[다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ②

Lie Algebras

Lie group \(G\) 의 원소 \(g\) 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 map \(L_g:G\to G\) , \(R_g:G\to G\) 를 각각 \(g\) 의 left multiplication, right multiplication이라고 부른다.

$$ \begin{eqnarray} L_gh &=& gh \\ \\ R_gh &=& hg \end{eqnarray} $$

만약 \(G\) 의 vector field \(X\) 가 모든 group element \(g\) 에 대하여,

$$ (L_g)_\ast X = X $$

를 만족하면, \(X\) 를 left-invariant하다고 부른다.

이러한 left-invariant한 vector field들의 집합은 vector space가 되는데, 이 space는 \(G\) 의 identity \(e\) 의 tangent space \(T_eG\) 에 isomorphic하다. 예를 들어, \(T_eG\) 의 원소 \(V\) 에 대하여, \(G\) 의 vector field \(X^V\) 를 point \(g\) 에서 값

$$ X_g ^V = d(L_g)_e V $$

을 가지도록 정의하면,

$$ d(L_h)_g X_g ^V = d(L_h)_g d(L_g)_e V = d(L_h\circ L_g)_e V = d(L_{hg})_e V = X_{hg} ^V $$

이므로 left-invariant하다. 역으로 left-invariant한 vector field \(X\) 에 대하여 \(e\) 에서의 value로 injective하게 대응시킬 수 있다.

또한, left-invariant space는 Lie bracket에 대하여 invariant하다. 1.5 Vector Fields, Lie Bracket에서 확인한 것과 같이 \(X\), \(Y\)가 left-invariant vector field이면,

$$ (L_g)_\ast[X,Y] = [(L_g)_\ast X,(L_g)_\ast Y] = [X,Y] $$

이므로 \([X,Y]\) 도 left-invariant하다. 이러한 구조는 \(T_eG\) 에도 똑같이 적용된다. 이와 같이 Lie group의 많은 성질(특히 local한 구조)들을 \(T_eG\) 의 구조로부터 알 수 있기 때문에, \(T_eG\) 를 특별하게 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Lie Algebra

Lie group \(G\) 에 대하여, group operation identity \(e\) 에 대한 tangent space를 Lie algebra라고 부른다.

보통 Lie algebra는 \(\mathfrak{g}\) 와 같이 소문자로 표기한다.

Examples

1. \( \mathfrak{gl}(n) = M_{nn} \)

\(n\times n\) matrix의 coordinate \(x^{ij}\) 를 matrix의 i 번째 행, j 번째 열 값으로 하자. 예를 들어,

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} a^{11} & a^{12} & \cdots & a^{1n} \\ a^{21} & a^{22} & \cdots & a^{2n} \\ & & \vdots & \\ a^{n1} & a^{n2} & \cdots & a^{nn} \end{array} \right) $$

는 coordinates 표현

$$ (a^{11},a^{12},\cdots,a^{1n},a^{21},\cdots,a^{nn}) $$

으로 표현하면 \(M_{nn}\) 은 그 자체로 vector space이므로 tangent vector \(\frac{\partial}{\partial x^{ij}}\) 는 matrix의 i번째 행, j 번째 열을 나타낸다. 예를 들어, \(3\times 3\) identity matrix에서의 tangent vector

$$ B = \sum_{i,j=1} ^3 b^{ij} ~\left(\frac{\partial}{\partial x^{ij}}\right)_I $$

는 결국 \(3\times 3\) matrix

$$ B = \left( \begin{array}{ccc} b^{11} & b^{12} & b^{13} \\ b^{21} & b^{22} & b^{23} \\ b^{31} & b^{32} & b^{33} \end{array} \right) $$

를 나타낸다.

이제, identity matrix에서 tangent space를 살펴보자. 임의의 \(n\times n\) matrix \(A\)에 대하여, curve

$$ \alpha(t) = I+tA = (1+ta^{11},ta^{12},\cdots,ta^{1n}, ta^{21},1+ta^{22},\cdots) $$

에 대하여, \(t\) 가 충분히 작으면, 예를 들어

$$ |t| < \min{\left\{\left.~ \frac{1}{|\lambda|} ~\right|~\lambda \text{ is a non-zero eigenvalue of }A ~\right\}} $$

의 영역에서는 \(\det{(t^{-1}I+A)} \ne 0\) 이므로 \(\alpha\) 는 \(\mathrm{GL}(n)\) 의 curve가 되고

$$ \begin{eqnarray} \alpha(0) & = & I \\ \\ \dot{\alpha}(0) & = & \sum _{i,j=1} ^n a^{ij} ~\frac{\partial}{\partial x^{ij}} = A \end{eqnarray} $$

이므로 \(A \in \mathfrak{gl}(n)\) 이다. 즉, \(M_{nn} \subset \mathfrak{gl}(n)\) 이므로 \(\mathfrak{gl}(n)=M_{nn}\) 이다.

2. \(\mathfrak{sl}(n) = \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ \mathrm{tr}(A)=0 ~\right\}\)

Determinant를 coordinates로 표현하면,

$$ \det{X} = \sum_{\sigma\mathrm{:~permutation}} (\mathrm{sgn}~\sigma)~\epsilon _{\sigma1 \sigma2 \cdots \sigma n}~ x^{1,\sigma 1}~ x^{2, \sigma 2} ~\cdots~ x^{n, \sigma n} $$

이므로

$$ \frac{\partial \det{X}}{\partial x^{ij}} = \sum_{\sigma\mathrm{:~permutation}} (\mathrm{sgn}~\sigma)~\epsilon _{\sigma1 \sigma2 \cdots \sigma n}~ x^{1,\sigma 1}~ x^{2, \sigma 2} ~\cdots ~\frac{\partial x^{i,\sigma i}}{\partial x^{ij}}~ \cdots~ x^{n, \sigma n} $$

이제, \(\mathrm{SL}(n)\) 의 curve \(\alpha(t)\) 가

$$ \begin{eqnarray} \alpha(0) & = & I \\ \\ \dot{\alpha}(0) & = & A \end{eqnarray} $$

를 만족할 때, \(\alpha(t)\) 는 \(\det{(\alpha(t))} = 0 \) 을 만족하므로,

$$ \begin{eqnarray} \left. \frac{d~(\det{\alpha(t)})}{dt} \right|_{t=0} & = & \sum_{i,j=1} ^n \left. \frac{d x^{ij}}{dt}\right|_{t=0} \left. \frac{\partial~(\det{\alpha(t)})}{\partial x^{ij}} \right|_{t=0} \\ \\ & = & \sum_{i,j=1} ^n a^{ij} \left[ \sum_{\sigma\mathrm{:~permutation}} (\mathrm{sgn}~\sigma)~\epsilon _{\sigma1 \sigma2 \cdots \sigma n}~ \delta_{1,\sigma 1}~ \delta_{2, \sigma 2} ~\cdots ~\delta_{j,\sigma i}~ \cdots~ \delta_{n, \sigma n} \right] \end{eqnarray} $$

이어야 한다. 결국 마지막의 \(\delta\) 들에 의해 identity permutation을 제외하고는 모두 0이 된다. 따라서,

$$ \left. \frac{d~(\det{\alpha(t)})}{dt} \right|_{t=0} = \sum _{i,j=1} ^n a^{ij} ~\delta_{ji} = \sum_{i=1} ^n a^{ii} = \mathrm{tr}(A) = 0 $$

따라서 

$$ \mathfrak{sl}(n) \subset \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ \mathrm{tr}(A)=0 ~\right\} $$

반대쪽 증명은 1번과 거의 비슷하다.

3. \( \mathfrak{o}(n) = \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ A^t+A=0 ~\right\} \)

Orthogonal matrix 조건을 coordinates로 표현하면

$$ (X^t X)^{ij} = \sum _{k=1} ^n x^{ki}x^{kj} = \delta_{ij} $$

이므로 \(\mathrm{O}(n)\) 의 curve \(\alpha\) 는

$$ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\alpha(t) ^t \alpha(t))^{ij} & = & \sum_{lm=1} ^n \frac{d x^{lm}}{dt}\frac{\partial}{\partial x^{lm}} (x^{ki}x^{kj}) \\ \\ & = & \sum_{lm=1} ^n \frac{d x^{lm}}{dt} ~(\delta_{lk}\delta_{mi} x^{kj} + \delta_{lk}\delta_{mj}x^{ki} ) \\ \\ & = & \frac{d x^{ki}}{dt}x^{kj}+\frac{d x^{kj}}{dt}x^{ki} = 0 \end{eqnarray} $$

를 만족해야 한다. 따라서, \(\mathrm{O}(n)\) 의 curve \(\alpha(t)\)가

$$ \begin{eqnarray} \alpha(0) & = & I \\ \\ \dot{\alpha}(0) & = & A \end{eqnarray} $$

를 만족할 때, 위의 미분식에 \(t=0\) 을 대입하면,

$$ a^{ji} + a^{ij} = 0 $$

즉, \(A^t + A = 0\) 를 만족해야 한다. 이렇게 자기 자신과 transpose를 더했을 때 0가 되는 matrix를 skew-symmetric이라고 부른다. \(\mathfrak{o}(n)\) 의 dimension은 \(\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)\) 이다.

4. \( \mathfrak{so}(n) = \mathfrak{o}(n) \)

2번에서 본것과 같이 \(\det{X}=1\) 은 Lie algebra에서 \(\mathrm{tr}(A)=0\) 으로 나타난다. 따라서 \(\mathfrak{so}(n)\) 은 \(\mathfrak{o}(n)\) 의 matrix 중에서 traceless한 matrix들의 집합이 된다. 다만, \(A\) 가 skew-symmetric이면 diagonal element \( a^{ii} = 0 \) 이므로 traceless이다.

5. \( \mathfrak{u}(n) = \left\{~ A \in M_{nn} ~|~ A^*+A=0 ~\right\} \)

\(\mathrm{U}(n)\) 의 경우 \(\mathrm{O}(n)\) 에서 transpose를 transpose conjugate로 바꾸면 된다. 따라서 \(A^t + A=0\) 대신 

$$ A^* + A = 0 $$

을 만족하는 matrix들의 집합이 \(\mathfrak{u}(n)\) 이 된다. 이러한 matrix를 skew-hermitian이라고 부른다.

6. \( \mathfrak{su}(n) = \left\{~ A \in \mathfrak{u}(n) ~|~ A^t+A=0 ~\right\} \)

위의 논의들로부터, \(\mathfrak{su}(n)\) 은 skew-hermitian이면서 traceless한 matrix들의 집합이 된다.

Lie Bracket on Matrix Lie Algebras

Lie algebra는 left-invariant vector field들의 Lie bracket 구조를 그대로 가지고 있다. 특히 matrix Lie algebra의 경우 lie bracket이 commutator가 된다.

\(\mathfrak{gl}(n)\) 의 vector \(A\) 와 \(B\) 에 대응되는 \(\mathrm{GL}(n)\) 의 left-invariant vector field \(X^A\) 와 \(X^B\) 의 coordinates 표현은

$$ \begin{eqnarray} X^A _g = (dL_g)_I A = \sum_{i,j,k=1} ^n x^{ik}a^{kj} \frac{\partial}{\partial x^{ij}} \\ \\ X^B _g = (dL_g)_I B = \sum_{i,j,k=1} ^n x^{ik}b^{kj} \frac{\partial}{\partial x^{ij}} \end{eqnarray} $$

이므로 Lie bracket \([X^A,X^B]\) 의 coordinates 표현은

$$ \begin{eqnarray} [X^A,X^B](g) & = & \sum_{i,j,k,s,t,u = 1} ^n \left( x^{su}a^{ut}\frac{\partial}{\partial x^{st}}(x^{ik}b^{kj}) - x^{su}b^{ut}\frac{\partial}{\partial x^{st}}(x^{ik}a^{kj}) \right) ~\frac{\partial}{\partial x^{ij}} \\ \\ & = & \sum _{i,j,k,s,t,u=1} ^n [x^{su}a^{ut} \delta_{si}\delta_{tk} b^{kj} - x^{su}b^{ut}\delta_{si}\delta_{tk}a^{kj}] ~\frac{\partial}{\partial x^{ij}} \\ \\ & = & \sum _{i,j,k,u=1} ^n x^{iu}(a^{uk}b^{kj} - b^{uk}a^{kj}) ~\frac{\partial}{\partial x^{ij}} \\ \\ & = & \sum _{i,j,u=1} ^n x^{iu}(AB-BA)^{uj} ~\frac{\partial}{\partial x^{ij}} \end{eqnarray} $$

즉, \([X^A,X^B]\) 에 대응되는 \(\mathfrak{gl}(n)\) 의 vector는 identity matrix \(I\) 에서의 tangent vector 값 \(AB-BA\) 가 된다. 따라서, \(\mathfrak{gl}(n)\) 에 다음과 같이 Lie bracket을 정의할 수 있다.

DEFINITION            Matrix Lie Algebra

\(\mathfrak{gl}(n)\) 의 원소 \(A\), \(B\) 에 대하여, Lie bracket을 다음과 같이 정의한다.

$$ [A,B] = AB-BA $$

Matrix Lie group에 대한 Lie algebra는 Lie bracket 대응 관계가 그대로 적용된다. 이와 같이, Lie group의 left-invariant vector field사이에 Lie bracket은 Lie algebra에서 대응되는 Lie bracket을 정의할 수 있다.