다양체7 [다양체,텐서] 2.7 Stokes' Theorem 전자기학에서 사용되는 vector calculus의 중요한 theorem인 divergence theorem$$ \int _V (\nabla \cdot \mathbf{F}) ~dV = \oint _S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) ~dS $$는 divergence가 3차원 Euclidean space에서 2-form의 exterior derivative라는 점과 submanifold \(V\)와 그 submanifold \(S\), inclusion map \(i\)를 이용하면,$$ \int _V dF = \int _S i^\ast F $$로 표현할 수 있다. 또다른 정리 Stoke's theorem$$ \int _\Sigma (\nabla \times \mathbf{F})\cdo.. 2018. 9. 9. [다양체,텐서] 2.3 Tensor Fields Manifold의 기하학에 등장하는 curvature와 같은 오브젝트를 다루기 위해서는 tensor field를 정의해야 한다. 이 페이지에서는 manifold에서의 tensor field와 tensor의 coordinate change에 대하여 살펴본다. Cotangent Space \(n\)-dimentional differentiable manifold \(M\)에 정의 되는 real-valued differentiable function \(f:M \to \mathbb{R} \) 에 대하여, \(M\)의 point \(p\)에서의 differential \((df)_p\) 를 생각해보자. 1.4 Derivatives of Differentiable maps에서 정의한 것과 같이 \((df)_p\).. 2018. 9. 8. [다양체,텐서] 1.5 Vector Fields, Lie Bracket 고전역학에서 사용하는 천체의 위치 벡터나 운동량 벡터는 입자가 차지하고 있는 한 점에 정의된 벡터라는 점으로부터 앞에서 설명한 tangent vector라고 할 수 있다. 이와는 다르게 전자기학에서 사용하는 전기장, 자기장과 같은 개념들은 공간의 각 점마다 vector가 정의된 vector field의 개념이다. 본 포스팅에서는 manifold에서 vector field를 정의한다. Vector Field Vector field를 엄밀히 정의하기 위해서는 위상수학의 fiber bundle의 개념을 사용하여 정의해야 하지만, differentiable manifold의 개념들이 이미 정의되어 있으므로 이들을 이용하여 더 쉽게 정의할 수 있다. DEFINITION Vector Field Differentia.. 2018. 8. 12. [다양체,텐서] 1.4 Derivatives of Differentiable maps 미적분학에서 '미분'이라는 개념은 linear approximation이라는 개념으로 설명된다.(--calculus, differential-- 참고) $$ \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) = df_x (\Delta x) + \epsilon \mathrm{~~where~} \frac{\epsilon}{\Delta x} \to 0 \mathrm{~as~}\Delta x \to 0 $$ \(\Delta x\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 tangent vector라고 할 수 있으므로, differential \(df_x\)는 tangent space에서 tangent space로의 linear transformation이라고 볼 수 있다.([선형대수학] 2.1 Linear Tr.. 2018. 8. 11. [다양체,텐서] 1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 미적분학에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에서 surface의 한 점에 접하는 평면을 tangent plane이라고 부른다. By Alexwright at English Wikipedia [Public domain], via Wikimedia Commons 이 페이지에서는 한 점에 대한 tangent plane이 differentiable manifold에서 일반화된 개념에 대하여 살펴본다. Tangent Space 미적분학에서 plane을 표현하는 방법에는 여러가지 방식이 있다. 가장 익숙한 방식으로는 1차 2-변수 함수를 이용하여 $$ s(x,y)=x+y $$ 와 같이 표현할 수 있다. 그러나 이러한 방식은 tangent plane이 3차원 Euclidean spa.. 2018. 8. 7. [다양체,텐서]1.2 Differentiable Maps, Diffeomorphism 수학에서는 한 종류의 space 개념이 소개되면, 그 다음에는 항상 그 종류의 space들 사이의 함수를 살펴보고 특별한 특성을 가진 작업을 한다. Differentiable manifold가 Euclidean space 사이의 함수의 미분을 일반적인 space로 확장하기 위한 것이므로 여기에서는 differentiable manifold 사이의 함수에 대한 미분 가능성을 살펴본다. Differentiable Map DEFINITION Differentiable Map \(m\)-dimensional differentiable manifold \(M\)과 \(n\)-dimensional differentiable manifold \(N\)에 대하여, 함수 \(f:M\to N\)이 $$ \psi ^{-1}.. 2018. 8. 7. [다양체,텐서] 1.1 Differentiable Manifolds Newton 역학에서 다루는 천체의 운동, 고전 전자기학에서 등장하는 전기장과 자기장의 변화 등은 미적분학에서 배운 Euclidean space, 특히 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\) 벡터의 미분과 적분으로 표현된다. 예를 들어, 사람이 비스듬하게 공을 던졌을 때, 시간\(t\)에 대한 공의 위치를 \(\vec{r}(t)\)라고 하면, newton의 방정식 $$ \vec{F}_{\text{gravity}}=m\vec{g}=m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} ~~,~~ \vec{r}(t_0) = \vec{r}_0 ~~,~~ \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0)= \vec{v}_0 $$ 와 같이 표현된다. 이렇게 물리적 현상이 벡터의 미분과 적분으로 표현 가.. 2018. 8. 6. 이전 1 다음
