[다양체,텐서] 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl

3차원 공간에서 real-valued function에 대한 미분인 gradient, vector field에 대한 미분인 divergence와 curl은 전자기학 이론을 이해하는데 매우 중요하다.

 

3차원 공간에서 standard basis를

$$\{{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z\}$$

라고 하면, real-valued function $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 의 gradient는 vector-valued fuction

$$\mathrm{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial f}{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial f}{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z$$

로 정의된다.

 

Vector-valued function $F:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 의 divergence는 real-valued function

$$\mathrm{div}(F)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

로 정의되고, curl은 vector-valued function

$$\mathrm{curl}(F)=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}){\overrightarrow{e}}_x+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}){\overrightarrow{e}}_y+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}){\overrightarrow{e}}_z$$

로 정의된다.

 

이러한 gradient, divergence, curl 표현은 exterior derivative를 이용해서 얻을 수 있다. 이 페이지에서는 3차원 공간에서 exterior derivative를 살펴본다.

 

 

Basis and Dual Basis of Tangent Space $T_p{\mathbb{R}}^3$

 

${\mathbb{R}}^3$은 그 자체가 vector space이므로 differentiable manifold이다. Parametrization을 identity map으로 설정하면,

$$(x^1,x^2,x^3)=(x,y,z)$$

로 Cartesian coordinate system이 된다.

 

By Jorge Stolfi [Public domain], from Wikimedia Commons

 

만약 parametrization을

$$\phi (x^1,x^2,x^3)=(x^1\sin (x^2)\cos (x^3),x^1\sin (x^2)\sin (x^3),x^1\cos (x^2))$$

로 설정하면 $(x^1,x^2,x^3)$ 는 spherical coordinate system이 된다.

 

By Andeggs [Public domain], from Wikimedia Commons

 

여기에서는 Cartesian coordinate system을 선택하고, $(x^1,x^2,x^3)$ 대신 $(x,y,z)$를 사용하자.

 

 

이제 3차원 공간에서의 점 $p$의 tangent space $T_p{\mathbb{R}}^3$에 대한 basis vector를 살펴보자.(1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 참고)

$${\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_p$$

는 curve

$$\gamma (t)=(x+t,y,z)$$

의 미분이므로 standard basis ${\overrightarrow{e}}_x$와 같다. 같은 방식으로

$${\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_p={\overrightarrow{e}}_y$$

$${\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_p={\overrightarrow{e}}_z$$

와 같음을 알 수 있다.

 

이제 cotangent space $T_p^{\ast }{\mathbb{R}}^3$에서 dual basis를 구해보자.(1.4 Derivatives of Differentiable maps 참고) 함수 $x$를 점 $p$의 $x$성분을 주는 real-valued function

$$x(x_p,y_p,z_p)=x_p$$

이라고 하면, 이 함수의 differential $(dx{)}_p$는 tangent vector $v=\sum _{i=1}^3{v}^i{\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}_p$를

$$(dx{)}_p(v)=\sum _{i=1}^3{v}^i{\left(\frac{\partial x}{\partial x^i}\right)}_p=v^1$$

으로 보내므로 $(dx{)}_p$는 ${\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_p$의 dual basis가 된다. 따라서

$$\{(dx{)}_p,(dy{)}_p,(dz{)}_p\}$$

는 dual basis가 된다.

 

 

Exterior Derivative of 0-form

 

이제 real-valued function $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$의 exterior derivative를 구해보자.

$$(df{)}_p(v)=\sum _{i=1}^3{v}^i{\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)}_p$$

이므로

$$(df{)}_p={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_p(dx{)}_p+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_p(dy{)}_p+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_p(dz{)}_p$$

가 된다. 따라서

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$$

이다. 이를 gradient와 비교해보면 형태가 똑같다는 것을 알 수 있다.

$$\mathrm{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial f}{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial f}{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z$$

 

 

Exterior Derivative of 1-form

 

이제 1-form

$$A=A_{x}dx+A_{y}dy+Azdz$$

의 exterior derivative를 구해보자.

$$\begin{array}{rcl}dA& =& d{A}_x\wedge dx+d{A}_y\wedge dy+d{A}_z\wedge dz\\ \\ & =& (\frac{\partial A_x}{\partial x}dx+\frac{\partial A_x}{\partial y}dy+\frac{\partial A_x}{\partial z}dz)\wedge dx\\ & & +(\frac{\partial A_y}{\partial x}dx+\frac{\partial A_y}{\partial y}dy+\frac{\partial A_y}{\partial z}dz)\wedge dy\\ & & +(\frac{\partial A_z}{\partial x}dx+\frac{\partial A_z}{\partial y}dy+\frac{\partial A_z}{\partial z}dz)\wedge dz\\ \\ & =& (\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})dx\wedge dy+(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z})dx\wedge dz\end{array}$$

항들의 순서를 조금 바꿔서

$$dA=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})dz\wedge dx+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})dx\wedge dy$$

로 쓰자. 이제 curl과 비교해보면 형태가 같음을 알 수 있다.

$$\mathrm{curl}(F)=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}){\overrightarrow{e}}_x+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}){\overrightarrow{e}}_y+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}){\overrightarrow{e}}_z$$

2-form의 basis

$$dy\wedge dz$$

를 $y$축과 $z$축의 cross product로 생각하여 오른손 법칙에 따라 $x$축에 대응시키고, $dz\wedge dx$ 과 $dx\wedge dy$ 을 각각 $y$축, $z$축에 대응시키면, $dA$는 curl과 같다고 할 수 있다.

 

 

Exterior Derivative of 2-form

 

마지막으로 2-form의 exterior derivative를 살펴보자.

$$B=B_{1}dx\wedge dy+B_{2}dx\wedge dz+B_{3}dy\wedge dz$$

에서 $dx\wedge dy$를 $z$축, $dx\wedge dz$를 $-y$축, $dy\wedge dz$를 $x$축에 대응시켜

$$B_1=B_z$$

$$B_2=-B_y$$

$$B_3=B_x$$

로 다시 쓰자.

$$B=B_{z}dx\wedge dy-B_{y}dx\wedge dz+B_{x}dy\wedge dz$$

이제 $B$에 exterior derivative를 작용하면,

$$\begin{array}{rcl}dB& =& d{B}_z\wedge dx\wedge dy-d{B}_y\wedge dx\wedge dz+d{B}_x\wedge dy\wedge dz\\ \\ & =& (\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz\end{array}$$

가 된다. 이를 divergence와 비교해보면 형태가 같음을 확인할 수 있다.

$$\mathrm{div}(F)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

 

(3-form에 대한 exterior derivative는 4-form으로 자연스럽게 0이 되므로 논의하지 않는다.)

 

 

Conclusion

 

3차원 공간에서의 exterior derivative는 다음과 같이 vector calculus의 미분에 대응된다.

 

0-form의 exterior derivative         →         gradient

 

1-form의 exterior derivative         →         curl

 

2-form의 exterior derivative         →         divergence

 

Exterior derivative의 성질

$$d(d\alpha )=0$$

으로부터

$$\mathrm{curl}(\mathrm{grad})=0$$

$$\mathrm{div}(\mathrm{curl})=0$$

을 자연스럽게 얻을 수 있다.