[다양체,텐서] 3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives

Euclidean space에서는, translation에 의하여 point \(p\)에서의 tangent space가 \(p\) 주변의 point \(q\)에서의 tangent space로 자연스럽게 연결되기 때문에 curve나 surface를 분석하기 위해서 사용되는 directional derivative가 자연스럽게 정의된다. 그러나 일반적인 manifold는 point \(p\)의 tangent space와 그 주변의 tangent space를 연결하는데 정해진 방법이 없다. 이렇게 tangent space 간의 연결 구조를 정의해 주는 것이 affine connection이다.

Affine Connections

DEFINITION            Affine Connection

Smooth manifold \(M\)에 대하여, 다음을 만족하는 bilinear map \(\nabla : \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)\) 을 \(M\)의 affine connection이라고 부른다.

임의의 smooth function \(f:M \to \mathbb{R}\), vector field \(X\), \(Y\)에 대하여

1. \(\nabla _{fX}Y = f \nabla_XY\)                                                                        (1번째 변수에 대한 linearity)

2. \(\nabla _X(fY) = df(X)Y + f\nabla_XY\)                                         (2번째 변수에 대한 Liebniz rule)

Affine connection에는 다음과 같은 특징들이 있다.

• 정의의 1번 조건에 의하여, point \(x\)에서 \(\nabla _{X}Y\)의 값은 \(x\)에서 \(X\) 값에만 의존하고 주변에서의 값에는 독립적이다.
• 정의의 2번 조건에 의하여, point \(x\)에서 \(\nabla _{X}Y\)의 값은 \(x\)와 \(x\) 주변의 \(Y\) 값에만 의존한다.
• 만약 2개의 affine connection \(\nabla^1\), \(\nabla^2\)가 존재하는 경우, point \(x\)에서 affine connection의 차이 $$ \Phi_x(X_x,Y_x)=(\nabla^1 _XY- \nabla^2 _XY)_x $$는 bundle homomorphism 2-form이 된다.
• 역으로 affine connection \(\nabla\)와 bundle homomorphism 2-form \(\Phi\)에 대하여, \(\nabla + \Phi\) 는 새로운 affine connection이 된다.

Local coordiantes \(x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)\)에서 vector field \(X\), \(Y\)는

$$ \begin{eqnarray} X & = & \sum_{i=1} ^n X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \\ \\ Y & = & \sum_{i=1} ^n Y^i \frac{\partial}{\partial x^i} \end{eqnarray} $$

로 표현되고, 계수 \(X^i\), \(Y^i\)는 smooth function이므로

$$ \nabla _XY = \sum_{i,j=1} ^n X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x^j} \frac{\partial}{\partial x^i} + \sum_{j,k=1} ^n X^j Y^k ~\nabla _{\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac{\partial}{\partial x^k} $$

가 된다. 정의에 따라 \(\nabla _{\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac{\partial}{\partial x^k}\) 역시 vector field이므로 basis 전개를 다음과 같이 정의하자.

$$ \nabla _{\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac{\partial}{\partial x^k} = \sum_{i=1} ^n \Gamma ^i _{jk} ~\frac{\partial}{\partial x^i} $$

이 때, \(n^3\)개의 differentiable function \(\Gamma ^i _{jk}\)를 Christoffel Symbol이라고 부른다. Christoffel symbol은 local coordinates에서 정의된 것이므로 chart가 무엇이냐에 따라서 값이 바뀐다.

정리하면, affine connection의 local coordiantes 표현은

$$ \nabla _XY = \sum_{i=1} ^n \left( \sum_{j=1} ^n X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x^j} + \sum_{j,k=1} ^n \Gamma ^i _{jk} X^j Y^k \right) \frac{\partial}{\partial x^i} $$

책에 따라, \(\nabla _XY\)를 \(X\)방향으로 \(Y\)의 covariant derivative라고 부르기도 한다.

Covariant Derivatives of Tensors

Affine connection \(\nabla _X\)가 vector field를 받아 결과로 vector field가 나오는 연산이라고 한다면, 같은 방식으로 1-form을 받아 결과로 1-form이 나오는 연산을 정의할 수 있을 것이다. 이를 covariant derivative라고 부른다.

DEFINITION            Covariant Derivative (1-form)

\(M\)을 smooth manifold, \(X\)를 vector field라고 하자. 1-form \(\omega\)에 대하여, 다음을 만족하는 1-form \(\nabla _X \omega\)를 \(X\) 방향으로 \(\omega\)의 covariant derivative라고 부른다.

$$ (\nabla _X \omega) (Y) = X \cdot (\omega(Y)) - \omega(\nabla _XY) \mathrm{~~~~~~~~~for~~all~~}Y \in \mathfrak{X}(M) $$

covariant derivative는 affine connection과 비슷한 성질을 가진다.

1. \(\nabla : \mathfrak{X}(M) \times \Omega^1(M) \to \Omega^1(M)\)는 bilinear map이다.

임의의 smooth function \(f:M\to \mathbb{R}\)에 대하여,

2. \(\nabla _{fX}\omega = f \nabla _X\omega\)

3. \(\nabla _X(f\omega) = df(X)\omega + f\nabla _X\omega\)

Local coordinates \(x=(x^1, X^2, \cdots, X^n)\)에서 1-form \(\omega\)

$$ \omega = \sum_{i=1} ^n \omega_i ~dx^i $$

의 covariant derivative는, 위에서 정의한 Christoffel symbol

$$ \nabla _{\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac{\partial}{\partial x^k} = \sum_{i=1} ^n \Gamma ^i _{jk} ~\frac{\partial}{\partial x^i} $$

을 이용하여,

$$ \nabla_X\omega = \sum_{i=1} ^n \left( \sum_{j=1} ^n X^j \frac{\partial \omega_i}{\partial x^j} - \sum_{j,k=1} ^n \Gamma ^k _{ji} X^j \omega_k \right) dx^i $$

로 표현된다.

이를 일반적인 tensor로 확장하면, \(\nabla _X\)를 \((p,q)\)-tensor를 받아 결과로 \((p,q)\)-tensor가 나오는 연산이라고 정의할 수 있다.

DEFINITION            Covariant Derivative (tensor)

\(M\)을 smooth manifold, \(Y\)를 vector field라고 하자. Tensor \(T\)에 대하여, 다음을 만족하는 \(\nabla _X T\)를 \(X\) 방향으로 \(T\)의 covariant derivative라고 부른다.

임의의 1-form \(\alpha_{1}\), \(\alpha_{2}\), ... , vector field \(X_{1}\), \(X_{2}\), ... 에 대하여,

\( (\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=Y\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right) \)

\( -T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\ldots \)

\( -T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\ldots \)

Covariant derivative의 local coordinates 표현은 다음과 같다.

$$ \begin{eqnarray} (\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}} _{b_{1}\ldots b_{s}} & = & \frac{\partial}{\partial x^{c}} T^{a_{1}\ldots a_{r}} _{b_{1}\ldots b_{s}} \\ \\ & & + \sum_{d} \Gamma ^{a_{1}} _{dc}~T^{da_{2}\ldots a_{r}} _{b_{1}\ldots b_{s}} + \cdots + \sum_{d} \Gamma ^{a_{r}} _{dc} ~T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d} _{b_{1}\ldots b_{s}} \\ \\ & & - \sum_{d} \Gamma ^{d} _{b_{1}c}~T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -\sum_{d}\Gamma ^{d} _{b_{s}c}~T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d} \end{eqnarray} $$