[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ②

Lie Algebras

Lie group $G$ 의 원소 $g$ 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 map $L_g:G\to G$ , $R_g:G\to G$ 를 각각 $g$ 의 left multiplication, right multiplication이라고 부른다.

$$\begin{array}{rcl}{L}_{g}h& =& gh\\ \\ R_{g}h& =& hg\end{array}$$

만약 $G$ 의 vector field $X$ 가 모든 group element $g$ 에 대하여,

$$(L_g{)}_{\ast }X=X$$

를 만족하면, $X$ 를 left-invariant하다고 부른다.

이러한 left-invariant한 vector field들의 집합은 vector space가 되는데, 이 space는 $G$ 의 identity $e$ 의 tangent space $T_{e}G$ 에 isomorphic하다. 예를 들어, $T_{e}G$ 의 원소 $V$ 에 대하여, $G$ 의 vector field $X^V$ 를 point $g$ 에서 값

$$X_g^V=d(L_g{)}_{e}V$$

을 가지도록 정의하면,

$$d(L_h{)}_g{X}_g^V=d(L_h{)}_{g}d(L_g{)}_{e}V=d(L_h\circ L_g{)}_{e}V=d(L_{hg}{)}_{e}V=X_{hg}^V$$

이므로 left-invariant하다. 역으로 left-invariant한 vector field $X$ 에 대하여 $e$ 에서의 value로 injective하게 대응시킬 수 있다.

또한, left-invariant space는 Lie bracket에 대하여 invariant하다. 1.5 Vector Fields, Lie Bracket에서 확인한 것과 같이 $X$, $Y$가 left-invariant vector field이면,

$$(L_g{)}_{\ast }[X,Y]=[(L_g{)}_{\ast }X,(L_g{)}_{\ast }Y]=[X,Y]$$

이므로 $[X,Y]$ 도 left-invariant하다. 이러한 구조는 $T_{e}G$ 에도 똑같이 적용된다. 이와 같이 Lie group의 많은 성질(특히 local한 구조)들을 $T_{e}G$ 의 구조로부터 알 수 있기 때문에, $T_{e}G$ 를 특별하게 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Lie Algebra

Lie group $G$ 에 대하여, group operation identity $e$ 에 대한 tangent space를 Lie algebra라고 부른다.

보통 Lie algebra는 $\mathfrak{g}$ 와 같이 소문자로 표기한다.

Examples

1. $\mathfrak{gl}(n)=M_{nn}$

$n\times n$ matrix의 coordinate $x^{ij}$ 를 matrix의 i 번째 행, j 번째 열 값으로 하자. 예를 들어,

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}^{11}& a^{12}& \cdots & a^{1n}\\ a^{21}& a^{22}& \cdots & a^{2n}\\ & & ⋮& \\ a^{n1}& a^{n2}& \cdots & a^{nn}\end{array}\right)$$

는 coordinates 표현

$$(a^{11},a^{12},\cdots ,a^{1n},a^{21},\cdots ,a^{nn})$$

으로 표현하면 $M_{nn}$ 은 그 자체로 vector space이므로 tangent vector $\frac{\partial }{\partial x^{ij}}$ 는 matrix의 i번째 행, j 번째 열을 나타낸다. 예를 들어, $3\times 3$ identity matrix에서의 tangent vector

$$B=\sum _{i,j=1}^3{b}^{ij}{\left(\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\right)}_I$$

는 결국 $3\times 3$ matrix

$$B=\left(\begin{array}{ccc}{b}^{11}& b^{12}& b^{13}\\ b^{21}& b^{22}& b^{23}\\ b^{31}& b^{32}& b^{33}\end{array}\right)$$

를 나타낸다.

이제, identity matrix에서 tangent space를 살펴보자. 임의의 $n\times n$ matrix $A$에 대하여, curve

$$\alpha (t)=I+tA=(1+t{a}^{11},t{a}^{12},\cdots ,t{a}^{1n},t{a}^{21},1+t{a}^{22},\cdots )$$

에 대하여, $t$ 가 충분히 작으면, 예를 들어

$$|t|<min\left\{\frac{1}{|\lambda |}|\lambda \text{ is a non-zero eigenvalue of }A\right\}$$

의 영역에서는 $det(t^{-1}I+A)\ne 0$ 이므로 $\alpha$ 는 $\mathrm{GL}(n)$ 의 curve가 되고

$$\begin{array}{rcl}\alpha (0)& =& I\\ \\ \dot{\alpha }(0)& =& \sum _{i,j=1}^n{a}^{ij}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}=A\end{array}$$

이므로 $A\in \mathfrak{gl}(n)$ 이다. 즉, $M_{nn}\subset \mathfrak{gl}(n)$ 이므로 $\mathfrak{gl}(n)=M_{nn}$ 이다.

2. $\mathfrak{sl}(n)=\{A\in M_{nn}|\mathrm{tr}(A)=0\}$

Determinant를 coordinates로 표현하면,

$$detX=\sum _{\sigma :\mathrm{permutation}}(\mathrm{sgn}\sigma ){ϵ}_{\sigma 1\sigma 2\cdots \sigma n}{x}^{1,\sigma 1}{x}^{2,\sigma 2}\cdots x^{n,\sigma n}$$

이므로

$$\frac{\partial detX}{\partial x^{ij}}=\sum _{\sigma :\mathrm{permutation}}(\mathrm{sgn}\sigma ){ϵ}_{\sigma 1\sigma 2\cdots \sigma n}{x}^{1,\sigma 1}{x}^{2,\sigma 2}\cdots \frac{\partial x^{i,\sigma i}}{\partial x^{ij}}\cdots x^{n,\sigma n}$$

이제, $\mathrm{SL}(n)$ 의 curve $\alpha (t)$ 가

$$\begin{array}{rcl}\alpha (0)& =& I\\ \\ \dot{\alpha }(0)& =& A\end{array}$$

를 만족할 때, $\alpha (t)$ 는 $det(\alpha (t))=0$ 을 만족하므로,

$$\begin{array}{rcl}{\frac{d(det\alpha (t))}{dt}|}_{t=0}& =& \sum _{i,j=1}^n{\frac{d{x}^{ij}}{dt}|}_{t=0}{\frac{\partial (det\alpha (t))}{\partial x^{ij}}|}_{t=0}\\ \\ & =& \sum _{i,j=1}^n{a}^{ij}[\sum _{\sigma :\mathrm{permutation}}(\mathrm{sgn}\sigma ){ϵ}_{\sigma 1\sigma 2\cdots \sigma n}{\delta }_{1,\sigma 1}{\delta }_{2,\sigma 2}\cdots {\delta }_{j,\sigma i}\cdots {\delta }_{n,\sigma n}]\end{array}$$

이어야 한다. 결국 마지막의 $\delta$ 들에 의해 identity permutation을 제외하고는 모두 0이 된다. 따라서,

$${\frac{d(det\alpha (t))}{dt}|}_{t=0}=\sum _{i,j=1}^n{a}^{ij}{\delta }_{ji}=\sum _{i=1}^n{a}^{ii}=\mathrm{tr}(A)=0$$

따라서 

$$\mathfrak{sl}(n)\subset \{A\in M_{nn}|\mathrm{tr}(A)=0\}$$

반대쪽 증명은 1번과 거의 비슷하다.

3. $\mathfrak{o}(n)=\{A\in M_{nn}|A^t+A=0\}$

Orthogonal matrix 조건을 coordinates로 표현하면

$$(X^{t}X{)}^{ij}=\sum _{k=1}^n{x}^{ki}{x}^{kj}={\delta }_{ij}$$

이므로 $\mathrm{O}(n)$ 의 curve $\alpha$ 는

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt}(\alpha (t{)}^t\alpha (t){)}^{ij}& =& \sum _{lm=1}^n\frac{d{x}^{lm}}{dt}\frac{\partial }{\partial x^{lm}}(x^{ki}{x}^{kj})\\ \\ & =& \sum _{lm=1}^n\frac{d{x}^{lm}}{dt}({\delta }_{lk}{\delta }_{mi}{x}^{kj}+{\delta }_{lk}{\delta }_{mj}{x}^{ki})\\ \\ & =& \frac{d{x}^{ki}}{dt}{x}^{kj}+\frac{d{x}^{kj}}{dt}{x}^{ki}=0\end{array}$$

를 만족해야 한다. 따라서, $\mathrm{O}(n)$ 의 curve $\alpha (t)$가

$$\begin{array}{rcl}\alpha (0)& =& I\\ \\ \dot{\alpha }(0)& =& A\end{array}$$

를 만족할 때, 위의 미분식에 $t=0$ 을 대입하면,

$$a^{ji}+a^{ij}=0$$

즉, $A^t+A=0$ 를 만족해야 한다. 이렇게 자기 자신과 transpose를 더했을 때 0가 되는 matrix를 skew-symmetric이라고 부른다. $\mathfrak{o}(n)$ 의 dimension은 $\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)$ 이다.

4. $\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{o}(n)$

2번에서 본것과 같이 $detX=1$ 은 Lie algebra에서 $\mathrm{tr}(A)=0$ 으로 나타난다. 따라서 $\mathfrak{so}(n)$ 은 $\mathfrak{o}(n)$ 의 matrix 중에서 traceless한 matrix들의 집합이 된다. 다만, $A$ 가 skew-symmetric이면 diagonal element $a^{ii}=0$ 이므로 traceless이다.

5. $\mathfrak{u}(n)=\{A\in M_{nn}|A^{\ast }+A=0\}$

$\mathrm{U}(n)$ 의 경우 $\mathrm{O}(n)$ 에서 transpose를 transpose conjugate로 바꾸면 된다. 따라서 $A^t+A=0$ 대신 

$$A^{\ast }+A=0$$

을 만족하는 matrix들의 집합이 $\mathfrak{u}(n)$ 이 된다. 이러한 matrix를 skew-hermitian이라고 부른다.

6. $\mathfrak{su}(n)=\{A\in \mathfrak{u}(n)|A^t+A=0\}$

위의 논의들로부터, $\mathfrak{su}(n)$ 은 skew-hermitian이면서 traceless한 matrix들의 집합이 된다.

Lie Bracket on Matrix Lie Algebras

Lie algebra는 left-invariant vector field들의 Lie bracket 구조를 그대로 가지고 있다. 특히 matrix Lie algebra의 경우 lie bracket이 commutator가 된다.

$\mathfrak{gl}(n)$ 의 vector $A$ 와 $B$ 에 대응되는 $\mathrm{GL}(n)$ 의 left-invariant vector field $X^A$ 와 $X^B$ 의 coordinates 표현은

$$\begin{array}{r}{X}_g^A=(d{L}_g{)}_{I}A=\sum _{i,j,k=1}^n{x}^{ik}{a}^{kj}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\\ \\ X_g^B=(d{L}_g{)}_{I}B=\sum _{i,j,k=1}^n{x}^{ik}{b}^{kj}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\end{array}$$

이므로 Lie bracket $[X^A,X^B]$ 의 coordinates 표현은

$$\begin{array}{rcl}[X^A,X^B](g)& =& \sum _{i,j,k,s,t,u=1}^n(x^{su}{a}^{ut}\frac{\partial }{\partial x^{st}}(x^{ik}{b}^{kj})-x^{su}{b}^{ut}\frac{\partial }{\partial x^{st}}(x^{ik}{a}^{kj}))\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\\ \\ & =& \sum _{i,j,k,s,t,u=1}^n[x^{su}{a}^{ut}{\delta }_{si}{\delta }_{tk}{b}^{kj}-x^{su}{b}^{ut}{\delta }_{si}{\delta }_{tk}{a}^{kj}]\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\\ \\ & =& \sum _{i,j,k,u=1}^n{x}^{iu}(a^{uk}{b}^{kj}-b^{uk}{a}^{kj})\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\\ \\ & =& \sum _{i,j,u=1}^n{x}^{iu}(AB-BA{)}^{uj}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}\end{array}$$

즉, $[X^A,X^B]$ 에 대응되는 $\mathfrak{gl}(n)$ 의 vector는 identity matrix $I$ 에서의 tangent vector 값 $AB-BA$ 가 된다. 따라서, $\mathfrak{gl}(n)$ 에 다음과 같이 Lie bracket을 정의할 수 있다.

DEFINITION            Matrix Lie Algebra

$\mathfrak{gl}(n)$ 의 원소 $A$, $B$ 에 대하여, Lie bracket을 다음과 같이 정의한다.

$$[A,B]=AB-BA$$

Matrix Lie group에 대한 Lie algebra는 Lie bracket 대응 관계가 그대로 적용된다. 이와 같이, Lie group의 left-invariant vector field사이에 Lie bracket은 Lie algebra에서 대응되는 Lie bracket을 정의할 수 있다.