[다양체,텐서] 3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives

Euclidean space에서는, translation에 의하여 point $p$에서의 tangent space가 $p$ 주변의 point $q$에서의 tangent space로 자연스럽게 연결되기 때문에 curve나 surface를 분석하기 위해서 사용되는 directional derivative가 자연스럽게 정의된다. 그러나 일반적인 manifold는 point $p$의 tangent space와 그 주변의 tangent space를 연결하는데 정해진 방법이 없다. 이렇게 tangent space 간의 연결 구조를 정의해 주는 것이 affine connection이다.

Affine Connections

DEFINITION            Affine Connection

Smooth manifold $M$에 대하여, 다음을 만족하는 bilinear map $\mathrm{\nabla }:\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$ 을 $M$의 affine connection이라고 부른다.

임의의 smooth function $f:M\to \mathbb{R}$, vector field $X$, $Y$에 대하여

1. ${\mathrm{\nabla }}_{fX}Y=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$                                                                        (1번째 변수에 대한 linearity)

2. ${\mathrm{\nabla }}_X(fY)=df(X)Y+f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$                                         (2번째 변수에 대한 Liebniz rule)

Affine connection에는 다음과 같은 특징들이 있다.

• 정의의 1번 조건에 의하여, point $x$에서 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$의 값은 $x$에서 $X$ 값에만 의존하고 주변에서의 값에는 독립적이다.
• 정의의 2번 조건에 의하여, point $x$에서 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$의 값은 $x$와 $x$ 주변의 $Y$ 값에만 의존한다.
• 만약 2개의 affine connection ${\mathrm{\nabla }}^1$, ${\mathrm{\nabla }}^2$가 존재하는 경우, point $x$에서 affine connection의 차이 $${\mathrm{\Phi }}_x(X_x,Y_x)=({\mathrm{\nabla }}_X^{1}Y-{\mathrm{\nabla }}_X^{2}Y{)}_x$$는 bundle homomorphism 2-form이 된다.
• 역으로 affine connection $\mathrm{\nabla }$와 bundle homomorphism 2-form $\mathrm{\Phi }$에 대하여, $\mathrm{\nabla }+\mathrm{\Phi }$ 는 새로운 affine connection이 된다.

Local coordiantes $x=(x^1,x^2,\cdots ,x^n)$에서 vector field $X$, $Y$는

$$\begin{array}{rcl}X& =& \sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}\\ \\ Y& =& \sum _{i=1}^n{Y}^i\frac{\partial }{\partial x^i}\end{array}$$

로 표현되고, 계수 $X^i$, $Y^i$는 smooth function이므로

$${\mathrm{\nabla }}_{X}Y=\sum _{i,j=1}^n{X}^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}+\sum _{j,k=1}^n{X}^j{Y}^k{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x^j}}\frac{\partial }{\partial x^k}$$

가 된다. 정의에 따라 ${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x^j}}\frac{\partial }{\partial x^k}$ 역시 vector field이므로 basis 전개를 다음과 같이 정의하자.

$${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x^j}}\frac{\partial }{\partial x^k}=\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

이 때, $n^3$개의 differentiable function ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$를 Christoffel Symbol이라고 부른다. Christoffel symbol은 local coordinates에서 정의된 것이므로 chart가 무엇이냐에 따라서 값이 바뀐다.

정리하면, affine connection의 local coordiantes 표현은

$${\mathrm{\nabla }}_{X}Y=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^n{X}^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum _{j,k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{X}^j{Y}^k)\frac{\partial }{\partial x^i}$$

책에 따라, ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$를 $X$방향으로 $Y$의 covariant derivative라고 부르기도 한다.

Covariant Derivatives of Tensors

Affine connection ${\mathrm{\nabla }}_X$가 vector field를 받아 결과로 vector field가 나오는 연산이라고 한다면, 같은 방식으로 1-form을 받아 결과로 1-form이 나오는 연산을 정의할 수 있을 것이다. 이를 covariant derivative라고 부른다.

DEFINITION            Covariant Derivative (1-form)

$M$을 smooth manifold, $X$를 vector field라고 하자. 1-form $\omega$에 대하여, 다음을 만족하는 1-form ${\mathrm{\nabla }}_X\omega$를 $X$ 방향으로 $\omega$의 covariant derivative라고 부른다.

$$({\mathrm{\nabla }}_X\omega )(Y)=X\cdot (\omega (Y))-\omega ({\mathrm{\nabla }}_{X}Y)\mathrm{for}\mathrm{all}Y\in \mathfrak{X}(M)$$

covariant derivative는 affine connection과 비슷한 성질을 가진다.

1. $\mathrm{\nabla }:\mathfrak{X}(M)\times {\mathrm{\Omega }}^1(M)\to {\mathrm{\Omega }}^1(M)$는 bilinear map이다.

임의의 smooth function $f:M\to \mathbb{R}$에 대하여,

2. ${\mathrm{\nabla }}_{fX}\omega =f{\mathrm{\nabla }}_X\omega$

3. ${\mathrm{\nabla }}_X(f\omega )=df(X)\omega +f{\mathrm{\nabla }}_X\omega$

Local coordinates $x=(x^1,X^2,\cdots ,X^n)$에서 1-form $\omega$

$$\omega =\sum _{i=1}^n{\omega }_{i}d{x}^i$$

의 covariant derivative는, 위에서 정의한 Christoffel symbol

$${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x^j}}\frac{\partial }{\partial x^k}=\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

을 이용하여,

$${\mathrm{\nabla }}_X\omega =\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^n{X}^j\frac{\partial {\omega }_i}{\partial x^j}-\sum _{j,k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k{X}^j{\omega }_k)d{x}^i$$

로 표현된다.

이를 일반적인 tensor로 확장하면, ${\mathrm{\nabla }}_X$를 $(p,q)$-tensor를 받아 결과로 $(p,q)$-tensor가 나오는 연산이라고 정의할 수 있다.

DEFINITION            Covariant Derivative (tensor)

$M$을 smooth manifold, $Y$를 vector field라고 하자. Tensor $T$에 대하여, 다음을 만족하는 ${\mathrm{\nabla }}_{X}T$를 $X$ 방향으로 $T$의 covariant derivative라고 부른다.

임의의 1-form ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ... , vector field $X_1$, $X_2$, ... 에 대하여,

$({\mathrm{\nabla }}_{Y}T)({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )=Y\left(T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )\right)$

$-T({\mathrm{\nabla }}_Y{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )-T({\alpha }_1,{\mathrm{\nabla }}_Y{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )-\dots$

$-T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\mathrm{\nabla }}_Y{X}_1,X_2,\dots )-T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,{\mathrm{\nabla }}_Y{X}_2,\dots )-\dots$

Covariant derivative의 local coordinates 표현은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}({\mathrm{\nabla }}_{e_c}T{)}_{b_1\dots b_s}^{a_1\dots a_r}& =& \frac{\partial }{\partial x^c}{T}_{b_1\dots b_s}^{a_1\dots a_r}\\ \\ & & +\sum _d{\mathrm{\Gamma }}_{dc}^{a_1}{T}_{b_1\dots b_s}^{d{a}_2\dots a_r}+\cdots +\sum _d{\mathrm{\Gamma }}_{dc}^{a_r}{T}_{b_1\dots b_s}^{a_1\dots a_{r-1}d}\\ \\ & & -\sum _d{\mathrm{\Gamma }}_{b_{1}c}^d{T}_{d{b}_2\dots b_s}^{a_1\dots a_r}-\cdots -\sum _d{\mathrm{\Gamma }}_{b_{s}c}^d{T}_{b_1\dots b_{s-1}d}^{a_1\dots a_r}\end{array}$$