[다양체,텐서] 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl

3차원 공간에서 real-valued function에 대한 미분인 gradient, vector field에 대한 미분인 divergence와 curl은 전자기학 이론을 이해하는데 매우 중요하다.

 

3차원 공간에서 standard basis를

$$\{\vec{e}_x , \vec{e}_y, \vec{e}_z \}$$

라고 하면, real-valued function \(f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) 의 gradient는 vector-valued fuction

$$ \mathrm{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{e}_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z $$

로 정의된다.

 

Vector-valued function \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) 의 divergence는 real-valued function

$$ \mathrm{div}(F) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

로 정의되고, curl은 vector-valued function

$$ \mathrm{curl}(F) = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \vec{e}_x + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \vec{e}_y + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \vec{e}_z $$

로 정의된다.

 

이러한 gradient, divergence, curl 표현은 exterior derivative를 이용해서 얻을 수 있다. 이 페이지에서는 3차원 공간에서 exterior derivative를 살펴본다.

 

 

Basis and Dual Basis of Tangent Space \(T_p\mathbb{R}^3\)

 

\(\mathbb{R}^3\)은 그 자체가 vector space이므로 differentiable manifold이다. Parametrization을 identity map으로 설정하면,

$$ (x^1 , x^2, x^3) = (x,y,z) $$

로 Cartesian coordinate system이 된다.

 

By Jorge Stolfi [Public domain], from Wikimedia Commons

 

만약 parametrization을

$$ \varphi(x^1,x^2,x^3) = (~ x^1 \sin{(x^2)} \cos{(x^3)} ~,~ x^1 \sin{(x^2)} \sin{(x^3)} ~,~ x^1 \cos{(x^2)}) $$

로 설정하면 \((x^1,x^2,x^3)\) 는 spherical coordinate system이 된다.

 

By Andeggs [Public domain], from Wikimedia Commons

 

여기에서는 Cartesian coordinate system을 선택하고, \((x^1,x^2,x^3)\) 대신 \((x,y,z)\)를 사용하자.

 

 

이제 3차원 공간에서의 점 \(p\)의 tangent space \(T_p\mathbb{R}^3\)에 대한 basis vector를 살펴보자.(1.3 Tangent Space, Tangent Bundle 참고)

$$ \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)_p $$

는 curve

$$ \gamma(t) = (x+t,y,z) $$

의 미분이므로 standard basis \(\vec{e}_x\)와 같다. 같은 방식으로

$$ \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)_p = \vec{e}_y $$

$$ \left(\frac{\partial}{\partial z}\right)_p = \vec{e}_z $$

와 같음을 알 수 있다.

 

이제 cotangent space \(T_p ^* \mathbb{R}^3\)에서 dual basis를 구해보자.(1.4 Derivatives of Differentiable maps 참고) 함수 \(x\)를 점 \(p\)의 \(x\)성분을 주는 real-valued function

$$ x(x_p,y_p,z_p) = x_p $$

이라고 하면, 이 함수의 differential \((dx)_p\)는 tangent vector \(v= \sum_{i=1} ^3 v^i ~\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\)를

$$ (dx)_p ~(v)=\sum_{i=1} ^3 v^i ~\left(\frac{\partial x}{\partial x^i}\right)_p = v^1 $$

으로 보내므로 \((dx)_p\)는 \(\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)_p\)의 dual basis가 된다. 따라서

$$ \{~ (dx)_p ~,~ (dy)_p ~,~ (dz)_p ~\} $$

는 dual basis가 된다.

 

 

Exterior Derivative of 0-form

 

이제 real-valued function \(f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\)의 exterior derivative를 구해보자.

$$ (df)_p ~(v) = \sum _{i=1} ^3 v^i ~\left(\frac{\partial f}{\partial x^i} \right)_p $$

이므로

$$ (df)_p = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_p ~(dx)_p + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_p ~(dy)_p + \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)_p ~(dz)_p $$

가 된다. 따라서

$$ df= \frac{\partial f}{\partial x} ~dx + \frac{\partial f}{\partial y} ~dy + \frac{\partial f}{\partial z} ~dz $$

이다. 이를 gradient와 비교해보면 형태가 똑같다는 것을 알 수 있다.

$$ \mathrm{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{e}_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z $$

 

 

Exterior Derivative of 1-form

 

이제 1-form

$$ A = A_x ~dx + A_y ~dy + Az ~dz $$

의 exterior derivative를 구해보자.

$$ \begin{eqnarray} dA & = & dA_x \wedge dx + dA_y \wedge dy + dA_z \wedge dz \\ \\ & = & \left(\frac{\partial A_x}{\partial x} ~dx + \frac{\partial A_x}{\partial y} ~dy + \frac{\partial A_x}{\partial z} ~dz\right) \wedge dx \\ & & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} ~dx + \frac{\partial A_y}{\partial y} ~dy + \frac{\partial A_y}{\partial z} ~dz\right) \wedge dy \\ & & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + \left(\frac{\partial A_z}{\partial x} ~dx + \frac{\partial A_z}{\partial y} ~dy + \frac{\partial A_z}{\partial z} ~dz\right) \wedge dz \\ \\ & = & \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) ~dx \wedge dy + \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) ~dy \wedge dz + \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right) ~dx \wedge dz \end{eqnarray} $$

항들의 순서를 조금 바꿔서

$$ dA = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) ~dy\wedge dz + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) ~dz\wedge dx + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) dx\wedge dy $$

로 쓰자. 이제 curl과 비교해보면 형태가 같음을 알 수 있다.

$$ \mathrm{curl}(F) = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \vec{e}_x + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \vec{e}_y + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \vec{e}_z $$

2-form의 basis

$$ dy \wedge dz $$

를 \(y\)축과 \(z\)축의 cross product로 생각하여 오른손 법칙에 따라 \(x\)축에 대응시키고, \(dz\wedge dx\) 과 \(dx\wedge dy\) 을 각각 \(y\)축, \(z\)축에 대응시키면, \(dA\)는 curl과 같다고 할 수 있다.

 

 

Exterior Derivative of 2-form

 

마지막으로 2-form의 exterior derivative를 살펴보자.

$$ B = B_1 ~dx \wedge dy + B_2 ~dx \wedge dz + B_3 ~dy \wedge dz $$

에서 \(dx \wedge dy\)를 \(z\)축, \(dx \wedge dz\)를 \(-y\)축, \(dy \wedge dz\)를 \(x\)축에 대응시켜

$$ B_1 = B_z $$

$$ B_2 = -B_y $$

$$ B_3 = B_x $$

로 다시 쓰자.

$$ B = B_z ~dx \wedge dy - B_y ~dx \wedge dz + B_x ~dy \wedge dz $$

이제 \(B\)에 exterior derivative를 작용하면,

$$ \begin{eqnarray} dB & = & dB_z \wedge dx \wedge dy - dB_y \wedge dx \wedge dz + dB_x \wedge dy \wedge dz \\ \\ & = & \left( \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) ~dx \wedge dy \wedge dz \end{eqnarray} $$

가 된다. 이를 divergence와 비교해보면 형태가 같음을 확인할 수 있다.

$$ \mathrm{div}(F) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

 

(3-form에 대한 exterior derivative는 4-form으로 자연스럽게 0이 되므로 논의하지 않는다.)

 

 

Conclusion

 

3차원 공간에서의 exterior derivative는 다음과 같이 vector calculus의 미분에 대응된다.

 

0-form의 exterior derivative         →         gradient

 

1-form의 exterior derivative         →         curl

 

2-form의 exterior derivative         →         divergence

 

Exterior derivative의 성질

$$ d(d\alpha) = 0 $$

으로부터

$$ \mathrm{curl}(\mathrm{grad}) = 0 $$

$$ \mathrm{div}(\mathrm{curl}) = 0 $$

을 자연스럽게 얻을 수 있다.