시페이지입니다. 임의의 집합 \(X\)에 정의된 실수 함수들로 이루어진 Hilbert space \(H\)를 생각해보자. 여기에 \(X\)의 한 점 \(x\)에서의 evaluation functional \(L_x\)를 다음과 같은 linear functional로 정의하자. \[ L_x (f) = f(x) \] 이 evaluation functional이 \(H\)에서 continous할 때 \(H\)를 reproducing kernel Hilbert space라고 부른다. Reproducing Kernel Hilbert Space 각 \(x\in X\)에 대하여, \(L_x\)가 \(H\)에서 continuous하면 \(H\)를 reproducing kernel Hilbert space라고 한다... 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 30.
[통계학] 5.3-(2) 큰 수의 법칙 Law of Large Numbers 주사위를 몇번 던졌을 때 샘플 평균은 실제로 주사위 값이 얼마가 나왔느냐에 따라서 다르겠지만, 수천번, 수만번 던졌을 때 샘플 평균이 어떻게 될것 같나고 물어본다면 아마 3.5 정도 될 것이라고 말할 것이다. 다음 그림은 주사위를 500번 던졌을 때까지 샘플 평균을 시뮬레이션 해본 그래프이다. 주사위를 던진 횟수를 약 10만번까지 시뮬레이션해보면 샘플 평균은 대부분 3.497~3.51 사이 값을 가진다. 따라서 주사위의 샘플 평균은 던진 횟수가 커질수록 3.5에 수렴한다고 할 수 있다. 그렇다면 3.5라는 값은 어디에서 나온 것일까? 아마 대부분 이렇게 생각했을 것이다. "1이 나올 확률은 1/6, 2가 나올 확률은 1/6, ..., 6이 나올 확률은 1/6이므로 평균은 1ⅹ1/6 + 2ⅹ1/6 + .... 공감수 0 댓글수 0 2022. 4. 27.
[통계학] 5.3-(1) 확률 변수의 수렴 Convergence of Random Variables 우리가 통계학적 도구를 사용하는 이유는 전체 분포를 알 수 없기 때문에 적당한 샘플링을 통해 전체 분포의 특징을 알아내기 위함이다. 이러한 방법이 작동하는 것은 샘플링해서 얻은 분포가 전체 분포와 비슷할 때일 것이다. 보통 샘플의 개수가 많아질 수록, 샘플로부터 얻은 값들이 모분포의 값으로 "수렴"해 간다는 것을 전제한다. 그러나 확률 변수가 어떤 확률 변수로 수렴해 간다는 미적분학에서 살펴보던 수열의 수렴과는 조금 양상이 다르다. 예를 들어, 보통 많이 사용하는 통계량인 샘플 평균에 대해서 생각해보자. A은 1,2,3,4,5의 카드 중에서 무작위로 계속 뽑고, B는 3의 카드만 계속 뽑는 경우에 카드를 계속하여 뽑을 수록 A의 샘플 평균은 B의 샘플 평균은 3에 점점 수렴하게 될 것이다. 하지만 A가 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 2.
[통계학] 5.2-(4) Example: 순서 통계량 Order Statistics 통계 모델을 세우고 무작위 샘플링을 할 때, 경우에 따라서는 가장 작은 값이나 가장 큰 값, 또는 딱 중간 위치에 있는 값들에 대하여 관심이 있을 수 있다. 예를 들어, 가스가 분출되는 관을 설계를 할 때, 가스가 분출되는 가장 큰 압력을 견딜 수 있도록 설계하기 위해서는 실험의 최대값에 대하여 관심이 있을 것이다. 또한 분포가 상당히 비대칭적인 경우 이러한 분포를 대표하는 값으로 평균 대신 사용하는 중앙값이 중간 위치에 있는 샘플링 결과라고 할 수 있다. 이번 페이지에서는 이렇게 샘플링 값의 순서에 대한 값인 order statustics에 대하여 살펴본다. # Order Satstistics DEFINITION Order Statistics Random sample \(X_1\), \(X_2\), ... 공감수 2 댓글수 1 2022. 3. 1.
Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.5 #문제 \(R\) 이 ring이라고 하자. \(a\), \(b\) 가 \(R\) 에서 zero-divisor일 때, \(a+b\) 는 반드시 zero-divisor이어야 하는가? #풀이 \(a+b\) 가 반드시 zero-divisor가 되는 것은 아니다. 반례로 \([2], ~[3] \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 는 \([2]\cdot [3] = [6] = [0]\) 이므로 zero-divisor이지만, \([2]+[3]=[5]\) 는 zero-divisor가 아니다. 공감수 0 댓글수 0 2022. 1. 5.
Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.4 #문제 각 엔트리가 ring \(R\) 의 원소인 \(n \times n\) 행렬의 집합을 \(\mathcal{M}_n(R)\) 로 표기한다. \(\mathcal{M}_n(R)\) 에서 행렬합, 행렬곱을 정의하면 \(\mathcal{M}_n(R)\) 이 ring이 됨을 증명하시오. #풀이 1. \((\mathcal{M}_n(R),+)\) 는 abelian group이다: \(R\) 이 associative, commutative이므로 행렬합 역시 associative, commutative임을 쉽게 보일 수 있다. 또한 \(O \in \mathcal{M}_n(R)\) 을 \[ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots &.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 1. 5.
Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.3 #문제 \(R\) 을 ring, \(S\) 를 집합이라고 하자. \(S \to R\) 인 모든 함수들의 집합 \(R^S\) 에 적절한 \(+\), \(\cdot\) 을 정의함으로써 \(R^S\) 가 ring(특히, \(S\) 가 singleton(원소가 1개) 일 때 \(R^S\) 는 \(R\) 의 복사본이 되는)이 됨을 설명하시오. #풀이 \(S\to R\) 인 함수 \(f\), \(g\) 에 대하여, \(f+g\) 와 \(f\cdot g\) 를 다음과 같이 정의하자. (단, 좌변의 \(+\), \(\cdot\)은 \(R^S\) 에서의 연산, 우변의 경우는 \(R\) 에서의 연산임을 주의할 것) \[ \begin{align*} (f+g)(s) &= f(s) + g(s) & (f\cdot g)(s) &=.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 1. 4.
Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.2 #문제 \(S\) 를 고정된 집합이라고 하자. \(S\) 의 power set(모든 부분집합들의 집합) \(\mathcal{P}(S)\) 에 다음과 같은 연산을 정의하자. \(A,~B \in \mathcal{P}(S)\) 에 대하여, \[ \begin{align*} A+B &:= (A \cup B) ~\backslash~ (A \cap B) & A \cdot B := A \cap B \end{align*} \] \((\mathcal{P}(S),+,\cdot)\) 이 commutative ring임을 증명하라. #풀이 \(A+B = (A\cup B) ~\backslash~ (A\cap B) = (A\backslash B)~\cup~(B\backslash A)\) 라는 것과, \(\cap\), \(\cup\.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 1. 4.
Algebra: Chapter 0, Aluffi, Exercise III.1.1 #문제 Ring \(R\) 이 \(0=1\) 일 때, \(R\) 은 zero-ring임을 증명하시오. #풀이 모든 \(r \in R\) 에 대하여, \[ r = 1 \cdot r = 0 \cdot r \] 이 때, \(0 \cdot r\) 은 \(0\) 이므로 \(r=0\) 이라는 결론을 얻는다. 따라서 \(R\) 의 원소는 \(0\) 밖에 없다. 즉, zero-ring이다. 공감수 0 댓글수 0 2022. 1. 4.
[통계학] 5.2-(3) F 분포 F-distribution 많은 영역에서, 어떤 특징을 설명해주는 값이 A 집단과 B 집단에서 어떻게 되는지 비교하는 경우가 발생한다. 예를 들어 건물 전면에서 나오는 광고의 주 배경이 빨강일 때와 파랑일 때 광고 효과에 대해서 비교하고 싶을 수 있다. 이렇게 여러 집단 간의 비교 할 때, 분산이 결과 해석에 있어 중요한 역할을 한다. 이번 페이지에서는 이러한 분산에 대해서 중요한 위치를 차지하고 있는 F 분포에 대해서 살펴본다. #Snedecor's F Distribution 5.2-(1) Example: 정규 분포에서의 샘플 평균, 샘플 분산 Sample mean and Sample variance of Random sample from Normal Distribution에서 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 8. 17.
[통계학] 5.2-(2) 스튜던트 t 분포 Student's t-distribution 5.2-(1) Example: 정규 분포에서의 샘플 평균, 샘플 분산 Sample mean and Sample variance of Random sample from Normal Distribution에서 정규 분포에서 샘플링을 한 경우, 샘플 평균과 샘플 분산은 다음과 같은 분포를 따른다는 것을 살펴보았다. \[ \begin{array}{ccc} \overline{X} & \sim & \mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) \\ \\ (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} & \sim & \chi _{n-1} ^2 \end{array} \] 특히 하나의 random sample \(X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) 와 샘플 평균을 비교.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 16.
[통계학] 5.2-(1) Example: 정규 분포에서의 샘플 평균, 샘플 분산 Sample mean and Sample variance of Random sample from Normal Distribution 이번 페이지에서는 기초 통계학에서 가장 중요하게 활용되는, 정규 분포에서 샘플링을 했을 때 얻어지는 몇 가지 결론들에 대하여 살펴본다. 여기에서 나오는 결론들은 앞으로 나오게 될 Z-test, t-test 등에서 계속 사용하게 될 것이다. #Distribution of Sample mean and Sample Variance 지난 페이지에서 sample mean과 sample variance가 random variable이다는 것을 살펴보았다. 따라서 sample mean과 sample variance는 특정한 확률 분포를 가지고 있을 것인데, 특히 모분포가 정규 분포인 경우에는 다음과 같은 분포를 따르게 된다. THEOREM Sampling from Normal Distribution \(X_1\), .. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 11.
[통계학] 5.2 통계량, 샘플 평균, 샘플 분산 Statistic, Sample Mean and Sample Variance 데이터 분석이나 통계 분석을 할 때, 측정이나 실험을 위한 샘플을 추출한 후, 측정을 하고나면 가장 먼저 구하는 것이 측정치의 평균과 분산일 것이다. 우리가 통계 분석을 하면서 이렇게 평균과 분산을 구하는 이유는 샘플들의 측정값들은 양이 많기 때문에 샘플, 더 나아가서 모집단을 특징지을 수 있는 몇 개의 수들로 표현하고자 함이다. 이렇게 모집단을 특징지을 수 있는 몇 개의 수들은 통계학에서 statistic이라는 개념으로 정의된다. 이번 페이지에서는 statistic의 정의를 살펴보고, 그 예로써 샘플 평균과 샘플 분산에 대하여 알아보자. #Statistic DEFINITION Statistic \(X_1\), ..., \(X_n\) 을 모집단에서 추출한 \(n\) 개의 random sample이라고 하.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 11.
[통계학] 5.1 무작위 추출 Random Samples 지금까지 여러 페이지를 통해 확률과 확률 분포에 대한 기초적인 수학 개념들을 살펴보았다. 그러나 이 내용들을 현실에 그대로 적용하기에는 어려움이 따른다. 가장 큰 어려움은 개별 event들이 얼마만큼의 비중으로 존재하는지 완벽히 파악하는 것이 거의 불가능에 가깝다는 것이다. 이렇게 모든 event들에 대한 정보를 완벽히 파악할 수 없을 때 사용할 수 있는 방법이 바로 통계적 방법론들이다. 이 페이지부터는 통계학에서 사용하는 개념들을 살펴보고 이에 대한 예제들을 살펴보도록 하자. #Random Samples 흔히 어떤 실험이나 측정에 대하여 통계적인 계산을 하려고 한다면, 샘플을 추출하고 측정을 한 후, 평균이나 분산을 구하는 등의 계산을 할 것이다. 이러한 프로세스의 첫 단계인 샘플을 추출하는 작업을 수.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 10.
[통계학] 4.6 다변량 분포 Multivariate Distributions 보호되어 있는 글입니다. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 10.
[통계학] 4.5-(2) Example: 이변량 정규 분포 Bivariate Normal Distribution Random variable \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 정규 분포를 따를 때, 지금까지는 \(X\) 와 \(Y\) 가 독립인 경우만 살펴보았다. 그러나 \(X\), \(Y\) 가 각각 정규 분포라고 하더라도 반드시 두 random variable이 독립일 필요는 없다. 이번 페이지에서는 2-변량 정규 분포에 대하여 정의하고 기본 특징에 대하여 살펴보자. #Bivariate Normal Distribution DEFINITION 상수 \(-\infty < \mu_X < \infty\), \(-\infty < \mu_Y < \infty\), \(0 < \sigma_X\), \(0 < \sigma_Y\), \(-1 < \rho < 1\) 에 대하여, 다음과 같은 joint pdf를 가지는 분포를 biv.. 공감수 1 댓글수 1 2021. 8. 9.
[통계학] 4.5-(1) Example: 랜덤 변수 덧셈의 분산 Variance of the Addition of Random Variables 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions에서 다음과 같은 분산의 성질에 대하여 살펴보았다. \[ \text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X) \] 이번 페이지에서는 위 식의 더 일반적인 형태로 다음의 정리를 살펴본다. THEOREM Random variable \(X\), \(Y\), 상수 \(a\), \(b\) 에 대하여, \[ \begin{equation} \text{Var}(aX+bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y) \label{varadd} \end{equation} \] 만약 \(X\) 와 \(Y\) 가 서로 독립이면, 다음이 성립한다... 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 9.
[통계학] 4.5 공분산, 상관계수 Covariance, Correlation 4.3 서로 독립인 두 개의 랜덤 변수 Bivariate Independent Random Variables 페이지에서 두 랜덤 변수가 독립인 경우를 다루었다. 하지만 현실에서 측정치나 통계치들은 서로 연관되어 있는 경우가 훨씬 많다. 예를 들어, 한라산에서 각 지점의 고도와 온도를 측정하는 경우, 고도가 높을 수록 온도가 낮게 측정될 것이다. 또 다른 예로 종이의 크기와 무게를 측정하는 경우에도 이 두 값은 서로 연관되어 있다. 이 페이지에서는 이렇게 서로 연관되어 있는 랜덤 변수들이 얼마나 하게 연결되어 있는지를 보여주는 여러 지표 중 공분산과 상관계수에 대하여 살펴볼 것이다. #Relation Between Random Variables? 먼저 랜덤 변수들이 강한 연관 관계에 있다는 것이 어떤 의미.. 공감수 2 댓글수 0 2021. 8. 9.
[통계학] 4.4-(2) Example: 서로 독립인 정규 분포의 덧셈과 차 서로 독립인 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 다음과 같은 정규 분포를 따른다고 하자. \[ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) ~~~,~~~ Y \sim \mathcal{N}(\gamma,\sigma^2) \] \(X\) 와 \(Y\) 를 이용하여 새로운 랜덤 변수 \(U=X+Y\) 와 \(V=X-Y\) 를 정의하면, 이 두 랜덤 변수는 서로 독립일까? 이를 확인하기 위하여, \(X\) 와 \(Y\) 의 joint pdf를 \(U\) 와 \(V\) 로 변환해보자. 먼저 \(X\) 와 \(Y\) 는 서로 독립이므로, joint pdf는 \[ f_{X,Y} (x,y) = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sig.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 8. 7.
[통계학] 4.4-(1) Example: 계층적 확률 모델링 다음과 같은 질문을 생각해보자. 한 꿀벌 집단에서 하나 밖에 없는 여왕벌은 한번 산란할 때 약 100~5000개의 알을 낳는다. 정상적으로 부화하는 경우에는 산란된지 약 21일 쯤에 벌이 성장하여 알을 뚫고 나오게 된다. 그러나 어떤 알들은 부화되지 못하고 그냥 썩게된다. 그렇다면 여왕벌이 한번 산란할 때 평균적으로 얼마나 많은 알들이 부화할까? 이 질문을 확률론적으로 생각해보면, 여왕벌이 산란한 알의 개수도 100~5000개 사이에 있는 랜덤 변수가 되고, 부화한 알의 개수도 랜덤 변수가 된다. 따라서 이 질문을 다음과 같이 확률 모델로 바꿀 수 있다. 랜덤 변수 \(X\)를 부화한 알의 개수, \(Y\)를 산란한 알의 개수라고 하자. \(Y\)가 \(f_Y(y)\) 분포를 따르고, 주어진 \(Y\)에.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 7. 4.
[통계학] 4.4 랜덤 변수의 변환 (2) Transformations of Random Variables (2) 2.1 랜덤 변수의 변환 (1) Transformations of Random Variables (1)에서 랜덤 변수 1개에 대한 확률 분포의 변환에 대하여 살펴보았다. 이번 페이지에서는 랜덤 변수 2개에 대한 확률 분포의 변환에 대하여 살펴보자. #Basic Idea 2차원 랜덤 벡터 \((X,Y)\) 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 새로운 2차원 랜덤 벡터 \((U,V)\) 를 생각해보자. \[ \begin{align*} U &= g_1(X,Y) \\ \\ V &= g_2(X,Y) \end{align*} \] 우리가 원하는 것은 관심이 있는 \((U,V)\) 의 사건 \(B\) 의 확률을 기존에 알고 있는 랜덤 벡터 \((X,Y)\) 의 확률로 표현하는 것이다. \((U,V)\) 가 사건 \(B\).. 공감수 0 댓글수 2 2021. 3. 2.
[통계학] 4.3-(1) 서로 독립인 두 개의 정규 분포의 덧셈 서로 독립인 랜덤 변수 \(X\) 와 \(Y\) 가 각각 정규 분포를 따른다고 하자. 새로운 랜덤 변수 \(Z=X+Y\) 를 정의했을 때 \(Z\) 는 어떤 분포를 따르게 될까? 예를 들어 평균적으로 전류 2A가 흐르는 전자기기 A와 전류 3A가 흐르는 전자기기 B를 하나의 멀티탭에 연결하면, 멀티탭에 평균적으로 흐르는 전류는 5A로 예측할 수 있다. 하지만 더 구체적으로, 전류가 4.9A~5.0A 사이에 있을 확률은? 7A 이상으로 전류가 흐를 확률은? 이런 질문에 대답하기 위해서는 총 전류의 확률 분포, 즉, [A기기의 전류 + B기기의 전류]의 확률 분포에 대하여 이야기 할 수 있어야 한다. 이번 페이지에서는 독립적인 2개의 정규 분포를 따르는 랜덤 변수의 덧셈으로 정의되는 랜덤 변수의 확률 분포에.. 공감수 3 댓글수 2 2021. 2. 27.
[통계학] 4.3 서로 독립인 두 개의 랜덤 변수 Bivariate Independent Random Variables 지난 페이지에서 랜덤 변수가 \(X\), \(Y\), 이렇게 2개일 때, \(X\) 의 값에 따라 \(Y\) 가 어떻게 분포하는지는 conditional pdf \[ f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} \] 로 정의된다는 것을 살펴보았다. 경우에 따라서는 conditional pdf \(f(y|x)\) 가 \(x\) 가 무엇인지에 상관없이 항상 똑같은 경우가 있을 수 있다. 즉, 랜덤 변수 \(Y\) 의 확률 분포는 다른 랜덤 변수 \(X\) 가 무엇이와 상관없이 '독립적'이라고 할 수 있다. 이번 페이지에서는 2개의 랜덤 변수가 어떤 경우에 서로 독립이라고 하는지 살펴보고, 서로 독립일 때 분포에는 어떤 특징들이 나타나는지 살펴보도록 한다. #Independent Random Var.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 2. 26.
[통계학] 4.2-(1) Example: 두 개의 랜덤 변수에서 조건부 최적 예측 이번 페이지의 목표는 다음 식의 증명이다. \(x\) 의 모든 함수 \(g(x)\) 에 대하여, \[ \begin{equation} \min _{g(x)} E\left[ (Y-g(X))^2 \right]=E\left[ (Y-E(Y|X))^2 \right] \label{reg} \end{equation} \] #Mean Squared Error, MSE 증명에 앞서 이 식의 의미를 파악해보자. 이 식은 단일 랜덤 변수에서 \[ \begin{equation} \min _{k \in \mathbb{R}} E\left[ (Y-k)^2 \right] = E\left[ (Y-E[Y])^2 \right] \label{reg1d} \end{equation} \] 의 일반화된 식이다. 식 \(\eqref{reg1d}\).. 공감수 0 댓글수 0 2021. 2. 21.
[통계학] 4.2 두 개의 랜덤 변수에서 조건부 확률 Conditional Probability Distributions of Two Random Variables 여러 측정값을 가지는 통계 실험에서, 특정한 측정값이 고정된 상태에서 어떤 변수가 어떻게 분포하는지 관심을 가지는 경우가 많다. 예를 들어, 경기 지역에서 부동산 가격이 4억으로 고정된 상태에서 부동산 크기의 분포가 어떻게 되는지 관심을 가질 수 있다. 이러한 내용은 1.3 조건부 확률, 독립 사건 Conditional Probability, Independent Events에서 정의한 조건부 확률의 개념을 이용하여 표현할 수 있다. 이번 페이지에서는 다중 랜덤 변수(즉, random vector)에서 조건부 확률을 살펴본다. 이하에서는 먼저 개념 정의 복잡함을 피하기 위하여 \(n\)-차원 random vector 대신 2차원 random vector \((X,Y)\) 를 사용한다. 2차원 random.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 2. 21.

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