전자기학에서 가장 중요한 방정식 중 하나인 Gauss 법칙을 이해하는데 선속이라는 개념이 등장한다. 전기장을 전하 원천에서 시작해서 뻗어나오는 선으로 인식하고 그 선이 어떤 면을 통과하는 것으로 선속을 시각화 할 수 있다. 이때, 전하 원천에서 뻗어나와 전기장을 시각화한 직선을 수학적으로 integral curve라고 한다.
Integral Curve, Local Flow
Smooth manifold
를 만족하는 경우
즉, integral curve 위의 모든 점에서
By --pbroks13talk? [Public domain], from Wikimedia Commons
임의의 한 점
①
(공백)
②
이를 만족하는
예를 들어, 전기장이 펼쳐진 공간에 점
Local 1-Parameter Group
이제 고정된 시간
이 함수는 image는
위의 theorem에서 정의된
로 정의하면, 함수
를 만족한다.
Interval
를 만족하는 diffeomorphism들의 집합
만약 vector field
Lie Derivatives
--calculus, directional dervative--에서 정의한 directional derivative는 differentiable manifold에서 covariant derivative(3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives 참고)와 Lie derivative로 일반화된다. 이렇게 2가지로 구분되는 이유는 calculus에서 사용된 정의가 coordinates transformation에 대하여 invariant하지 않기때문에, Euclidean space에서 directional derivative가 되는 새로운 operation을 정의해야하는데 그 대표적인 방법이 위의 2가지이다. 여기에서는 Lie group 이론의 중요한 도구가 되는 Lie derivative에 대하여 간략하게 살펴본다.
Smooth manifold
를
Smooth manifold
를
위의 정의로부터
임을 계산할 수 있다.
'Mathematics > 다양체(텐서)' 카테고리의 다른 글
[다양체,텐서] 2.1 Tensor Product (2) | 2018.09.08 |
---|---|
[다양체,텐서] 1.8 Orientability (0) | 2018.09.08 |
[다양체,텐서] 1.7 Submanifold (0) | 2018.08.18 |
[다양체,텐서] 1.5 Vector Fields, Lie Bracket (3) | 2018.08.12 |
[다양체,텐서] 1.4 Derivatives of Differentiable maps (0) | 2018.08.11 |
[다양체,텐서] 1.3 Tangent Space, Tangent Bundle (4) | 2018.08.07 |