[다양체,텐서] 1.5 Vector Fields, Lie Bracket

고전역학에서 사용하는 천체의 위치 벡터나 운동량 벡터는 입자가 차지하고 있는 한 점에 정의된 벡터라는 점으로부터 앞에서 설명한 tangent vector라고 할 수 있다. 이와는 다르게 전자기학에서 사용하는 전기장, 자기장과 같은 개념들은 공간의 각 점마다 vector가 정의된 vector field의 개념이다. 본 포스팅에서는 manifold에서 vector field를 정의한다.

 

 

Vector Field

 

Vector field를 엄밀히 정의하기 위해서는 위상수학의 fiber bundle의 개념을 사용하여 정의해야 하지만, differentiable manifold의 개념들이 이미 정의되어 있으므로 이들을 이용하여 더 쉽게 정의할 수 있다.

 

DEFINITION            Vector Field

 

Differentiable manifold $M$로부터 tangent bundle $TM$으로의 함수

$$\begin{array}{rclrc}X& :& M& \to & TM\\ \\ & & p& \mapsto & X(p):=X_p\in T_{p}M\end{array}$$

를 $M$의 vector field라고 한다.

 

$M$의 모든 vector field들의 집합을 $\mathfrak{X}(M)$으로 표기한다.

$$\mathfrak{X}=\{X:M\to TM|X(p)=X_p\in T_{p}M\}$$

다음 그림은 구표면 $S^2$에 정의되는 vector field의 예이다.

 

I, Cronholm144 [GFDL, CC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.5 ], from Wikimedia Commons

 

만약 $X$가 differentiable map이면 vector field를 differentiable하다고 부른다.

 

Local coordinate $(U,\phi )$에서 vector field $X$는

$$\hat{X}(x^1,\cdots ,x^n)=(x^1,\cdots ,x^n,{\hat{X}}^1(x^1,\cdots ,x^n),\cdots ,{\hat{X}}^n(x^1,\cdots ,x^n))$$

로 표현된다. (앞으로 $\hat{f}$를 $f$의 local coordinate 표현 $\hat{f}=f\circ \phi$로 정의한다.) 만약 $X$가 differentiable하다면, coefficient 함수 $X^i:\phi (U)\to \mathbb{R}$가 differentiable이어야 한다. 역으로 $X^i$가 differentiable이라면 $X$도 differentiable이다.

 

 

Directional Derivative

 

1.3 Tangent Space, Tangent Bundle의 결론과 같이 tangent vector는 differentiable real-valued function의 1차 미분연산자이므로, vector field $X$, differentiable real-valued function $f$에 대하여, $X\cdot f:M\to \mathbb{R}$를 정의할 수 있다. 이를 directional derivative라고 부른다.

 

DEFINITION            Directional Derivative

 

Differentiable manifold $M$의 vector field $X$와 differentiable real-valued function $f$에 대하여, 함수 $X\cdot f:M\to \mathbb{R}$를 $f$의 $X$방향으로의 directional derivative라고 부른다. local coordinate에서 $X=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$라고 한다면,

$$X\cdot f=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}$$

이 된다.

 

 

Lie Bracket

 

$X$, $Y$를 local coordinate에서

$$X=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

$$Y=\sum _{i=1}^n{Y}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

인 vector field라고 하자. 이제 두 vector field의 결합 $X\circ Y$를 생각할 수 있다. 그러나 $X\circ Y$는 vector field가 되지 못한다. local coordinate에서 볼 수 있는것과 같이

$$(X\circ Y)\cdot f=X(Y\cdot f)=X\cdot \left(\sum _{i=1}^n{Y}^i\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}\right)=\sum _{i,j=1}^n{X}^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}+X^j{Y}^i\frac{{\partial }^2\hat{f}}{\partial x^i}$$

real-valued function에 대한 2차 미분을 포함하고 있기 때문에 vector field가 되지 못한다. 하지만, $X\circ Y-Y\circ X$는 1차 미분만을 포함하고 있기 때문에 vector field가 된다.

 

THEOREM            

 

Differentiable manifold $M$의 vector field $X$, $Y$, 그리고 임의의 differentiable function $f$에 대하여

$$Z\cdot f=(X\circ Y-Y\circ X)\cdot f$$

을 만족하는 vector field $Z$가 존재한다.

 

위 정리로부터 두 vector field를 이용해 정의된 새로운 vector field를 Lie bracket이라고 부른다.

 

DEFINITION            Lie Bracket (vector field)

 

Differentiable manifold $M$의 vector field $X$, $Y$에 대하여, vector field

$$[X,Y]=X\circ Y-Y\circ X$$

를 $X$와 $Y$의 Lie bracket이라고 부른다. Local coordinate에서

$$[X,Y]=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^n{X}^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}-\sum _{j=1}^n{Y}^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j})\frac{\partial }{\partial x^i}$$

 

만약 $[X,Y]=0$이면, $X$와 $Y$를 commute하다고 한다. Lie bracket은 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

 

THEOREM            Properties of Lie Bracket (vector field)

 

Vector field $X$, $Y$, $Z$에 대하여,

 

1. Bilinearity: 임의의 $\alpha$, $\beta \in \mathbb{R}$에 대하여,

$$[\alpha X+\beta Y,Z]=\alpha [X,Z]+\beta [Y,Z]$$

$$[X,\alpha Y+\beta Z]=\alpha [X,Y]+\beta [X,Z]$$

 

2. Alternativity:

$$[X,X]=0$$

 

3. Jacobi identity:

$$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$$

 

4. Leibniz rule: 임의의 differentaible real-valued function $f$, $g$에 대하여,

$$[fX,gY]=fg[X,Y]+f(X\cdot g)Y-g(Y\cdot f)X$$

 

가 성립한다.

 

Vector field의 Lie bracket은 Lie group 이론의 Lie algebra의 일종이다. 일반적으로 Lie algebra는 1, 2, 3으로 정의되는 연산이며, 4번 성질은 vector field가 미분연산자이기 때문에 생기는 성질이다. 자세한 것은 --lie algebra--에서 다룬다.

 

 

Pushfoward

 

Differentiable manifold $M$과 $N$이 서로 diffeomorphic할 경우, $M$과 $N$은 manifold 관점에서 동일하기 때문에 $M$의 vector field $X$는 diffeomorphism에 의하여 자연스럽게 $N$의 vector field로 대응된다. 이렇게 diffeomorphism에 의하여 얻어지는 $N$의 vector field를 pushforward라고 부른다.

 

DEFINITION            Pushfoward (vector field) 

 

Differentiable manifold $M$과 $N$의 diffeomorphism을 $\phi :M\to N$이라고 하고, $X$를 $M$의 vector field라고 하자. $N$의 vector field ${\phi }_{\ast }X$를 다음과 같이 정의한다.

$$({\phi }_{\ast }X{)}_p=(d\phi {)}_{{\phi }^{-1}(p)}{X}_{{\phi }^{-1}(p)}\mathrm{for}p\in N$$

이를 $X$의 pushforward라고 부른다.

 

경우에 따라 ${\phi }_{\ast }$ 대신 $d\phi$로 표현하기도 한다.

 

By User:Fropuff~commonswiki [Public domain], via Wikimedia Commons

 

위의 그림과 같이 $M$과 $N$이 $\phi$를 통해 diffeomorphic하다면, $TM$과 $TN$은 ${\phi }_{\ast }$

를 통해 diffeomorphic하다. (${\pi }_M$은 tangent vector가 정의되는 각 점으로 보내는 함수이다. 즉, $TM$의 원소 $(q,X_q)$를 ${\pi }_M(q,X_q)=q$로 보내는 함수이다.)

Lie bracket의 pushforward는 각 vector field의 pushforward들의 Lie bracket과 같다.

$${\phi }_{\ast }[X,Y]=[{\phi }_{\ast }X,{\phi }_{\ast }Y]$$

이를 확인하기 위해서 $M$의 local coordinates를 $x$, $N$의 local coordinates를 $y$라고, vector field의 local coordinates 표현을 

$$X=\sum _{i=1}^m{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

$$Y=\sum _{i=1}^m{Y}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

라고 하면,

$${\phi }_{\ast }X=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{X}^i\frac{\partial {\hat{\phi }}^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^j}$$

$${\phi }_{\ast }Y=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{Y}^i\frac{\partial {\hat{\phi }}^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^j}$$

( $\hat{\phi }=y\circ \phi \circ x^{-1}$ ) 이므로

$$\begin{array}{rcl}[{\phi }_{\ast }X,{\phi }_{\ast }Y]& =& \sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n[X^i\frac{\partial {\hat{\phi }}^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^j}\left(Y^k\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}\right)-Y^i\frac{\partial {\hat{\phi }}^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^j}\left(X^k\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}\right)]\frac{\partial }{\partial y^l}\\ \\ & =& \sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n[X^i\frac{\partial }{\partial x^i}\left(Y^k\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}\right)-Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}\left(X^k\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}\right)]\frac{\partial }{\partial y^l}\\ \\ & =& \sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n[X^i\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}+X^i{Y}^k\frac{{\partial }^2{\hat{\phi }}^l}{\partial x^i\partial x^k}-Y^i\frac{\partial X^k}{\partial x^i}\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}-Y^i{X}^k\frac{{\partial }^2{\hat{\phi }}^l}{\partial x^i\partial x^k}]\frac{\partial }{\partial y^l}\\ \\ & =& \sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n[X^i\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}-Y^i\frac{\partial X^k}{\partial x^i}\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}]\frac{\partial }{\partial y^l}\\ \\ & =& \sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n[X^i\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^k}{\partial x^i}]\frac{\partial {\hat{\phi }}^l}{\partial x^k}\frac{\partial }{\partial y^l}={\phi }_{\ast }[X,Y]\end{array}$$