[다양체,텐서] 2.3 Tensor Fields

Manifold의 기하학에 등장하는 curvature와 같은 오브젝트를 다루기 위해서는 tensor field를 정의해야 한다. 이 페이지에서는 manifold에서의 tensor field와 tensor의 coordinate change에 대하여 살펴본다.

 

 

Cotangent Space

 

$n$-dimentional differentiable manifold $M$에 정의 되는 real-valued differentiable function $f:M\to \mathbb{R}$ 에 대하여, $M$의 point $p$에서의 differential $(df{)}_p$ 를 생각해보자. 1.4 Derivatives of Differentiable maps에서 정의한 것과 같이 $(df{)}_p$는 $M$의 tangent space로부터 $\mathbb{R}$로의 linear transformation이 된다.

$$(df{)}_p:T_{p}M\to \mathbb{R}$$

즉, [선형대수학] 2.4 Dual Space에서 정의한 것과 같이, $(df{)}_p$는 $T_{p}M$의 linear functional이다.

 

DEFINITION            Cotangent Space

 

Differentiable manifold $M$의 point $o$에 대하여, $p$에서의 모든 real-valued differentiable function의 differential $(df{)}_p$의 집합을 $p$에서의 cotangent space라고 부르고 $T_p^{\ast }M$로 표현한다.

 

즉, $T_p^{\ast }M$는 $p$에서의 tangent space $T_{p}M$의 dual space이다.

 

 

이제 $M$의 local coordinate를 $x$라고 하고 $i$번째 coordinate function을 $x^i$라고 하자.

$$x(p)=(x^1(p),x^2(p),\cdots ,x^n(p))$$

1.3 Tangent Space, Tangent Bundle에서 본 것과 같이,

$${\left(\frac{\partial }{\partial x^j}\right)}_p$$

는 $T_{p}M$의 basis vector가 된다. 이제 $(d{x}^i{)}_p$가 ${\left(\frac{\partial }{\partial x^j}\right)}_p$에 어떤 값을 주는지 살펴보면,

$$(d{x}^i{)}_p{\left(\frac{\partial }{\partial x^j}\right)}_p={\frac{\partial x^i}{\partial x^j}|}_p={\delta }_{ij}$$

따라서

$$\{(d{x}^1{)}_p,(d{x}^2{)}_p,\cdots ,(d{x}^n{)}_p\}$$

는

$$\{{\left(\frac{\partial }{\partial x^1}\right)}_p,{\left(\frac{\partial }{\partial x^2}\right)}_p,\cdots ,{\left(\frac{\partial }{\partial x^n}\right)}_p\}$$

의 dual basis임을 알 수 있다.

 

 

Tensor Field

 

$M$의 point $p$에서 vector space $T_{p}M$과 dual space $T_p^{\ast }M$를 tensor product하여 tensor space를 만들 수 있다. 이제, 1.5 Vector Fields, Lie Bracket에서 vector field를 정의한 것과 같이 tensor field를 정의할 수 있다.

 

DEFINITION            Tensor Field 

 

Differentiable manifold $M$으로부터 tensor bundle $T^{(r,s)}M$ 으로의 함수

$$\begin{array}{rclrc}T& :& M& \to & T^{(r,s)}M\\ \\ & & p& \mapsto & T(p):=T_p\in {\mathcal{T}}^{(r,s)}(T_p^{\ast }M,T_{p}M)\end{array}$$

를 $M$의 tensor field라고 한다.

 

위에서 본것과 같이, local coordinate를 $x$라고 하면, $T_{p}M$의 basis는

$$\{{\left(\frac{\partial }{\partial x^1}\right)}_p,{\left(\frac{\partial }{\partial x^2}\right)}_p,\cdots ,{\left(\frac{\partial }{\partial x^n}\right)}_p\}$$

$T_p^{\ast }M$의 basis는

$$\{(d{x}^1{)}_p,(d{x}^2{)}_p,\cdots ,(d{x}^n{)}_p\}$$

이므로 basis들의 tensor product

$$\{(d{x}^{i_1}{)}_p\otimes \cdots \otimes (d{x}^{i_r}{)}_p\otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_1}}\right)}_p\otimes \cdots \otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_s}}\right)}_p\}$$

는 ${\mathcal{T}}^{(r,s)}(T_p^{\ast }M,T_{p}M)$의 basis가 된다.

 

 

따라서 local coordinate에서 일반적인 $(r,s)$-tensor field $T$는

$$T(p)=\sum _{\begin{array}{}{i}_1,\cdots ,i_r\\ j_1,\cdots ,j_s\end{array}}{T}_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}(p)(d{x}^{i_1}{)}_p\otimes \cdots \otimes (d{x}^{i_r}{)}_p\otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_1}}\right)}_p\otimes \cdots \otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_s}}\right)}_p$$

로 표현된다. 보통 상대성이론에서는 위의 표현 대신 coefficient만 사용해서

$$T_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}(p)$$

로 표현한다.

 

 

Coordinate Changes of Tensors

 

Point $p$가 chart $U$와 $V$에 대하여 각각의 parametrization $x$, $y$에 의해 표현될 때, local coordinate $x$에서의 basis vector

$${\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}_p$$

는 $y$에서의 basis vector로 전개할 수 있다. (1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 참고)

$${\left(\frac{\partial }{\partial x^j}\right)}_p=\sum _{l=1}^n{\left(\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\right)}_p{\left(\frac{\partial }{\partial y^l}\right)}_p$$

또한, [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations에서 본것과 같이 dual basis는 basis change matrix의 inverse를 이용해 변환되므로, Jacobian matrix의 역행렬을 이용해

$$\begin{array}{rcl}\left[\begin{array}{c}(d{x}^1{)}_p\\ \\ (d{x}^2{)}_p\\ ⋮\\ \\ (d{x}^n{)}_p\end{array}\right]& =& {\left[\begin{array}{cccc}{\left(\frac{\partial y_1}{\partial x^1}\right)}_p& {\left(\frac{\partial y_2}{\partial x^1}\right)}_p& \cdots & {\left(\frac{\partial y_n}{\partial x^1}\right)}_p\\ {\left(\frac{\partial y_1}{\partial x^2}\right)}_p& {\left(\frac{\partial y_2}{\partial x^2}\right)}_p& \cdots & \cdots \\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ \cdots & \cdots & \cdots & {\left(\frac{\partial y_n}{\partial x^n}\right)}_p\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}(d{y}^1{)}_p\\ \\ (d{y}^2{)}_p\\ ⋮\\ \\ (d{y}^n{)}_p\end{array}\right]\\ \\ & =& \left[\begin{array}{cccc}{\left(\frac{\partial x_1}{\partial y^1}\right)}_p& {\left(\frac{\partial x_2}{\partial y^1}\right)}_p& \cdots & {\left(\frac{\partial x_n}{\partial y^1}\right)}_p\\ {\left(\frac{\partial x_1}{\partial y^2}\right)}_p& {\left(\frac{\partial x_2}{\partial y^2}\right)}_p& \cdots & \cdots \\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ \cdots & \cdots & \cdots & {\left(\frac{\partial x_n}{\partial y^n}\right)}_p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}(d{y}^1{)}_p\\ \\ (d{y}^2{)}_p\\ ⋮\\ \\ (d{y}^n{)}_p\end{array}\right]\end{array}$$

또는

$$(d{x}^i{)}_p=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right)}_p(d{y}^k{)}_p$$

로 전개할 수 있다.

 

 

Tensor의 multilinearity를 이용하면, $p$에서의 $(r,s)$-tensor $T$는

$$\begin{array}{rcl}T& =& \sum _{\begin{array}{}{i}_1,\cdots ,i_r\\ j_1,\cdots ,j_s\end{array}}{A}_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}(d{x}^{i_1}{)}_p\otimes \cdots \otimes (d{x}^{i_r}{)}_p\otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_1}}\right)}_p\otimes \cdots \otimes {\left(\frac{\partial }{\partial x^{j_s}}\right)}_p\\ \\ & =& \sum _{\begin{array}{}{k}_1,\cdots ,k_r\\ l_1,\cdots ,l_s\end{array}}(\sum _{\begin{array}{}{i}_1,\cdots ,i_r\\ j_1,\cdots ,j_s\end{array}}{\left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{k_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial x^{i_r}}{\partial y^{k_r}}\right)}_p{\left(\frac{\partial y^{l_1}}{\partial x^{j_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial y^{l_s}}{\partial x^{j_s}}\right)}_p{A}_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s})\\ & & (d{y}^{k_1}{)}_p\otimes \cdots \otimes (d{y}^{k_r}{)}_p\otimes {\left(\frac{\partial }{\partial y^{l_1}}\right)}_p\otimes \cdots \otimes {\left(\frac{\partial }{\partial y^{l_s}}\right)}_p\\ \\ & =& \sum _{\begin{array}{}{k}_1,\cdots ,k_r\\ l_1,\cdots ,l_s\end{array}}{B}_{k_1\cdots k_r}^{l_1\cdots l_s}(d{y}^{k_1}{)}_p\otimes \cdots \otimes (d{y}^{k_r}{)}_p\otimes {\left(\frac{\partial }{\partial y^{l_1}}\right)}_p\otimes \cdots \otimes {\left(\frac{\partial }{\partial y^{l_s}}\right)}_p\end{array}$$

로 변환된다. 상대성이론에서는 coefficient만을 이용해서 local coordinate $x$에서 $T$의 표현

$$A_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}$$

와 local coordinate $y$에서의 표현

$$B_{k_1\cdots k_r}^{l_1\cdots l_s}$$

사이의 관계식을 다음과 같이 표현한다.

$$B_{k_1\cdots k_r}^{l_1\cdots l_s}=\sum _{\begin{array}{}{i}_1,\cdots ,i_r\\ j_1,\cdots ,j_s\end{array}}{\left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{k_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial x^{i_r}}{\partial y^{k_r}}\right)}_p{\left(\frac{\partial y^{l_1}}{\partial x^{j_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial y^{l_s}}{\partial x^{j_s}}\right)}_p{A}_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}$$

우변에서 summation이 되는 index를 잘 살펴보면, 위쪽 index와 아래쪽 index에 동시에 나타나고 한쪽에만 나타나는 index는 summation되지 않는다. 따라서 index가 위쪽과 아래쪽에 동시에 나타나는 경우에는 그 index로 summation되어 있다고 가정하고 summation을 생략하여 다음과 같이 표현한다.

$$B_{k_1\cdots k_r}^{l_1\cdots l_s}={\left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{k_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial x^{i_r}}{\partial y^{k_r}}\right)}_p{\left(\frac{\partial y^{l_1}}{\partial x^{j_1}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial y^{l_s}}{\partial x^{j_s}}\right)}_p{A}_{i_1\cdots i_r}^{j_1\cdots j_s}$$

이러한 표현을 Einstein convention을 따른다고 한다. 예를 들어, Kronecker delta

$${\delta }_i^i=\sum _{i=1}^n{\delta }_i^i=\sum _{i=1}^{n}1=n$$

이 된다.

 

 

이로부터, Covariant $k$-tensor는 local coordinate $x$에서 $y$로 변환할 때, 함수 $y:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$

$$y(x^1,x^2,\cdots ,x^n)=(y^1,y^2,\cdots ,y^n)$$

의 inverse Jacobian matrix를 $k$번 이용해 변환된다.

$$B_{l_1{l}_2\cdots l_k}={\left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{l_1}}\right)}_p{\left(\frac{\partial x^{i_2}}{\partial y^{l_2}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial x^{i_k}}{\partial y^{l_k}}\right)}_p{A}_{i_1{i}_2\cdots i_k}$$

 

Contravariant $k$-tensor는 Jacobian matrix를 $k$번 이용해 변환된다.

$$B^{s_1{s}_2\cdots s_k}={\left(\frac{\partial y^{s_1}}{\partial x^{j_1}}\right)}_p{\left(\frac{\partial y^{s_2}}{\partial x^{j_2}}\right)}_p\cdots {\left(\frac{\partial y^{s_k}}{\partial x^{j_k}}\right)}_p{A}^{j_1{j}_2\cdots j_k}$$

 

 

중요한 것은, 여기에서 논의한 '변환'은 하나의 tensor에 대하여 basis가 바뀜에 따라 coefficient representation의 변환이라는 것이다. Tensor field는 basis와 상관없이 정의되는 오브젝트이므로 tensor field 자체가 바뀌는 것은 아니다. 이것은 하나의 vector가 basis가 바뀜에 따라 representation이 바뀐다고 해서 vector 자체가 변하는 것은 아닌것과 똑같은 것이다. 물리학과에서는 위의 변환들을 tensor의 정의로 배우기때문에 혼동하지 않도록 주의해야한다.

 

 

Pullback of Covariant Tensor

 

여기에서는 covariant tensor field에 작용하는 중요한 연산을 살펴본다.

 

DEFINITION            Pullback

 

Differentiable manifold $M$과 $N$에 대하여 함수 $\phi :M\to N$ 를 differentiable map이라고 하자. $N$의 covariant $k$-tensor field $F$에 대하여, 다음과 같이 정의되는 $M$의 covariant $k$-tensor field ${\phi }^{\ast }F$를 $F$의 pullback이라고 한다.

$$({\phi }^{\ast }F{)}_p(v_1,v_2,\dots ,v_k)=F_{\phi (p)}((d\phi {)}_p{v}_1,(d\phi {)}_p{v}_2,\cdots ,(d\phi {)}_p{v}_k)\mathrm{for}{v}_1,v_2,\cdots ,v_k\in T_{p}M$$

 

Pullback은 다음과 같은 성질을 만족한다.

 

THEOREM            Properties of Pullback

 

Differentiable map $\phi :M\to N$, covariant tensor field $F$, $G$, real number $c$에 대하여, 다음을 만족한다.

 

1. ${\phi }^{\ast }(cF+S)=c({\phi }^{\ast }F)+{\phi }^{\ast }G$

 

2. ${\phi }^{\ast }(F\otimes G)=({\phi }^{\ast }F)\otimes ({\phi }^{\ast }G)$

 

또한 differentiable map $f:M\to \mathbb{R}$, $\psi :L\to M$에 대하여 다음을 만족한다.

 

3. ${\phi }^{\ast }(fF)=(f\circ \phi ){\phi }^{\ast }F$

 

4. ${\psi }^{\ast }({\phi }^{\ast }F)=(\phi \circ \psi {)}^{\ast }F$