(선형대수학) 5.5 Bounded Linear Functionals

(선형대수학) 2.4 Dual Space에서 vector space의 linear functional을 정의했다. 이제 Hilbert space에서 정의된 특별한 종류의 linear functional을 살펴보자.(이하에서 사용될 \(\sup{}\)의 개념을 잘 모른다면 \(\max{}\)로 대체해서 생각해도 무방하다. ---analysis-supremum,infimum--- 참고) 

 

 

Bounded Linear Fuctionals

 

DEFINITION            Bounded Linear Functionals on Hilbert Space

 

Hilbert space \(H\)의 linear functional \(F:H\to \mathbb{C}\)가

$$ \sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\left\| \phi \right\|} ~<~\infty $$

를 만족하는 경우 \(F\)를 bounded하다고 부른다.

 

위에서 정의된 값을 functional의 norm이라고 부르고 \(\left\| F \right\|\)로 쓴다.

$$ \left\| F \right\| = \sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\left\| \phi \right\|} $$

실제로 (선형대수학) 4.2 Norm에서 살펴본 norm의 정의를 만족한다. Norm이 vector의 길이를 일반화한 것이라면, bounded는 functional의 길이가 발산하지 않고 제한되어 있다는 것을 의미한다.

 

linear functional \(F\)가 bounded라면, continuous하다. Sequence \(\phi_i \in H\)가 \(\phi\)에 수렴하면,

$$ |F(\phi_i)-F(\phi )| = |F(\phi_i-\phi)| \le \left\| F \right\| \left\| \phi_i - \phi \right\| $$

이므로, 임의의 \(\epsilon >0\)에 대하여, 모든 \(i>N\)가

$$ \left\| \phi_i -\phi \right\| < \frac{\epsilon}{\left\| F \right\|} $$

가 되는 \(N\)이 존재하므로, 그러한 N에 대하여 모든 \(i>N\)이

$$ |F(\phi_i)-F(\phi )| \le \left\| F \right\| \left\| \phi_i - \phi \right\| < \epsilon $$

이므로 \(F\)는 continuous하다.

 

또한 역도 성립한다. 즉, continuous한 linear functional은 bounded하다.

 

THEOREM            

 

Hilbert space \(H\)의 linear functional \(F:H\to \mathbb{C}\)에 대하여,

 

bounded    \(\Longleftrightarrow\)    countinuous

(공백)

 

 

Dual Space of Hilbert Space

 

(선형대수학) 4.4 Hermitian Adjoint of Operators에서 살펴본 것과 같이, \(H\)의 고정된 vector \(\psi\)에 대하여 함수 \(F:H\to \mathbb{C}\)

$$ F(\phi)=\left\langle \phi, \psi \right\rangle $$

는 linear functional이다. 또한,

$$ |F(\phi)|=|\left\langle \phi, \psi \right\rangle|\le \| \phi \| \| \psi \| $$

이므로 \(\phi\ne 0\)에 대하여,

$$ \frac{|F(\phi)|}{\| \phi \|} \le \|\psi\| < \infty $$

이므로

$$ \|F\|=\sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\left\| \phi \right\|} \le \|\psi\| < \infty $$

즉, \(\psi\)와의 inner product는 bounded linear functional이 된다.

 

이 역도 성립한다. 모든 bounded linear functional은 고정된 vector와의 inner product로 표현된다.

 

THEOREM            Riesz Representation Theorem

 

Hilbert space \(H\)의 임의의 bounded linear functional \(F\)에 대하여,

$$ F(\phi) = \left\langle \phi, \psi \right\rangle $$

인 \(\psi \in H\)가 존재한다. 또한

$$ \left\| F \right\| = \left\| \psi \right\| $$

이다.

 

따라서 bounded linear functional \(F\)는 Hilbert space 관점에서 \(\psi\)와 완전히 동일하다. 그러므로 bounded linear functional들의 집합

$$ \left\{ F:H\to \mathbb{C} ~\left|~ \|F\|=\sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\left\| \phi \right\|} < \infty \right. \right\} $$

은 \(H\)의 dual space가 된다. 이 집합을 \(H^*\)로 쓴다.

 

양자역학에서는 hilbert space의 vector를 \(\left| \psi \right\rangle\)로 표현하고, 이에 대응되는 bounded linear functional를 \(\left\langle \psi \right|\)로 표현한다.