[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ①

Lie group은 양자역학에서 angular momentum과 같은 연속적인 대칭성을 이해하는데 핵심적인 이론적 토대를 제공한다. 이 페이지에서는 Lie group 그리고 Lie algebra의 아주 기초적인 개념만을 소개한다.

Lie Groups

Lie group은 group(--abstract algebra,group-- 참고)이면서 동시에 differential manifold(1.1 Differentiable Manifolds 참고)의 구조를 가지고 있는 집합이다.

DEFINITION            Lie Group

 

Group $G$ 가 finite-dimensional smooth manifold이고, group operation과 inverse가 smooth map이면 $G$를 Lie group이라고 한다.

Group operation(보통 multiplication으로 부름)이 smooth map이라는 것은 group operation을 $\mu :G\times G\to G$

$$\mu (x,y)=xy$$

와 같이 product manifold $G\times G$ 에서 manifold $G$ 로의 map으로 보았을 때, 미분가능성을 의미한다. 같은 방식으로 inverse를 $\nu :G\to G$

$$\nu (x)=x^{-1}$$

와 같이 manifold $G$ 에서 manifold $G$ 로의 map으로 보았을 때 smooth함을 의미한다.

Examples

1. n-dimensional Euclidean space $({\mathbb{R}}^n,+)$

${\mathbb{R}}^n$ 에 vector addition $+$ 은 group 구조를 가진다. 또한 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ ($\cong {\mathbb{R}}^{2n}$) 으로부터 ${\mathbb{R}}^n$ 으로의 map

$$\mu (x^1,\cdots ,x^n,x^{n+1},\cdots ,x^{2n})=(x^1+x^{n+1},\cdots ,x^n+x^{2n})$$

은 smooth map이다. 같은 방식으로 ${\mathbb{R}}^n$ 으로부터 ${\mathbb{R}}^n$ 으로의 map

$$\nu (x^1,\cdots ,x^n)=(-x^1,\cdots ,-x^n)$$

은 smooth map이다. 따라서 $({\mathbb{R}}^n,+)$ 는 Lie group이다.

2. The General Linear Group $\mathrm{GL}(n)$

$$\mathrm{GL}(n)=\{A\in M_{nn}|detA\ne 0\}$$

1.1 Differentiable Manifolds의 예제에서 $n\times n$ matrix들의 집합 $M_{nn}$과 그 부분집합인 $\mathrm{GL}(n)$이 $n^2$-dimensional smooth manifold가 됨을 확인했다. Group operation을 matrix multiplication으로 잡고, coordinate $x^{ij}$ 를 matrix의 i번째 행, j번째 열 값이라고 하면,

$$\mu (A,B)=AB$$

는 coordinates 표현으로

$$\mu (x^{11},x^{12},\cdots ,x^{nn},y^{11},y^{12},\cdots ,y^{nn})=(\sum _{k=1}^n{x}^{1k}{y}^{k1},\sum _{k=1}^n{x}^{1k}{y}^{k2},\cdots ,\sum _{k=1}^n{x}^{nk}{y}^{kn})$$

즉, polynomial로 되어있으므로 matrix multiplication은 smooth map이다. inverse operation은 Cramer rule(즉, $x^{ij}$ 의 polynomial)로 주어져 있으므로 역시 smooth map이다. 따라서 $\mathrm{GL}(n)$ 은 Lie group이다.

3. The Special Linear Group $\mathrm{SL}(n)$

$$\mathrm{SL}(n)=\{A\in M_{nn}|detA=1\}$$

$\mathrm{GL}(n)$ 의 subgroup이 closed(--topology, limit point-- 참고)인 경우 그 subgroup을 matrix Lie group이라고 부른다. 이름에서 알 수 있듯이 matrix Lie group은 Lie group이다.

THEOREM            Matrix Lie Group (Closed-subgroup Theorem)

$\mathrm{GL}(n)$ 의 closed subgroup은 Lie group이다.

continuous function $det$ 에 대하여, $\mathrm{SL}(n)=\stackrel{-1}{det}(1)$ 이므로 $\mathrm{SL}(n)$ 은 matrix Lie group이다. 마지막 예제를 제외한, 이하에서 소개되는 모든 예제는 matrix Lie group이다.

4. The Orthogonal Group $\mathrm{O}(n)$

$$\mathrm{O}(n)=\{A\in M_{nn}|A^{t}A=I\}$$

Euclidean space ${\mathbb{R}}^n$ 에 정의된 inner product

$$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}^i{y}^j$$

에 대하여 $n\times n$ matrix $A$ 가

$$⟨Ax,Ay⟩=⟨x,y⟩$$

즉, isometry([선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고)이면, $A\in \mathrm{O}(n)$ 이다. 역으로 $A\in \mathrm{O}(n)$ 이면, $A$ 는 isometry가 된다. 따라서 $\mathrm{O}(n)$ 은 'isometry들의 집합'이라고 할 수 있다. 기하학적으로는 벡터들의 길이와, 벡터들 사이의 각도를 변화시키지 않는 linear operator들의 집합이다.

5. The Special Orthogonal Group $\mathrm{SO}(n)$

$$\mathrm{SO}(n)=\{A\in \mathrm{O}(n)|detA=1\}$$

$n\times n$ matrix $A$ 가 $A^{t}A=I$ 를 만족하면,

$$det(A^{t}A)=(detA{)}^2=1$$

이므로 $detA=\pm 1$ 이다. 따라서 $\mathrm{O}(n)$ 은 2개의 connected component(--topology, connected-- 참고)들로 이루어져 있는데, 그 중 하나가 $\mathrm{SO}(n)$ 이다.(다른 connected component $detA=-1$ 은 $I$가 포함되어 있지 않으므로 group이 아니다.) 특히, $n=2$ 인 경우,

$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

의 형태로 표현할 수 있다. 일반화하여, $\mathrm{SO}(n)$ 는 n-dimensional Euclidean space에서의 회전변환들의 집합이고 $\mathrm{O}(n)$ 은 회전에 reflection, inversion이 포함된 변환이라고 할 수 있다. (자세한 내용은 [선형대수학] 2.5-(2) Example: Rotation 참고)

6. The Unitary Group $\mathrm{U}(n)$, The Special Unitary Group $\mathrm{SU}(n)$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{U}(n)& =& \{A\in M_{nn}|A^{\ast }A=I\}\\ \\ \mathrm{SU}(n)& =& \{A\in \mathrm{U}(n)|detA=1\}\end{array}$$

$\mathrm{U}(n)$ 은 real number space대신 complex number space에서 isometry들의 집합이다. 비슷하게, $\mathrm{SU}(n)$ 은 real number space에서 $\mathrm{SO}(n)$ 의 역할과 비슷한 역할을 한다. ([선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고)

7. Lie Group not Matrix Lie Group

모든 $\mathrm{GL}(n)$ 의 Lie subgroup이 matrix Lie group이 되는 것은 아니다. 예를 들어, 고정된 irrational number $a$ 에 대하여,

$$G=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i\theta }& 0\\ 0& e^{2\pi ia\theta }\end{array}\right)|\theta \in \mathbb{R}\}$$

로 정의하면, $G$ 는 $\mathrm{GL}(n)$ 의 sub group이 된다. 그러나 $-I$ 는 $G$ 의 limit point이면서 $G$ 에 포함되지 않으므로 closed가 아니다. 즉, Lie group이지만 matrix Lie group은 아니다.