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Hilbert space5

(선형대수학) 5.7 Gâteaux Derivative, Fréchet Derivative, Euler-Lagrange Equation 이번 포스팅에서는 Hilbert space에 정의되는 미분을 간략히 소개할 것이다. 이하에서 정의되는 미분은 norm이 정의된 Banach space에서 정의되지만, Hilbert space는 Banach space의 일종이므로 여기에서 등장하는 norm은 inner product로부터 유도된 norm으로 해석하면 된다. Gâteaux Derivative 미적분학에서 다변수 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) $$ f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (y_1,y_2,\cdots,y_m) $$ 에 대하여, 방향 \(\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\)으로의 \(f\)의 directional derivative \(\n.. 2018. 8. 13.
(선형대수학) 5.5 Bounded Linear Functionals (선형대수학) 2.4 Dual Space에서 vector space의 linear functional을 정의했다. 이제 Hilbert space에서 정의된 특별한 종류의 linear functional을 살펴보자.(이하에서 사용될 \(\sup{}\)의 개념을 잘 모른다면 \(\max{}\)로 대체해서 생각해도 무방하다. ---analysis-supremum,infimum--- 참고) Bounded Linear Fuctionals DEFINITION Bounded Linear Functionals on Hilbert Space Hilbert space \(H\)의 linear functional \(F:H\to \mathbb{C}\)가 $$ \sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\l.. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.4 Hilbert Projection Theorem 디자인, 컴퓨터 그래픽 등에서 사용되는 원근법 등은 Euclidean space, 그리고 finite dimensional vector space에서 하나의 vector가 subspace에 자연스럽게 projection 될 수 있다는 사실에 기반한다. Hilbert space는 이러한 Euclidean space의 성질들이 유지된다. 이러한 개념은 Hilbert Projection Theorem에 집약되어 있다. THEOREM Hilbert Projection Theorem Hilbert space \(H\)와 proper subspace이면서 Hilbert space인 \(W\)와 주어진 \(x\in H\)에 대하여, 1. \( \left\| \hat{x}-x \right\| \le \left\| g-.. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space 여기에선 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 정의했던 the square-integrable space를 살펴본다. 이 space는 대표적인 Hilbert space로 미적분 이론에서 중요하게 등장한다. 다만, 이를 이해하는데는 해석학적 개념들이 필요하기 때문에 이 페이지에서는 선형대수적 개념만 간단히 살펴본다. Vector space \(\mathcal{L}^2\) 정의역 \(X=[a,b]\)에 대하여 vector space \(\mathcal{L}^2\)을 $$ \mathcal{L}^2 = \left\{ f:X\to \mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left| f(x) \right| ^2 dx < \infty \right. \right\} $$ 로 정의한다. .. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.2 Hilbert Space 미분과 적분은 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)에서 정의되는 연산이다. 이들을 일반화하기 위해서는 연산을 정의하는데 핵심이 되는 Euclidean space의 성질을 일반화 하여야 한다. 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)에 대한 \(\vec{a}\)에서의 differential \(df(\vec{a})\)는 $$df(\vec{a}) = f(\vec{a}+\vec{u})-f(\vec{a})-R(\vec{u}) \mathrm{~,~where~} \lim_{\vec{u}\to\vec{0}} \frac{R(\vec{u})}{\left| \vec{u} \right|} = 0$$ 인 linear operator \(df\)와 함수 \(R\)로 정의된다.(--.. 2018. 8. 3.

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