[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ①

Lie group은 양자역학에서 angular momentum과 같은 연속적인 대칭성을 이해하는데 핵심적인 이론적 토대를 제공한다. 이 페이지에서는 Lie group 그리고 Lie algebra의 아주 기초적인 개념만을 소개한다.

Lie Groups

Lie group은 group(--abstract algebra,group-- 참고)이면서 동시에 differential manifold(1.1 Differentiable Manifolds 참고)의 구조를 가지고 있는 집합이다.

DEFINITION            Lie Group

 

Group \(G\) 가 finite-dimensional smooth manifold이고, group operation과 inverse가 smooth map이면 \(G\)를 Lie group이라고 한다.

Group operation(보통 multiplication으로 부름)이 smooth map이라는 것은 group operation을 \(\mu : G \times G \to G\)

$$ \mu(x,y)=xy $$

와 같이 product manifold \(G\times G\) 에서 manifold \(G\) 로의 map으로 보았을 때, 미분가능성을 의미한다. 같은 방식으로 inverse를 \(\nu:G\to G\)

$$ \nu(x) = x^{-1} $$

와 같이 manifold \(G\) 에서 manifold \(G\) 로의 map으로 보았을 때 smooth함을 의미한다.

Examples

1. n-dimensional Euclidean space \((\mathbb{R}^n,+)\)

\(\mathbb{R}^n\) 에 vector addition \(+\) 은 group 구조를 가진다. 또한 \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\) (\(\cong \mathbb{R}^{2n}\)) 으로부터 \(\mathbb{R}^n\) 으로의 map

$$ \mu(x^1,\cdots,x^n,x^{n+1},\cdots,x^{2n}) = (x^1+x^{n+1},\cdots,x^n+x^{2n}) $$

은 smooth map이다. 같은 방식으로 \(\mathbb{R}^n\) 으로부터 \(\mathbb{R}^n\) 으로의 map

$$ \nu(x^1,\cdots,x^n) = (-x^1,\cdots,-x^n) $$

은 smooth map이다. 따라서 \((\mathbb{R}^n,+)\) 는 Lie group이다.

2. The General Linear Group \(\mathrm{GL}(n)\)

$$ \mathrm{GL}(n) = \{~ A \in M_{nn} ~|~ \det{A} \ne 0 ~\} $$

1.1 Differentiable Manifolds의 예제에서 \(n\times n\) matrix들의 집합 \(M_{nn}\)과 그 부분집합인 \(\mathrm{GL}(n)\)이 \(n^2\)-dimensional smooth manifold가 됨을 확인했다. Group operation을 matrix multiplication으로 잡고, coordinate \(x^{ij}\) 를 matrix의 i번째 행, j번째 열 값이라고 하면,

$$ \mu (A,B) = AB $$

는 coordinates 표현으로

$$ \mu (x^{11},x^{12},\cdots,x^{nn},y^{11},y^{12},\cdots,y^{nn}) = \left( \sum_{k=1} ^n x^{1k}y^{k1}, \sum _{k=1} ^n x^{1k}y^{k2}, \cdots, \sum _{k=1} ^n x^{nk}y^{kn} \right) $$

즉, polynomial로 되어있으므로 matrix multiplication은 smooth map이다. inverse operation은 Cramer rule(즉, \(x^{ij}\) 의 polynomial)로 주어져 있으므로 역시 smooth map이다. 따라서 \(\mathrm{GL}(n)\) 은 Lie group이다.

3. The Special Linear Group \(\mathrm{SL}(n)\)

$$ \mathrm{SL}(n) = \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ \det{A} = 1 ~\right\} $$

\(\mathrm{GL}(n)\) 의 subgroup이 closed(--topology, limit point-- 참고)인 경우 그 subgroup을 matrix Lie group이라고 부른다. 이름에서 알 수 있듯이 matrix Lie group은 Lie group이다.

THEOREM            Matrix Lie Group (Closed-subgroup Theorem)

\(\mathrm{GL}(n)\) 의 closed subgroup은 Lie group이다.

continuous function \(\det\) 에 대하여, \(\mathrm{SL}(n)=\det^{-1}(1)\) 이므로 \(\mathrm{SL}(n)\) 은 matrix Lie group이다. 마지막 예제를 제외한, 이하에서 소개되는 모든 예제는 matrix Lie group이다.

4. The Orthogonal Group \(\mathrm{O}(n)\)

$$ \mathrm{O}(n) = \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ A^t A = I ~\right\} $$

Euclidean space \(\mathbb{R}^n\) 에 정의된 inner product

$$ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{i=1} ^n x^i y^j $$

에 대하여 \(n \times n\) matrix \(A\) 가

$$ \left\langle Ax,Ay \right\rangle = \left\langle x,y \right\rangle $$

즉, isometry([선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고)이면, \(A \in \mathrm{O}(n)\) 이다. 역으로 \(A \in \mathrm{O}(n)\) 이면, \(A\) 는 isometry가 된다. 따라서 \(\mathrm{O}(n)\) 은 'isometry들의 집합'이라고 할 수 있다. 기하학적으로는 벡터들의 길이와, 벡터들 사이의 각도를 변화시키지 않는 linear operator들의 집합이다.

5. The Special Orthogonal Group \(\mathrm{SO}(n)\)

$$ \mathrm{SO}(n) = \left\{~ A \in \mathrm{O}(n) ~|~ \det{A} = 1 ~\right\} $$

\(n \times n\) matrix \(A\) 가 \(A^t A=I\) 를 만족하면,

$$ \det{(A^tA)} = (\det{A})^2 = 1 $$

이므로 \(\det{A} = \pm 1\) 이다. 따라서 \(\mathrm{O}(n)\) 은 2개의 connected component(--topology, connected-- 참고)들로 이루어져 있는데, 그 중 하나가 \(\mathrm{SO}(n)\) 이다.(다른 connected component \(\det{A}=-1\) 은 \(I\)가 포함되어 있지 않으므로 group이 아니다.) 특히, \(n=2\) 인 경우,

$$ A = \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin{\theta} & \cos\theta \end{array} \right) $$

의 형태로 표현할 수 있다. 일반화하여, \(\mathrm{SO}(n)\) 는 n-dimensional Euclidean space에서의 회전변환들의 집합이고 \(\mathrm{O}(n)\) 은 회전에 reflection, inversion이 포함된 변환이라고 할 수 있다. (자세한 내용은 [선형대수학] 2.5-(2) Example: Rotation 참고)

6. The Unitary Group \(\mathrm{U}(n)\), The Special Unitary Group \(\mathrm{SU}(n)\)

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{U}(n) & = & \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ A^* A = I ~\right\} \\ \\ \mathrm{SU}(n) & = & \left\{~ A \in \mathrm{U}(n) ~|~ \det{A} = 1 ~\right\} \end{eqnarray} $$

\(\mathrm{U}(n)\) 은 real number space대신 complex number space에서 isometry들의 집합이다. 비슷하게, \(\mathrm{SU}(n)\) 은 real number space에서 \(\mathrm{SO}(n)\) 의 역할과 비슷한 역할을 한다. ([선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고)

7. Lie Group not Matrix Lie Group

모든 \(\mathrm{GL}(n)\) 의 Lie subgroup이 matrix Lie group이 되는 것은 아니다. 예를 들어, 고정된 irrational number \(a\) 에 대하여,

$$ G = \left\{ \left.~ \left( \begin{array}{cc} e^{2\pi i\theta} & 0 \\ 0 & e^{2\pi i a \theta} \end{array} \right) ~\right|~ \theta \in \mathbb{R} ~\right\} $$

로 정의하면, \(G\) 는 \(\mathrm{GL}(n)\) 의 sub group이 된다. 그러나 \(-I\) 는 \(G\) 의 limit point이면서 \(G\) 에 포함되지 않으므로 closed가 아니다. 즉, Lie group이지만 matrix Lie group은 아니다.