[양자역학] 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements

양자역학에서 측정 결과는 확률적으로 나오기 때문에, 확률론에 따라 expectation(기대값)과 variance(분산)을 계산할 수 있다.

#Expectations of Observables

Observable \(L\)에 대하여, eigenvalue가 \(l_1\) , \(l_2\) , ... , \(l_n\) 이 가능하고, 각각의 orthonormal eigenvector를 \(\left| l_i \right\rangle\) 로 표현하자.

임의의 normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\)이

$$ \left| \psi \right\rangle = \sum_{j=1} ^n ~a_j ~\left| l_j \right\rangle $$

과 같이 표현된다고 하면, \(L\) 을 측정했을 때 측정값이 \(l_i\)가 될 확률은 \(\left| a_i \right|^2\) 이므로, 확률론의 expected value의 정의^[각주:1]

$$ E[L] = \sum_{i=1} ^n ~l_i \times P(l_i) $$

으로부터

$$ E[L] = \sum_{i=1} ^n ~l_i\left|a_i\right|^2 $$

가 된다. 이 때, 계수 \(a_i\) 는 eigenvector의 orthonormality로부터

$$ a_i = \left\langle l_i | \psi \right\rangle $$

이므로

$$ \begin{eqnarray*} E[L] & = & \sum_{i=1} ^n a_i a_i ^*  ~=~ \sum_{i=1} ^n l_i a_i \left\langle \psi | l_i \right\rangle \\ \\ & = & \left\langle \psi ~\left| ~\sum_{i=1} ^n a_i l_i ~\right| l_i \right\rangle ~=~ \left\langle \psi ~\left| ~\sum_{i=1} ^n a_i L ~\right| l_i \right\rangle \\ \\ & = & \left\langle \psi ~\left| ~L ~\left( \sum_{i=1} ^n a_i \right| l_i \right\rangle \right) \\ \\ & = & \left\langle \psi | L | \psi \right\rangle \end{eqnarray*} $$

를 얻을 수 있다. 보통 양자역학에서는 expectation을 \(E[L]\) 대신 \(\left\langle L \right\rangle\) 로 표현한다.

THEOREM            Expectation of Observable

Normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\) 에서 observable \(L\) 을 측정하였을 때, 측정값의 expectation은 다음과 같다.

$$ \left\langle L \right\rangle = \left\langle \psi | L | \psi \right\rangle $$

#Variances of Observables

같은 방식으로 측정값의 variance를 구할 수 있다. 확률론의 variance의 정의^[각주:2]

$$ \mathrm{var}(L) = E[ (L-E[L])^2 ] = E[L^2] - E[L]^2 $$

으로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

THEOREM            Variance of Observable

Normalized state vector \(\left\langle \psi \right\rangle\) 에서 observable \(L\) 을 측정하였을 때, 측정값의 variance는 다음과 같다.

$$ (\Delta A)^2 = \left\langle \psi \left| (L-\left\langle L \right\rangle)^2 \right| \psi \right\rangle = \left\langle L^2 \right\rangle - \left\langle L \right\rangle ^2 $$

#Comments on Measurements in Experiments

보통 실험에서는 하나의 system에 대하여 한번 측정을 하는 것이 아니라, Abogadro constant(약 \(6.022 \times 10^{23}\)) 수준의 갯수의 system에 대하여 여러번 측정한 것을 평균으로 하는 것이다. 예를 들어, 1-atom 이상기체의 온도를 측정한다는 것은 모든 입자의 운동에너지를 평균적으로 측정하는 것으로, 수식적으로^[각주:3]

$$ T = \frac{2}{3k_B} \left\langle K \right\rangle $$

로 표현된다. 따라서, 하나의 system은 observable의 eigenvalue만 측정될 수 있는데도 불구하고, 실험에서는 평균값을 측정하는 것이기 때문에 eigenvalue가 아닌 값이 측정될 수 있다. 하지만 단 하나의 systme에 대하여 단 한번 측정을 하는 경우에는 반드시 eigenvalue로만 측정된다.

1. Expected value의 자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고. [본문으로]
2. 확률론의 variance의 자세한 내용은 [통계학] 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions 참고. [본문으로]
3. 이상기체의 에너지와 온도의 관계는 --thermal,ideal gas-- 참고. [본문으로]