[양자역학] 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator

Harmonic Oscillator(조화진동자)는 물리이론에서 고체의 진동 등을 기술하는데 있어 중요한 기초가 된다. 일반적인 potential \(V(x)\)가 \(x_0\)에서 stable하다면, \(V(x)\)의 Taylor series

$$ V(x) = V(x_0) + \frac{d}{dx}V(x_0) ~(x-x_0) + \frac{1}{2!}\frac{d^2}{dx^2}V(x_0) ~(x-x_0)^2 + \cdots $$

에서 \(V(x_0)\)는 상수이므로 물리적 의미가 없고, \(\frac{d}{dx}V(x_0)\)는 stable이므로 0이기 때문에 \(x\)가 \(x_0\) 근처에 있는 경우 2차항으로 근사하여

$$ V(x) \approx \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}V(x_0) ~(x-x_0)^2 $$

즉, harmonic oscillator로 근사할 수 있다. 이번 페이지부터 양자역학의 harmonic oscillator 이론에 대하여 살펴본다.

#Schrödinger Equation of Harmonic Oscillator

harmonic oscillator의 Hamiltonian

$$ H = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 $$

으로부터 first quantization

$$ \begin{array}{ccc} X & \rightarrow & x \\ P & \rightarrow & -i\hbar\frac{d}{dx} \end{array} $$

을 이용하면, time independent Schrödinger equation

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x) $$

을 얻는다. 식을 정리하면,

$$ \frac{d^2}{dx^2}\psi + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E- \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right) \psi = 0 $$

식을 더 간단히 하기위해 \(y=\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^\frac{1}{2} x\), \(\epsilon = \frac{E}{\hbar\omega}\)로 정의하면

$$ \frac{d^2\psi}{dy^2} + (2\epsilon - y^2) \psi = 0 $$

# Recursion Relation

이 식을 풀기 위해 \(y\to \infty\)인 경우와 \(y\to 0\)인 경우를 살펴보고 일반적인 \(y\)는 그 중간의 비슷한 형태가 될 것이라고 생각할 수 있다. 먼저 \(y \to 0\)인 경우 \(y^2 \psi\)는 0에 가까워지므로, 미분방정식은 \(\psi'' + 2\epsilon \psi = 0\)이므로

$$ \psi = A \cos{\sqrt{2\epsilon}y} + B \sin{\sqrt{2\epsilon}y} $$

cosine, sine 함수 역시 Taylor 전개를 하면

$$ \psi = A + B\sqrt{2\epsilon}y + O(y^2) $$

다음으로 \(y \to \infty\)인 경우 \(2\epsilon\psi\)는 \(y^2\psi\)에 비하여 작은 값이므로, 미분방정식은 \(\psi'' + y^2 \psi = 0\)가 된다. 이 식의 해는 

$$ \psi = Ay^m e^{\pm \frac{y^2}{2}} $$

가 된다. 위 식을 2번 미분하면 (\(y \to \infty\)에서)

$$ \psi'' = Ay^{m+2} e^{\pm \frac{y^2}{2}} \left[ 1 \pm \frac{2m+1}{y^2} + \frac{m(m-1)}{y^4}\right] \approxeq Ay^{m+2}e^{\pm \frac{y^2}{2}} = y^2\psi $$

임을 확인할 수 있다. 이 중에서 \(e^{\frac{y^2}{2}}\)는 \(y\to \infty\)에서 무한히 커지므로 적분이 불가능하기 때문에 물리적 의미가 없으므로, 해는 \(Ay^m e^{-\frac{y^2}{2}}\)가 된다. 따라서 전체적인 해는

$$ \psi(y) = u(y)e^{-\frac{y^2}{2}} $$

(\(y\to 0\)인 경우 \(u(y) \to A+ B\sqrt{2\epsilon}y\) ,  \(y \to \infty\)인 경우 \(u(y) \to y^m\))

이 식을 미분방정식에 대입하면

$$ u'' - 2yu' + (2\epsilon -1) u = 0 $$

이제 \(u(y)\)를 power series로 가정하여

$$ u(y) = \sum _{n=0} ^\infty C_n y^n $$

를 대입하면,

$$ \sum _{n=2} ^\infty C_n n(n-1)y^{n-2} + \sum _{n=0} ^\infty (2\epsilon-2n-1)y^n = 0 $$

첫번째 항에 대해 변수를 조정하면,

$$ \sum _{n=0} ^\infty C_{n+2} (n+2)(n+1)y^n + \sum _{n=0} ^\infty (2\epsilon -2n-1)y^n = 0 $$

좌변이 모든 \(y\)에 대하여 0이 되기 위해서는 각 계수들이 모두 0이 되어야 하므로 다음과 같은 recursion relation을 얻는다.

$$ C_{n+2} = C_n \frac{2\epsilon-2n-1}{(n+2)(n+1)} $$

#Energy of Harmonic Oscillator

위의 recursion relation을 이용하면, \(u(y)\)를 구할 수 있다. 계수를 \(C_0\)와 \(C_1\)로 정리하면

$$ u(y) = C_0 \left[ 1 + \frac{1-2\epsilon}{2\cdot 1}y^2 + \frac{1-2\epsilon}{2\cdot 1} \frac{5 - 2\epsilon}{4 \cdot 3} y^4 + \cdots \right] + C_1 \left[ y + \frac{ 3 - 2\epsilon}{3 \cdot 2} y^3 + \frac{ 3 - 2\epsilon}{3 \cdot 2}\frac{ 7 - 2\epsilon}{5 \cdot 4}y^5 \cdots \right] $$

이제 \(y\to \infty\)인 경우\(u(y)\to y^m\)이기 위해서는 어느 차수 이후부터는 계수가 0이 되어야 한다. 따라서 최고 차항의 계수 \(m\)이 홀수인 경우 \(C_0\)를 0으로 잡거나 또는 짝수인 경우 \(C_1\)을 0으로 잡고 최고 차항 이후의 계수가 0이 되기위해

$$ \epsilon = n + \frac{1}{2} ~~~~,~~~~n=0,1,2,\cdots $$

이어야 한다. 그러므로 Schrodinger equation의 eigenvalue \(E\)는

$$ E = \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega ~~~~,~~~~n=0,1,2,\cdots $$

만 가능하다. 

THEOREM            Energy of Harmonic Oscillator

 

Harmonic Oscillator의 Energy는

$$ E = \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega ~~~~,~~~~n=0,1,2,\cdots $$

만 가능하다. 이 때, energy를 결정하는 \(n\)이 quantum number가 된다.

Energy를 결정하는데 핵심이되는 변수 \(n\)은 harmonic oscillator의 quantum number가 된다.^[각주:1]

Comments

2.2 자유 입자 A Free Particle ①에서 free particle은 가능한 energy가 연속적이지만, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 infinite potential well과 harmonic oscillator의 경우에는 energy가 quantized(양자화)되어 있다. 또한 고전적 harmonic oscillator에서 가능한 가장 낮은 에너지는 0이지만, 양자역학적 harmonic oscillator에서 가능한 가장 낮은 에너지는 \(n=0\)일 때, \(E=\frac{\hbar\omega}{2}\)이다. 이는 infinite potential well에서도 가장 낮은 에너지는 고전적으로 기대한 값보다 크다. 즉, harmonic oscillator는 \(\frac{\hbar\omega}{2}\)가 zero-point energy(영점에너지)가 된다.

1. Quantum number에 대해서는 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 참고. [본문으로]