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조화진동자6

[양자역학] 3.5-(2) Example: 조화진동자에서 불확정성 원리 Uncertainty Principle of Harmonic Oscillator 이전 페이지에서 살펴본 기대값을 이용하여 불확정성 원리를 확인할 수 있다. 이번 페이지에서는 조화진동자에서 불확정성 원리를 확인해 본다. #Uncertainty Principle"양자역학에서 위치와 운동량을 모두 정확히 측정하는 것을 불가능하다"는 불확정성 원리는 수학적으로는 표준편차를 이용해 표현할 수 있다. 확률론에서 어떤 값을 정확히 측정할 수 있다는 것은 표준편차가 0이라는 것과 같으므로 불확정성 원리는 "위치와 운동량의 표준편차를 모두 0으로 만드는 것은 불가능하다"라고 표현할 수 있다. THEOREM Uncertainty Principle \[ \begin{equation} \left( X\text{의 표준편차} \right) \left( P\text{의 표준편차} \right) \ge \fr.. 2020. 12. 24.
[양자역학] 3.5-(1) Example: 조화진동자에서 물리량 Values of Observables for a Harmonic Oscillator 이번 페이지에서는 조화진동자에서 위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하는 방법을 살펴본다. #Expectation Values of Observables위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하기 전에, 먼저 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements , 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 의 내용을 다시 한번 정리하자. THEOREM Expectation Values of Observables 물리적 측정값 \(\mathcal{A}\) 에 대한 Hermitian operator를 \(A\) 라고 하자. 물리적 시스템이 \(|f\rangle\) 인 경우 \(\mathcal{A}\) 의 기대값은 다음과 같다.\[ \begin{equation} E[A].. 2020. 12. 24.
[양자역학] 6.2-① Example: 약한 전기장에 있는 조화진동자 Harmonic Oscillator in Weak Electric Field 1차원 조화진동자 potential에 있는 전자를 생각해보자.\[ H_0 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 \]이 시스템에 약한 전기장 \(\mathcal{E}\) 를 작용하면, 추가로 다음과 같은 potential이 작용하게 된다.\[ H_1 = e\mathcal{E}X \]따라서 이 시스템의 전체 Hamiltonian은\[ H = H_0 + H_1 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 + e\mathcal{E}X \]가 된다. 이 Hamiltonian의 정확한 eigenvalue를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 \(H\) 정확한 eigenvalue를 구하고, 또 perturbation theory를 적용해본 후 .. 2020. 9. 22.
[통계역학] 1.4-(3) Example: 조화진동자 Harmonic Oscillators 이번 페이지에서는 위치가 고정된 \(N\) 개의 1차원 조화진동자로 이루어진 시스템에 대하여 canonical ensemble을 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Classical Case\(N\) 개의 조화진동자의 Hamiltonian은\[ H (x_1, \cdots, x_n, p_1, \cdots, p_n) = \sum _{i=1} ^N \frac{p _i ^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_i ^2 \]과 같이 조화진동자 1개의 Hamiltonian의 합으로 표현되므로 입자 1개의 partition function을 이용하여 N개의 partition function을 구할 수 있다.\[ Z_N(T) = \left[ Z_1(T) \right]^N \]입자 1개의 parti.. 2020. 8. 7.
[통계역학] 1.3 소정준 앙상블 Microcanonical Ensemble 주어진 macrostate \((N,V,E)\) 에 대하여, microstate \((x_1,x_2,\cdots,x_{3N}, p_1,p_2,\cdots,p_{3N})\) 가 \(H(x,p) = E\) 를 만족하는 점들에 대하여 density function \(\rho(x,p)\) 를 상수값, 다른 점들에 대해서는 \(\rho(x,p)\) 를 0으로 정의한 ensemble을 microcanonical ensemble이라고 한다. 이번 페이지에서는 microcanonical ensemble에 대하여 살펴본다. #Fundamental Volume ElementMacrostate quantity와 microstate를 연결해주는 것은 microstate 개수 \(\Omega\) 이다. 그러나 phase sp.. 2020. 8. 1.
[양자역학] 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator Harmonic Oscillator(조화진동자)는 물리이론에서 고체의 진동 등을 기술하는데 있어 중요한 기초가 된다. 일반적인 potential \(V(x)\)가 \(x_0\)에서 stable하다면, \(V(x)\)의 Taylor series$$ V(x) = V(x_0) + \frac{d}{dx}V(x_0) ~(x-x_0) + \frac{1}{2!}\frac{d^2}{dx^2}V(x_0) ~(x-x_0)^2 + \cdots $$에서 \(V(x_0)\)는 상수이므로 물리적 의미가 없고, \(\frac{d}{dx}V(x_0)\)는 stable이므로 0이기 때문에 \(x\)가 \(x_0\) 근처에 있는 경우 2차항으로 근사하여$$ V(x) \approx \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}V(x_.. 2020. 6. 16.

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