(선형대수학) 5.5 Bounded Linear Functionals

(선형대수학) 2.4 Dual Space에서 vector space의 linear functional을 정의했다. 이제 Hilbert space에서 정의된 특별한 종류의 linear functional을 살펴보자.(이하에서 사용될 $sup$의 개념을 잘 모른다면 $max$로 대체해서 생각해도 무방하다. ---analysis-supremum,infimum--- 참고) 

 

 

Bounded Linear Fuctionals

 

DEFINITION            Bounded Linear Functionals on Hilbert Space

 

Hilbert space $H$의 linear functional $F:H\to \mathbb{C}$가

$$\underset{\varphi \ne 0}{sup}\frac{|F(\varphi )|}{\Vert \varphi \Vert }<\mathrm{\infty }$$

를 만족하는 경우 $F$를 bounded하다고 부른다.

 

위에서 정의된 값을 functional의 norm이라고 부르고 $\Vert F\Vert$로 쓴다.

$$\Vert F\Vert =\underset{\varphi \ne 0}{sup}\frac{|F(\varphi )|}{\Vert \varphi \Vert }$$

실제로 (선형대수학) 4.2 Norm에서 살펴본 norm의 정의를 만족한다. Norm이 vector의 길이를 일반화한 것이라면, bounded는 functional의 길이가 발산하지 않고 제한되어 있다는 것을 의미한다.

 

linear functional $F$가 bounded라면, continuous하다. Sequence ${\varphi }_i\in H$가 $\varphi$에 수렴하면,

$$|F({\varphi }_i)-F(\varphi )|=|F({\varphi }_i-\varphi )|\le \Vert F\Vert \Vert {\varphi }_i-\varphi \Vert$$

이므로, 임의의 $ϵ>0$에 대하여, 모든 $i>N$가

$$\Vert {\varphi }_i-\varphi \Vert <\frac{ϵ}{\Vert F\Vert }$$

가 되는 $N$이 존재하므로, 그러한 N에 대하여 모든 $i>N$이

$$|F({\varphi }_i)-F(\varphi )|\le \Vert F\Vert \Vert {\varphi }_i-\varphi \Vert <ϵ$$

이므로 $F$는 continuous하다.

 

또한 역도 성립한다. 즉, continuous한 linear functional은 bounded하다.

 

THEOREM            

 

Hilbert space $H$의 linear functional $F:H\to \mathbb{C}$에 대하여,

 

bounded    $⟺$    countinuous

(공백)

 

 

Dual Space of Hilbert Space

 

(선형대수학) 4.4 Hermitian Adjoint of Operators에서 살펴본 것과 같이, $H$의 고정된 vector $\psi$에 대하여 함수 $F:H\to \mathbb{C}$

$$F(\varphi )=⟨\varphi ,\psi ⟩$$

는 linear functional이다. 또한,

$$|F(\varphi )|=|⟨\varphi ,\psi ⟩|\le \Vert \varphi \Vert \Vert \psi \Vert$$

이므로 $\varphi \ne 0$에 대하여,

$$\frac{|F(\varphi )|}{\Vert \varphi \Vert }\le \Vert \psi \Vert <\mathrm{\infty }$$

이므로

$$\Vert F\Vert =\underset{\varphi \ne 0}{sup}\frac{|F(\varphi )|}{\Vert \varphi \Vert }\le \Vert \psi \Vert <\mathrm{\infty }$$

즉, $\psi$와의 inner product는 bounded linear functional이 된다.

 

이 역도 성립한다. 모든 bounded linear functional은 고정된 vector와의 inner product로 표현된다.

 

THEOREM            Riesz Representation Theorem

 

Hilbert space $H$의 임의의 bounded linear functional $F$에 대하여,

$$F(\varphi )=⟨\varphi ,\psi ⟩$$

인 $\psi \in H$가 존재한다. 또한

$$\Vert F\Vert =\Vert \psi \Vert$$

이다.

 

따라서 bounded linear functional $F$는 Hilbert space 관점에서 $\psi$와 완전히 동일하다. 그러므로 bounded linear functional들의 집합

$$\{F:H\to \mathbb{C}|\Vert F\Vert =\underset{\varphi \ne 0}{sup}\frac{|F(\varphi )|}{\Vert \varphi \Vert }<\mathrm{\infty }\}$$

은 $H$의 dual space가 된다. 이 집합을 $H^{\ast }$로 쓴다.

 

양자역학에서는 hilbert space의 vector를 $|\psi ⟩$로 표현하고, 이에 대응되는 bounded linear functional를 $⟨\psi |$로 표현한다.