[양자역학] 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator

Harmonic Oscillator(조화진동자)는 물리이론에서 고체의 진동 등을 기술하는데 있어 중요한 기초가 된다. 일반적인 potential $V(x)$가 $x_0$에서 stable하다면, $V(x)$의 Taylor series

$$V(x)=V(x_0)+\frac{d}{dx}V(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}\frac{d^2}{d{x}^2}V(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots$$

에서 $V(x_0)$는 상수이므로 물리적 의미가 없고, $\frac{d}{dx}V(x_0)$는 stable이므로 0이기 때문에 $x$가 $x_0$ 근처에 있는 경우 2차항으로 근사하여

$$V(x)\approx \frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2}V(x_0)(x-x_0{)}^2$$

즉, harmonic oscillator로 근사할 수 있다. 이번 페이지부터 양자역학의 harmonic oscillator 이론에 대하여 살펴본다.

#Schrödinger Equation of Harmonic Oscillator

harmonic oscillator의 Hamiltonian

$$H=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}^2$$

으로부터 first quantization

$$\begin{array}{ccc}X& \to & x\\ P& \to & -i\hslash \frac{d}{dx}\end{array}$$

을 이용하면, time independent Schrödinger equation

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\psi (x)=E\psi (x)$$

을 얻는다. 식을 정리하면,

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi +\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)\psi =0$$

식을 더 간단히 하기위해 $y={\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}x$, $ϵ=\frac{E}{\hslash \omega }$로 정의하면

$$\frac{d^2\psi }{d{y}^2}+(2ϵ-y^2)\psi =0$$

# Recursion Relation

이 식을 풀기 위해 $y\to \mathrm{\infty }$인 경우와 $y\to 0$인 경우를 살펴보고 일반적인 $y$는 그 중간의 비슷한 형태가 될 것이라고 생각할 수 있다. 먼저 $y\to 0$인 경우 $y^2\psi$는 0에 가까워지므로, 미분방정식은 ${\psi }^{″}+2ϵ\psi =0$이므로

$$\psi =A\cos \sqrt{2ϵ}y+B\sin \sqrt{2ϵ}y$$

cosine, sine 함수 역시 Taylor 전개를 하면

$$\psi =A+B\sqrt{2ϵ}y+O(y^2)$$

다음으로 $y\to \mathrm{\infty }$인 경우 $2ϵ\psi$는 $y^2\psi$에 비하여 작은 값이므로, 미분방정식은 ${\psi }^{″}+y^2\psi =0$가 된다. 이 식의 해는 

$$\psi =A{y}^m{e}^{\pm \frac{y^2}{2}}$$

가 된다. 위 식을 2번 미분하면 ($y\to \mathrm{\infty }$에서)

$${\psi }^{″}=A{y}^{m+2}{e}^{\pm \frac{y^2}{2}}[1\pm \frac{2m+1}{y^2}+\frac{m(m-1)}{y^4}]\approxeq A{y}^{m+2}{e}^{\pm \frac{y^2}{2}}=y^2\psi$$

임을 확인할 수 있다. 이 중에서 $e^{\frac{y^2}{2}}$는 $y\to \mathrm{\infty }$에서 무한히 커지므로 적분이 불가능하기 때문에 물리적 의미가 없으므로, 해는 $A{y}^m{e}^{-\frac{y^2}{2}}$가 된다. 따라서 전체적인 해는

$$\psi (y)=u(y)e^{-\frac{y^2}{2}}$$

($y\to 0$인 경우 $u(y)\to A+B\sqrt{2ϵ}y$ ,  $y\to \mathrm{\infty }$인 경우 $u(y)\to y^m$)

이 식을 미분방정식에 대입하면

$$u^{″}-2y{u}^{\prime }+(2ϵ-1)u=0$$

이제 $u(y)$를 power series로 가정하여

$$u(y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{y}^n$$

를 대입하면,

$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n}n(n-1)y^{n-2}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2ϵ-2n-1)y^n=0$$

첫번째 항에 대해 변수를 조정하면,

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+2}(n+2)(n+1)y^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2ϵ-2n-1)y^n=0$$

좌변이 모든 $y$에 대하여 0이 되기 위해서는 각 계수들이 모두 0이 되어야 하므로 다음과 같은 recursion relation을 얻는다.

$$C_{n+2}=C_n\frac{2ϵ-2n-1}{(n+2)(n+1)}$$

#Energy of Harmonic Oscillator

위의 recursion relation을 이용하면, $u(y)$를 구할 수 있다. 계수를 $C_0$와 $C_1$로 정리하면

$$u(y)=C_0[1+\frac{1-2ϵ}{2\cdot 1}{y}^2+\frac{1-2ϵ}{2\cdot 1}\frac{5-2ϵ}{4\cdot 3}{y}^4+\cdots ]+C_1[y+\frac{3-2ϵ}{3\cdot 2}{y}^3+\frac{3-2ϵ}{3\cdot 2}\frac{7-2ϵ}{5\cdot 4}{y}^5\cdots ]$$

이제 $y\to \mathrm{\infty }$인 경우$u(y)\to y^m$이기 위해서는 어느 차수 이후부터는 계수가 0이 되어야 한다. 따라서 최고 차항의 계수 $m$이 홀수인 경우 $C_0$를 0으로 잡거나 또는 짝수인 경우 $C_1$을 0으로 잡고 최고 차항 이후의 계수가 0이 되기위해

$$ϵ=n+\frac{1}{2},n=0,1,2,\cdots$$

이어야 한다. 그러므로 Schrodinger equation의 eigenvalue $E$는

$$E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,2,\cdots$$

만 가능하다. 

THEOREM            Energy of Harmonic Oscillator

 

Harmonic Oscillator의 Energy는

$$E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,2,\cdots$$

만 가능하다. 이 때, energy를 결정하는 $n$이 quantum number가 된다.

Energy를 결정하는데 핵심이되는 변수 $n$은 harmonic oscillator의 quantum number가 된다.^[각주:1]

Comments

2.2 자유 입자 A Free Particle ①에서 free particle은 가능한 energy가 연속적이지만, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 infinite potential well과 harmonic oscillator의 경우에는 energy가 quantized(양자화)되어 있다. 또한 고전적 harmonic oscillator에서 가능한 가장 낮은 에너지는 0이지만, 양자역학적 harmonic oscillator에서 가능한 가장 낮은 에너지는 $n=0$일 때, $E=\frac{\hslash \omega }{2}$이다. 이는 infinite potential well에서도 가장 낮은 에너지는 고전적으로 기대한 값보다 크다. 즉, harmonic oscillator는 $\frac{\hslash \omega }{2}$가 zero-point energy(영점에너지)가 된다.

1. Quantum number에 대해서는 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 참고. [본문으로]