[양자역학] 6.2-① Example: 약한 전기장에 있는 조화진동자 Harmonic Oscillator in Weak Electric Field

1차원 조화진동자 potential에 있는 전자를 생각해보자.^[각주:1]

\[ H_0 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 \]

이 시스템에 약한 전기장 \(\mathcal{E}\) 를 작용하면, 추가로 다음과 같은 potential이 작용하게 된다.

\[ H_1 = e\mathcal{E}X \]

따라서 이 시스템의 전체 Hamiltonian은

\[ H = H_0 + H_1 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 + e\mathcal{E}X \]

가 된다. 이 Hamiltonian의 정확한 eigenvalue를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 \(H\) 정확한 eigenvalue를 구하고, 또 perturbation theory를 적용해본 후 결과를 비교해 본다.

#Exact Solution

정확한 해를 구하기 위해서 potential항을 다음과 같이 정리하자.

\[ \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 + e\mathcal{E}X = \frac{1}{2}m\omega^2 \left( X+\frac{e\mathcal{E}}{m\omega^2} \right)^2 - \frac{e^2 \mathcal{E}^2}{2m\omega^2} \]

따라서 새로운 좌표 \(X' = X+\frac{e\mathcal{E}}{m\omega^2}\) 를 정의하면, canonical momentum \(P' = P\) 이므로, Hamiltonian은

\[ H = \frac{P' ^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X' ^2 - \frac{e^2 \mathcal{E}^2}{2m\omega^2} \]

이 된다. 이 때, 마지막 항은 단순한 상수이므로, 사실상 조화진동자 Hamiltonian이다. 따라서 이 Hamiltonian의 정확한 에너지는

\[ \begin{equation} E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega - \frac{e^2 \mathcal{E}^2}{2m\omega^2} \end{equation} \label{exact} \]

#Perturbation Theory

이제 perturbed Hamiltonian \(H_1 = e\mathcal{E}X\) 에 대하여 1차항 에너지 변화

\[ E_n ^{(1)} = \langle n | H_1 | n \rangle = e\mathcal{E} ~\langle n | X | n \rangle \]

Creation operator와 annihilation operator를 이용하면,^[각주:2]

\[ X = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (a + a^\dagger) \]

로 나타나므로

\[ \langle n | X | n \rangle = \langle n | a | n \rangle + \langle n | a^\dagger | n \rangle \]

가 된다. 이 때,

\[ a~|n\rangle = \sqrt{n} ~|n-1 \rangle \]

\[ a^\dagger ~|n\rangle = \sqrt{n+1} ~|n+1 \rangle \]

이므로,

\[ \langle n | H_1 | n \rangle = e^2 \mathcal{E}^2 \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left( \sqrt{n} ~\delta_{n,n-1} + \sqrt{n+1} ~\delta_{n,n+1} \right) = 0 \]

즉, 1차항 에너지 변화는 0이다.

2차항 에너지 변화를 구해보자.

\[ E_n ^{(2)} = \sum_{k\ne n} \frac{|\langle k | H_1 | n \rangle|^2}{E_n ^{(0)} - E_k ^{(0)}} \]

이 때,

\[ \langle k | H_1 | n \rangle = e^2 \mathcal{E}^2 \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left( \sqrt{n} ~\delta_{k,n-1} + \sqrt{n+1} ~\delta_{k,n+1} \right) \]

이므로,

\[ E_n ^{(2)} = \frac{e^2\mathcal{E}^2 \frac{\hbar}{2m\omega}n}{\hbar \omega} - \frac{e^2\mathcal{E}^2 \frac{\hbar}{2m\omega}(n+1)}{\hbar \omega} = - \frac{e^2 \mathcal{E}^2}{2m\omega^2} \]

이 결과를 식 \(\eqref{exact}\)와 비교해보면, 2차항 에너지 변화가 조화진동자에서 변화한 정도와 정확히 같다.

1. 조화진동자는 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator 참고. [본문으로]
2. creation operator와 annihilation operator는 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators 참고. [본문으로]