[양자역학] 1.1 양자역학 기본 가정 The Postulates of Quantum Mechanics

물리 현상을 기술한다는 것은 기술하고자 하는 물리적 시스템과 상태(states), 시스템의 상태를 대표해주는 관측값(observables), 그리고 시간의 변화에 따른 상태의 변화(dynamics)를 밝히는 것을 말한다. 따라서 양자역학적으로 물리 현상을 기술하기 위해서는 states, observables, dynamics가 양자역학에서 어떻게 표현되는지 먼저 알아야 한다. 이번 페이지에서는 양자역학의 기본 가정을 살펴보고 이를 통해 물리 현상이 어떻게 기술되는지를 살펴본다.

#The Postulates of Quantum Mechanics

양자역학이 state, observable, dynamics를 기술하는 방식을 고전역학에서 기술하는 방식과 비교해 보면 다음과 같이 정리된다. (몇몇 개념들은 수학적으로 더 엄밀히 정의된 개념들을 사용해야 하지만 물리학과 학부수준에서는 혼용하여 사용한다.)

고전역학	양자역학
1. 물리적 시스템은 phase space( \(x\) 와 \(p\) 로 표현된 공간) 상의 한 점으로 표현된다.	(공백) 1. 물리적 시스템은 inner product가 정의된 complex vector space의 원소인 vector \(\left| \psi \right\rangle\) 로 표현된다. 이 vector를 state vector라고 부른다. (공백)
2. 물리적인 값의 측정은 \(x\) 와 \(p\) 에 대한 함수로 표현된다.	(공백) 2. 물리적인 값의 측정은 hermitian operator로 표현되며, 측정값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다. (공백)
3. observable \(l\)의 측정은 함수값 \(l(x,p)\)가 된다. 측정은 시스템에 아무 영향을 주지 않는다.	(공백) 3. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 가 observable \(L\) 에 대한 측정이 eigenvalue \(l\) (그리고 이에 대한 eigenvector를 \(\left| l \right\rangle\) )이 될 확률은 \( |\left\langle \left. l \right| \psi \right\rangle |^2\) 에 비례한다. 측정의 결과로 state vector는 \(\left| \psi \right\rangle\) 에서 \(\left| l \right\rangle\) 로 변한다. (공백)
(공백) 4. 물리적 시스템은 시간에 대하여 Hamilton's equation을 따른다.( \(\mathcal{H}\) 는 시스템의 Hamiltonian) $$ \begin{eqnarray*} \dot{x} & = & \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} \\ \dot{p} & = & -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} \end{eqnarray*} $$	4. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 의 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( \(H\) 는 시스템의 Hamiltonian operator) $$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle $$

다음 페이지부터 각 항목에 대하여 자세히 살펴본다. 이후 설명은 선형대수에 익숙하다고 가정한 설명이므로, 내용이 너무 어렵다고 느껴지면, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①부터 시작해도 된다.