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[양자역학] 1.2 상태 벡터 State Vectors (공백)1. 물리적 시스템은 inner producr가 정의된 complex vector space의 원소인 vector \(\left| \psi \right\rangle\)로 표현된다. 이 vector를 state vector라고 부른다.(공백) 선형대수학에서 vector space는 몇가지 공리들을 만족하는 집합을 말한다. 고전역학이나 전자기학에서 vector를 \(\vec{r}\) 또는 \(\mathbf{r}\) 처럼 표현했던 것과는 다르게 양자역학에서는 이 state vector를 \(\left| f \right\rangle\) 와 같이 표현한다. Inner product는 vector space에 정의되는 연산이다. State vector의 inner product를 \(\left\langle .. 2018. 10. 10.
[양자역학] 1.1 양자역학 기본 가정 The Postulates of Quantum Mechanics 물리 현상을 기술한다는 것은 기술하고자 하는 물리적 시스템과 상태(states), 시스템의 상태를 대표해주는 관측값(observables), 그리고 시간의 변화에 따른 상태의 변화(dynamics)를 밝히는 것을 말한다. 따라서 양자역학적으로 물리 현상을 기술하기 위해서는 states, observables, dynamics가 양자역학에서 어떻게 표현되는지 먼저 알아야 한다. 이번 페이지에서는 양자역학의 기본 가정을 살펴보고 이를 통해 물리 현상이 어떻게 기술되는지를 살펴본다. #The Postulates of Quantum Mechanics양자역학이 state, observable, dynamics를 기술하는 방식을 고전역학에서 기술하는 방식과 비교해 보면 다음과 같이 정리된다. (몇몇 개념들은 수학적.. 2018. 10. 9.
[양자역학] PRE. Mathematical Introduction 양자역학을 배우는 방식은 교재마다, 역사적인 순서를 따라 흑체 복사, 광전 효과, 파동-입자 이중성, 보어 모형, 슈뢰딩거 방정식을 순차적으로 소개하는 방식을 선택하기도 하고, 양자역학의 공리로부터 이론을 전개하는 방식을 선택하기도 한다. 주로 역사적인 순서를 따르는 방식은 양자역학의 특이한 현상을 소개하고 설명하기에는 유리하지만, 이론 자체를 이해하기에는 공리로부터 시작하는 것이 더 유리하다. 본 블로그에서는 양자역학의 공리에서 시작하여 쉬운 모형부터 점차 어려운 모형까지 살펴볼 것이다. 본격적인 논의에 들어가기에 앞서, 양자역학의 이론을 전개하기 위해서는 선형대수학 개념들이 필요하다. 특히 양자역학에서 중요한 개념들을 아래에 소개한다. 1. Vector, Basis Expansion, Matrix R.. 2018. 10. 6.
[다양체,텐서] 1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 미적분학에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 surface의 한 점에 접하는 평면을 tangent plane이라고 부른다. By Alexwright at English Wikipedia [Public domain], via Wikimedia Commons 이 페이지에서는 한 점에 대한 tangent plane이 differentiable manifold에서 일반화된 개념에 대하여 살펴본다. Tangent Space 미적분학에서 plane을 표현하는 방법에는 여러가지 방식이 있다. 가장 익숙한 방식으로는 1차 2-변수 함수를 이용하여 $$ s(x,y)=x+y $$ 와 같이 표현할 수 있다. 그러나 이러한 방식은 tangent plane이 3차원 Euclidean spa.. 2018. 8. 7.
(선형대수학) 5.6 Classical Orthogonal Polynomials 전자기학의 Laplace equation, 양자역학의 Schrödinger equation, 열역학의 heat equation, 금융공학의 Black-Sholes equation 등 많은 영역에서 second-order partial differential equation을 푸는 것은 중요한 문제이다. 이번 페이지에서는 이러한 미분방정식의 해에 대한 선형대수학 구조를 살펴본다. (Field는 real number로 가정한다.) The Space of Continuous Functions 정의역 \(X=[0,1]\)에서 정의되는 함수 \(y\)에 대한 미분방정식 $$ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 $$ 을 살펴보자. 이 방정식이 성립하려면 함수 \(y\)는 \([0,1]\)에서 최소한 2번.. 2018. 8. 5.
(선형대수학) 5.5 Bounded Linear Functionals (선형대수학) 2.4 Dual Space에서 vector space의 linear functional을 정의했다. 이제 Hilbert space에서 정의된 특별한 종류의 linear functional을 살펴보자.(이하에서 사용될 \(\sup{}\)의 개념을 잘 모른다면 \(\max{}\)로 대체해서 생각해도 무방하다. ---analysis-supremum,infimum--- 참고) Bounded Linear Fuctionals DEFINITION Bounded Linear Functionals on Hilbert Space Hilbert space \(H\)의 linear functional \(F:H\to \mathbb{C}\)가 $$ \sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\l.. 2018. 8. 3.

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