[다양체,텐서] 1.7 Submanifold

Spherical shell $S^2$나 torus $T^2$와 같은 manifold는 3차원 Euclidean space ${\mathbb{R}}^3$에서 manifold의 모양을 완전히 표현할 수 있다.

 

By MarinaVladivostok [CC0 or Public domain] , from Wikimedia Commons	By LucasVB [Public domain], from Wikimedia Commons

 

그러나 2-dimensional differentiable manifold인 Klein bottle은 3차원 Euclidean space에서 표현하게 되면 아래 그림처럼 manifold가 정상적으로 표현되지 않는다.

 

By Tttrung [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], from Wikimedia Commons

 

Spherical shell이나 torus와 같이 어떤 manifold의 subset으로써 그것이 다시 manifold의 구조를 가지는 경우 submanifold라고 부른다. 즉, Klein bottle은 3차원 Euclidean space의 submanifold가 아니다. 대신 4차원 Euclidean space ${\mathbb{R}}^4$의 submanifold가 된다.

 

그렇다면 임의의 differentiable manifold가 submanifold가 되는 더 높은 차원의 Euclidean space가 항상 존재할까? 여기에서는 이 논의를 하기위해 필요한 개념들과 함께 그 답을 간략하게 소개한다.

 

 

Immersions, Embeddings, Submanifolds

 

Differentiable manifold $M$, $N$이

$$\dim M=\dim N$$

이고 differentiable map $f:M\to N$의 $(df{)}_p$가 isomorphism인 경우 inverse function theorem에 의해 $f$는 local diffeomorphism이 된다. 그러나

$$\dim M<\dim N$$

인 경우 $(df{)}_p$는 isomorphism은 될 수 없고 대신 injective할 수 있을 것이다. 이러한 함수 $f$를 immersion이라고 부른다.

 

DEFINITION            Immersion

 

Differentiable manifold $M$, $N$에 대하여, differentiable map $f:M\to N$이 $M$의 point $p$에서 $(df{)}_p:T_{p}M\to T_f(p)N$이 injective이면 $f$를 $p$에서의 immersion이라고 부른다. 만약 $f$가 모든 점에서 immersion인 경우 $f$를 immersion이라고 부른다.

 

아래 그림은 $\mathbb{R}$에서 ${\mathbb{R}}^2$으로의 immersion $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ (화살표가 $-\mathrm{\infty }$와 $\mathrm{\infty }$를 가리킴)을 표현한 것이다.

 

By Bobbrick (Inkscape) [Public domain], via Wikimedia Commons

 

아래 영상은 원 $S^1$ (아래쪽 기어에 의해서 파란색 점이 움직이는 궤적)에서 꽃잎 3장 그래프 $R$으로의 함수 $f:S^1\to R$가 differentiable임을 보여준다. 두 manifold의 tangent space가 모두 1차원 이므로 $f$는 immersion임을 쉽게 알 수 있다.

 

By Jahobr [CC0], from Wikimedia Commons

 

 

DEFINITION            Embedding

 

Differentiable manifold $M$, $N$에 대하여, immersion $f:M\to N$가 $f$의 image $f(M)$ 에 homeomorphism인 경우 $f$를 embedding이라고 부른다.

 

위의 그림은 immersion이지만 화살표가 가르키는 점에서 homeomorphic하지 않기때문에 embedding은 아니다. 역시 마찬가지로 꽃잎 3장은 원점에서 homeomorphic하지 않기때문에 embedding이 아니다.

 

그러나 local하게 볼 때는 immersion은 모든 점에서 homeomorphic하기 때문에 locally embbeing이 된다.

 

THEOREM            Submanifold

 

$S$를 differentiable manifold $M$의 subset이라고 하자. Inclusion map $i:S\hookrightarrow N$이 embedding이면 $M$의 chart $(U_i,{\phi }_i)$에 대한 restriction $(V_i,{\varphi }_i)$

$$V_i=U_i\cap S$$

$${\varphi }_i={{\phi }_i|}_{V_i}$$

는 $S$의 chart가 된다. 따라서 $S$는 differentiable manifold이다. 이때 $S$를 $M$의 submanifold라고 부른다.

 

Klein bottle의 3차원 Euclidean space에 대한 inclusion map은 embedding이 아니기 때문에 (좁은 기둥과 큰 기둥이 만나는 지점에서 homeomorphism이 아니다) Klein bottle은 ${\mathbb{R}}^3$의 submanifold가 아니다.

 

 

Whitney Embedding Theorem

 

이제, 임의의 differentiable manifold가 submanifold가 되는 더 높은 차원의 Euclidean space가 항상 존재하는지에 대해서 알아보자. 이에 대한 답은 Whitney embedding theorem에 잘 정리되어 있다.

 

THEOREM            Whitney Embedding Theorem (strong form)

 

임의의 smooth $m$-dimensional manifold는 ${\mathbb{R}}^{2m}$에 smoothly embedded된다.

 

증명의 아이디어는 continuous하지 않은 부분이 겹쳐서 homeomorpihc하지 않게 만드는 점(위의 그림에서 화살표가 가르키는 점)을 더 높은 차원에서 움직이는 것처럼 푸는 방법에 있다. 예를 들어, 맨 왼쪽 그림에서 초록색 영역 위쪽의 경계선을 3차원에서 잡아 당기는 식으로 맨 오른쪽 그림을 만들어 내는 것이다. (실제 증명에서는 이런식으로 보이지는 않는다)

 

booyabazooka [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], via Wikimedia Commons

 

Whitney embedding theorem은 $2m$ 차원 Euclidean space에서 반드시 embedded 됨을 보장하지만, 더 낮은 차원에서도 embedded 될 수 있다. 대표적인 예가 3차원에 embedded된 spherical shell과 torus이다.