[다양체,텐서] 1.7 Submanifold

Spherical shell \(S^2\)나 torus \(T^2\)와 같은 manifold는 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 manifold의 모양을 완전히 표현할 수 있다.

 

By MarinaVladivostok [CC0 or Public domain] , from Wikimedia Commons	By LucasVB [Public domain], from Wikimedia Commons

 

그러나 2-dimensional differentiable manifold인 Klein bottle은 3차원 Euclidean space에서 표현하게 되면 아래 그림처럼 manifold가 정상적으로 표현되지 않는다.

 

By Tttrung [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], from Wikimedia Commons

 

Spherical shell이나 torus와 같이 어떤 manifold의 subset으로써 그것이 다시 manifold의 구조를 가지는 경우 submanifold라고 부른다. 즉, Klein bottle은 3차원 Euclidean space의 submanifold가 아니다. 대신 4차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^4\)의 submanifold가 된다.

 

그렇다면 임의의 differentiable manifold가 submanifold가 되는 더 높은 차원의 Euclidean space가 항상 존재할까? 여기에서는 이 논의를 하기위해 필요한 개념들과 함께 그 답을 간략하게 소개한다.

 

 

Immersions, Embeddings, Submanifolds

 

Differentiable manifold \(M\), \(N\)이

$$ \dim{M} = \dim{N} $$

이고 differentiable map \(f:M \to N\)의 \((df)_p\)가 isomorphism인 경우 inverse function theorem에 의해 \(f\)는 local diffeomorphism이 된다. 그러나

$$ \dim{M} < \dim{N} $$

인 경우 \((df)_p\)는 isomorphism은 될 수 없고 대신 injective할 수 있을 것이다. 이러한 함수 \(f\)를 immersion이라고 부른다.

 

DEFINITION            Immersion

 

Differentiable manifold \(M\), \(N\)에 대하여, differentiable map \(f:M \to N\)이 \(M\)의 point \(p\)에서 \((df)_p : T_pM \to T_f(p)N\)이 injective이면 \(f\)를 \(p\)에서의 immersion이라고 부른다. 만약 \(f\)가 모든 점에서 immersion인 경우 \(f\)를 immersion이라고 부른다.

 

아래 그림은 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathbb{R}^2\)으로의 immersion \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\) (화살표가 \(-\infty\)와 \(\infty\)를 가리킴)을 표현한 것이다.

 

By Bobbrick (Inkscape) [Public domain], via Wikimedia Commons

 

아래 영상은 원 \(S^1\) (아래쪽 기어에 의해서 파란색 점이 움직이는 궤적)에서 꽃잎 3장 그래프 \(R\)으로의 함수 \(f:S^1 \to R\)가 differentiable임을 보여준다. 두 manifold의 tangent space가 모두 1차원 이므로 \(f\)는 immersion임을 쉽게 알 수 있다.

 

By Jahobr [CC0], from Wikimedia Commons

 

 

DEFINITION            Embedding

 

Differentiable manifold \(M\), \(N\)에 대하여, immersion \(f:M \to N\)가 \(f\)의 image \(f(M)\) 에 homeomorphism인 경우 \(f\)를 embedding이라고 부른다.

 

위의 그림은 immersion이지만 화살표가 가르키는 점에서 homeomorphic하지 않기때문에 embedding은 아니다. 역시 마찬가지로 꽃잎 3장은 원점에서 homeomorphic하지 않기때문에 embedding이 아니다.

 

그러나 local하게 볼 때는 immersion은 모든 점에서 homeomorphic하기 때문에 locally embbeing이 된다.

 

THEOREM            Submanifold

 

\(S\)를 differentiable manifold \(M\)의 subset이라고 하자. Inclusion map \(i:S \hookrightarrow N\)이 embedding이면 \(M\)의 chart \((U_i, \varphi_i)\)에 대한 restriction \((V_i, \phi_i)\)

$$ V_i = U_i \cap S $$

$$ \phi_i = \left. \varphi_i \right|_{V_i} $$

는 \(S\)의 chart가 된다. 따라서 \(S\)는 differentiable manifold이다. 이때 \(S\)를 \(M\)의 submanifold라고 부른다.

 

Klein bottle의 3차원 Euclidean space에 대한 inclusion map은 embedding이 아니기 때문에 (좁은 기둥과 큰 기둥이 만나는 지점에서 homeomorphism이 아니다) Klein bottle은 \(\mathbb{R}^3\)의 submanifold가 아니다.

 

 

Whitney Embedding Theorem

 

이제, 임의의 differentiable manifold가 submanifold가 되는 더 높은 차원의 Euclidean space가 항상 존재하는지에 대해서 알아보자. 이에 대한 답은 Whitney embedding theorem에 잘 정리되어 있다.

 

THEOREM            Whitney Embedding Theorem (strong form)

 

임의의 smooth \(m\)-dimensional manifold는 \(\mathbb{R}^{2m}\)에 smoothly embedded된다.

 

증명의 아이디어는 continuous하지 않은 부분이 겹쳐서 homeomorpihc하지 않게 만드는 점(위의 그림에서 화살표가 가르키는 점)을 더 높은 차원에서 움직이는 것처럼 푸는 방법에 있다. 예를 들어, 맨 왼쪽 그림에서 초록색 영역 위쪽의 경계선을 3차원에서 잡아 당기는 식으로 맨 오른쪽 그림을 만들어 내는 것이다. (실제 증명에서는 이런식으로 보이지는 않는다)

 

booyabazooka [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], via Wikimedia Commons

 

Whitney embedding theorem은 \(2m\) 차원 Euclidean space에서 반드시 embedded 됨을 보장하지만, 더 낮은 차원에서도 embedded 될 수 있다. 대표적인 예가 3차원에 embedded된 spherical shell과 torus이다.