[양자역학] 3.4 에르미트 연산자 Hermitian Operators

이번 페이지에서는 linear operator의 Hermitian adjoint에 대하여 살펴본다. Hermitian adjoint 역시 양자역학을 공부하는데 반드시 필요한 개념이다.

DEFINITION            Hermitian Adjoint of Linear Operators

Linear operator $T$에 대하여

$$⟨f|T(g)⟩=⟨T^{†}(f)|g⟩$$

를 만족하는 linear operator $T^{†}$가 존재하는 경우 $T^{†}$를 $T$의 Hermitian adjoint라고 부른다.

Hermitian adjoint에는 다음과 같은 성질이 있다.

THEOREM            Properties

 

1. 

$$(T^{†}{)}^{†}=T$$

2. $T$가 invertible이면

$$(T^{†}{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{†}$$

3.

$$(T+S{)}^{†}=T^{†}+S^{†}$$

4. complex number $c$에 대하여

$$(c\cdot T{)}^{†}=c^{\ast }\cdot T^{†}$$

5.

$$(TS{)}^{†}=S^{†}{T}^{†}$$

또한, [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations에서 소개된 방식으로 linear operator를 행렬로 표현할 경우 Hermitian adjoint는 transpose conjugate가 된다. 즉, $T$의 행렬표현이

$$T=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{11}& t_{12}& t_{13}& \cdots \\ t_{21}& t_{22}& t_{23}& \cdots \\ t_{31}& t_{32}& t_{33}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

이면 $T^{†}$의 행렬표현은

$$T^{†}=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{11}^{\ast }& t_{21}^{\ast }& t_{31}^{\ast }& \cdots \\ t_{12}^{\ast }& t_{22}^{\ast }& t_{32}^{\ast }& \cdots \\ t_{13}^{\ast }& t_{23}^{\ast }& t_{33}^{\ast }& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

가 된다. 자세한 증명은 [선형대수학] 4.4 Hermitian Adjoint of Operators을 참고.^[각주:1]

Position operator $X$와 momentum operator $P$는 Hermitian adjoint가 자기 자신과 같은데 이러한 operator들을 Hermitian operator라고 한다.

DEFINITION            Hermitian Operators

 

Linear operator $T$가 $T=T^{†}$이면 $T$를 Hermitian operator라고 부른다.

Hermitian operator는 eigenvalue가 반드시 real number이어야 한다. 양자역학의 가정에 따르면, 측정값은 반드시 operator의 eigenvalue만 가능하다. 만약 측정이 가능한 물리량이라면, 측정값은 반드시 real number이어야 할 것이다. 따라서 양자역학에서 측정가능한 물리량은 반드시 Hermitian operator로 표현된다.^[각주:2]

1. 수학에서는 Hermitian adjoint를 \(\dagger\)대신 \(\ast\)로, complex conjugate를 \(c^\ast\) 대신 \(\bar{c}\)로 표현한다는 것에 주의하자. [본문으로]
2. Hermitian operator에 대해서는 [선형대수학] 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators) 참고. [본문으로]