[양자역학] 3.4 에르미트 연산자 Hermitian Operators

이번 페이지에서는 linear operator의 Hermitian adjoint에 대하여 살펴본다. Hermitian adjoint 역시 양자역학을 공부하는데 반드시 필요한 개념이다.

DEFINITION            Hermitian Adjoint of Linear Operators

Linear operator \(T\)에 대하여

$$ \left\langle f | T(g) \right\rangle = \langle T^\dagger (f) | g \rangle $$

를 만족하는 linear operator \(T^\dagger\)가 존재하는 경우 \(T^\dagger\)를 \(T\)의 Hermitian adjoint라고 부른다.

Hermitian adjoint에는 다음과 같은 성질이 있다.

THEOREM            Properties

 

1. 

$$ (T^\dagger)^\dagger = T $$

2. \(T\)가 invertible이면

$$ (T^{\dagger})^{-1} = (T^{-1})^\dagger $$

3.

$$ (T+S)^\dagger = T^\dagger + S^\dagger $$

4. complex number \(c\)에 대하여

$$ (c\cdot T)^\dagger = c^\ast \cdot T^\dagger $$

5.

$$ (TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger $$

또한, [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations에서 소개된 방식으로 linear operator를 행렬로 표현할 경우 Hermitian adjoint는 transpose conjugate가 된다. 즉, \(T\)의 행렬표현이

$$ T= \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} & \cdots \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & \cdots \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} $$

이면 \(T^\dagger\)의 행렬표현은

$$ T^\dagger = \begin{bmatrix} t_{11} ^\ast & t_{21} ^\ast & t_{31} ^\ast & \cdots \\ t_{12} ^\ast & t_{22} ^\ast & t_{32} ^\ast & \cdots \\ t_{13} ^\ast & t_{23} ^\ast & t_{33} ^\ast & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} $$

가 된다. 자세한 증명은 [선형대수학] 4.4 Hermitian Adjoint of Operators을 참고.^[각주:1]

Position operator \(X\)와 momentum operator \(P\)는 Hermitian adjoint가 자기 자신과 같은데 이러한 operator들을 Hermitian operator라고 한다.

DEFINITION            Hermitian Operators

 

Linear operator \(T\)가 \(T=T^\dagger\)이면 \(T\)를 Hermitian operator라고 부른다.

Hermitian operator는 eigenvalue가 반드시 real number이어야 한다. 양자역학의 가정에 따르면, 측정값은 반드시 operator의 eigenvalue만 가능하다. 만약 측정이 가능한 물리량이라면, 측정값은 반드시 real number이어야 할 것이다. 따라서 양자역학에서 측정가능한 물리량은 반드시 Hermitian operator로 표현된다.^[각주:2]

1. 수학에서는 Hermitian adjoint를 \\(\\dagger\\)대신 \\(\\ast\\)로, complex conjugate를 \\(c^\\ast\\) 대신 \\(\\bar{c}\\)로 표현한다는 것에 주의하자. [본문으로]
2. Hermitian operator에 대해서는 [선형대수학] 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators) 참고. [본문으로]