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manifold13

[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ① Lie group은 양자역학에서 angular momentum과 같은 연속적인 대칭성을 이해하는데 핵심적인 이론적 토대를 제공한다. 이 페이지에서는 Lie group 그리고 Lie algebra의 아주 기초적인 개념만을 소개한다. Lie Groups Lie group은 group(--abstract algebra,group-- 참고)이면서 동시에 differential manifold(1.1 Differentiable Manifolds 참고)의 구조를 가지고 있는 집합이다. DEFINITION Lie Group Group \(G\) 가 finite-dimensional smooth manifold이고, group operation과 inverse가 smooth map이면 \(G\)를 Lie group이라.. 2018. 10. 7.
[다양체,텐서] 3.3 Parallel Transport, Geodesics Euclidean space에서는 유클리드 기하학의 공리들로부터, 하나의 직선을, 교차하는 다른 curve 위에서 평행하게 옮기는 것이 가능하다. Affine connection이 정의된 manifold에서도 이러한 것이 가능한데 이를 parallel transport라고 부른다. Parallel Vector Field along a Curve Affine connection \(\nabla\)가 정의된 manifold \(M\)의 differentiable curve \(\gamma:I\to M\)에 대하여, map \(X: I \to TM\)$$ X(t) \in T_{\gamma(t)}M $$를 \(\gamma\) 에 정의된 vector field라고 부른다. 가장 대표적인 예가 curve의 tang.. 2018. 9. 26.
[다양체,텐서] 3.2 Affine Connections, Covariant Derivatives Euclidean space에서는, translation에 의하여 point \(p\)에서의 tangent space가 \(p\) 주변의 point \(q\)에서의 tangent space로 자연스럽게 연결되기 때문에 curve나 surface를 분석하기 위해서 사용되는 directional derivative가 자연스럽게 정의된다. 그러나 일반적인 manifold는 point \(p\)의 tangent space와 그 주변의 tangent space를 연결하는데 정해진 방법이 없다. 이렇게 tangent space 간의 연결 구조를 정의해 주는 것이 affine connection이다. Affine Connections DEFINITION Affine Connection Smooth manifold \.. 2018. 9. 15.
[다양체,텐서] 3.1-(3) Divergence of Vector Field Manifold에서 divergence는 volume form(2.6 Volume Forms 참고)과 Lie derivative(2.4-(3) Lie Derivatives of Tensor Fields 참고)을 이용해 정의된다. Divergences of Vector Fields DEFINITION Divergence of Vector Field (Manifold) \(M\)을 oriented manifold, n-form \(\omega\)를 \(M\)의 volume form이라고 하자. Vector field \(X\)의 divergence를 다음을 만족하는 real-valued function \(\mathrm{div}(X):M\to\mathbb{R}\) 으로 정의한다.$$ (\mathrm{div}.. 2018. 9. 14.
[다양체,텐서] 3.1-(2) Gradient of Function 2.4-(1) Example: Gradient, Divergence, Curl에서 vector calculus에서 정의된 미분이 exterior derivative와 연관되어 있다는 것을 확인했었다. 이 페이지와 다음 페이지에 걸쳐서 manifold에서 gradient와 divergence를 정식으로 정의하고 local coordinates에서의 표현을 살펴본다. (Curl은 3차원에서만 정의되고 다른 차원에서는 일반화되지 못한다.) Raising and Lowering Index isomorphism \(n\)-dimensional smooth manifold \(M\)에 대하여, \(T_pM\)과 \(T_p ^* M\)은 isomorphic하므로, Riemannian metric \(\left\lan.. 2018. 9. 13.
(다양체,텐서) 3.1-(1) Length of Curve Vector calculus에서 3차원 Euclidean space \(\mathbb{R}^3\)에 정의되는 curve는 1차원 변수 parametrization된다. 예를 들어, 구간\([0,4\pi]\)에 정의된 함수$$ \gamma (t) = (\cos{t},\sin{t},t) $$는 아래 그림과 같은 형태의 curve가 된다. By RobHar [Public domain], via Wikimedia Commons Differentiable curve \(\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^3\)$$ \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) $$의 길이를 구하기 위해서, \(t\)가 \(t'\)에서 \(t'+dt\)까지 변하는 동안의 \(\gamma\)의 작은 조각의 길이를 구.. 2018. 9. 13.
[다양체,텐서] 3.1 Riemannian Metric 3차원 Euclidean space에서 입자가 경로를 따라 움직일 때 움직인 거리, 속력 등은 자연스럽게 도입되는 좌표계인 Cartesian coordinate system으로부터 정의된다. 그러나 일반적인 manifold에서는 자연스럽게 도입되는 좌표계라는 것이 존재하지 않으므로, Riemannian metric이라는 새로운 구조를 추가적으로 정의해줘야 한다. Riemannian Manifold Riemannian metric을 정의하기 이전에, covariant 2-tensor에 정의되는 특성 몇가지를 살펴보자. DEFINITION covariant 2-tensor \(g\)가 임의의 vector \(v\), \(w\)에 대하여$$ g(v,w) = g(w,v) $$이면 \(g\)가 symmetric하.. 2018. 9. 11.
[다양체,텐서] 2.7 Stokes' Theorem 전자기학에서 사용되는 vector calculus의 중요한 theorem인 divergence theorem$$ \int _V (\nabla \cdot \mathbf{F}) ~dV = \oint _S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) ~dS $$는 divergence가 3차원 Euclidean space에서 2-form의 exterior derivative라는 점과 submanifold \(V\)와 그 submanifold \(S\), inclusion map \(i\)를 이용하면,$$ \int _V dF = \int _S i^\ast F $$로 표현할 수 있다. 또다른 정리 Stoke's theorem$$ \int _\Sigma (\nabla \times \mathbf{F})\cdo.. 2018. 9. 9.

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