[다양체, 텐서] 1.6 Integral Curve

전자기학에서 가장 중요한 방정식 중 하나인 Gauss 법칙을 이해하는데 선속이라는 개념이 등장한다. 전기장을 전하 원천에서 시작해서 뻗어나오는 선으로 인식하고 그 선이 어떤 면을 통과하는 것으로 선속을 시각화 할 수 있다. 이때, 전하 원천에서 뻗어나와 전기장을 시각화한 직선을 수학적으로 integral curve라고 한다.

 

 

Integral Curve, Local Flow

 

DEFINITION            Integral Curve

 

Smooth manifold \(M\)에 주어진 smooth vector field \(X\)에 대하여, smooth curve \(\gamma : I \to M\)가

$$ \dot{\gamma}(t) = X_{\gamma(t)} \mathrm{~~~for~}t\in (-\epsilon,\epsilon) $$

를 만족하는 경우 \(\gamma\)를 \(X\)의 integral curve라고 한다.

 

즉, integral curve 위의 모든 점에서 \(\gamma\)의 tangent vector \(\dot{\gamma}(t)\)가 그 점에서 vector field의 vector \(X_{\gamma(t)}\)와 같다는 의미이다. 아래 그림은 \(\mathbb{R}^2\)에 정의된 vector field에 대한 integral curve를 표현한 것이다.

 

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임의의 한 점 \(p \in M\)을  지나는 integral curve가 존재는 differential equation 이론에 의해 보장된다. 따라서 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

THEOREM            Local Flow

 

\(X\)를 smooth manifold \(M\)에 정의된 smooth vector field라고 하자. 각 point \(p\in M\) 마다 다음을 만족하는 \(p\)의 neighborhood \(W\)와 interval \(I=(-\epsilon,\epsilon)\), mapping \(F:W\times I \to M\) 이 존재한다.

 

① \(W\)의 고정된 point \(q\)에 대하여, curve \(F(q,t)\)가 \(q\)를 지나는 \(X\)의 integral curve가 된다.

(공백)

② \(F\)는 differentiable이다.

 

이를 만족하는 \(F\)를 (\(p\)에서) \(X\)의 local flow라고 한다.

 

예를 들어, 전기장이 펼쳐진 공간에 점 \(p\) 주변 \(W\)에 분포하는 단위 점전하들이 시간이 지남에 따라 어떻게 흘러가는지를 표현한 함수가 local flow의 직관적인 해석이다. 만약 시간 0에 단위 점전하가 \(q\in W\)에 있었다면, 시간 \(t\)에 있는 위치는 \(F(q,t)\)가 된다.

 

 

Local 1-Parameter Group

 

이제 고정된 시간 \(t\)에 대하여 다음과 같이 정의되는 mapping \(\psi_t : W \to M\) 을 생각해보자.

$$ \psi_t(q) = F(q,t) $$

이 함수는 image는 \(W\)가 시간 \(t\)에 어떻게 분포될 것인가를 표현한 함수이다. 이 때 integral curve의 정의상 vector field의 smooth함을 가정했기 때문에, 전기장의 선속이 겹치지 않는것처럼 integral curve도 겹치지 않게된다. 물리적 해석으로, \(W\)에 펼쳐놓았던 단위 점전하들이 사라지지 않는다는 의미이다. 따라서 \(\psi_t\)는 local diffeomorphism이 된다.

 

THEOREM            

 

위의 theorem에서 정의된 \(F(q,t)\)에 대하여, \(\psi_t : W \to M\) 을

$$ \psi_t(q)=F(q,t) $$

로 정의하면, 함수 \(\psi_t\)는 local diffeomorphism이다. 또한

$$ \psi_t \circ \psi_s = \psi_{t+s} $$

를 만족한다.

 

Interval \(I=(-\epsilon,\epsilon)\)에 대하여,

$$ \psi_t \circ \psi_s = \psi_{t+s} $$

를 만족하는 diffeomorphism들의 집합 \(\{\psi_t : M \to M \} _{t\in I}\) 을 local 1-parameter group of diffeomorphism이라고 부른다. 만약 interval이 \(\mathbb{R}\) 이면 이 집합을 group of diffeomorphisms라고 부른다.

 

만약 vector field \(X\)의 local flow들의 집합이 local 1-parameter group을 만들경우 \(X\)를 complete하다고 부른다. 어떤 경우 vector feild가 complete할까? 다양체 이론은 smooth vector filed \(X\)가 compact support(\(X\)값이 0이 아닌 domain의 subset이 compact인 성질)인 경우 \(X\)는 complete하다. 따라서, \(M\)이 compact하다면, 자연스럽게 모든 smooth vector field는 complete하다.

 

 

Lie Derivatives

 

--calculus, directional dervative--에서 정의한 directional derivative는 differentiable manifold에서 covariant derivative(3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives 참고)와 Lie derivative로 일반화된다. 이렇게 2가지로 구분되는 이유는 calculus에서 사용된 정의가 coordinates transformation에 대하여 invariant하지 않기때문에, Euclidean space에서 directional derivative가 되는 새로운 operation을 정의해야하는데 그 대표적인 방법이 위의 2가지이다. 여기에서는 Lie group 이론의 중요한 도구가 되는 Lie derivative에 대하여 간략하게 살펴본다.

 

DEFINITION            Lie Derivative of Function 

 

Smooth manifold \(M\)의 vector field \(X\)와 smooth function \(f:M\to \mathbb{R}\)에 대하여

$$ L_X f(p) = \left. \frac{d}{dt} ((f\circ \psi_t)(p)) \right|_{t=0} \mathrm{~~~~where~~}\psi_t = F(\cdot,t) \mathrm{~~for~~F~~the~~local~~flow~~of~~}X\mathrm{~~at~~}p $$

를 \(X\) 방향으로의 \(f\)의 Lie derivative라고 부른다.

 

 

DEFINITION            Lie Derivative of Vector Field

 

Smooth manifold \(M\)의 vector field \(X\), \(Y\)에 대하여

$$ L_X Y = \left. \frac{d}{dt} ((\psi_{-t})_\ast Y) \right|_{t=0} \mathrm{~~~~where~~}\psi_t = F(\cdot,t) \mathrm{~~for~~F~~the~~local~~flow~~of~~}X $$

를 \(X\)방향으로의 \(Y\)의 Lie derivative라고 부른다.

 

위의 정의로부터

$$ L_X f = X\cdot f $$

$$ L_X Y = [X,Y] $$

임을 계산할 수 있다.