[다양체,텐서] 1.4 Derivatives of Differentiable maps

미적분학에서 '미분'이라는 개념은 linear approximation이라는 개념으로 설명된다.(--calculus, differential-- 참고)

$$ \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) = df_x (\Delta x) + \epsilon \mathrm{~~where~} \frac{\epsilon}{\Delta x} \to 0 \mathrm{~as~}\Delta x \to 0 $$

\(\Delta x\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 tangent vector라고 할 수 있으므로, differential \(df_x\)는 tangent space에서 tangent space로의 linear transformation이라고 볼 수 있다.([선형대수학] 2.1 Linear Transformation 참고) 이러한 관점은 다변수 함수의 미분에서 Jacobian으로 일반화 된다. (--calculus, multi-var,differential-- 참고)

 

같은 방식으로 미적분학의 differnetial 개념은 differentiable manifold에서 선형 근사로 일반화된다.

 

DEFINITION            Pushforward (tangent vector)

 

Differentiable manifold 사이의 함수 \(\varphi : M \to N\)가 differentiable이라고 하자. \(M\)의 point \(x\)에 대하여, (\(x\)에서) \(\varphi\)의 differential \(d\varphi_x\)를 다음과 같은 linear transformation으로 정의한다.

$$ \begin{array}{ccrcl} d\varphi _x & : & T_xM & \to & T_{\varphi(x)}N \\ & & v & \mapsto & \frac{d(\varphi \circ c)}{dt}(0) \end{array} \mathrm{~,~where~curve~} c(0)=x \mathrm{~and~} \dot{c}(0)=v $$

이 때, tangent vector \(v\)로의 \(d\varphi_x\)의 적용을 \(\varphi\)에 의한 \(v\)의 pushforward라고 부른다.

 

위의 정의에서 differential \(d\varphi_x\)는 tangent vector \(v\)에 대하여 위 조건을 만족하는 어떤 differentiable curve \(c\)을 선택하던지 똑같은 linear operator가 된다. 경우에 따라서 \(d\varphi\) 대신 \(\varphi_\ast\)로 표현하기도 한다.

 

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\(M\)의 local coorindate \(x\), \(N\)의 local coordinate \(y\)에 대하여, \(p \in M\)에서의 tangent vector \(v\)가

$$ v = \sum_{i=1} ^m v^i \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_p $$

라고 하면, \(\varphi_p \in N\)에서의 tangent vector \(d\varphi_p (v)\)는

$$ d\varphi_p (v) = \sum_{j=1} ^n \left(\sum _{i=1} ^m v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} (y^j \circ f \circ x) \right|_p \right) \left( \frac{\partial}{\partial y^j} \right) $$

가 된다.

 

 

미적분에서 자주 응용되는 chain rule은 다음과 같이 정리된다.

 

THEOREM            Chain Rule (differential)

 

\(f:M\to N\), \(g:N\to P\)를 differentiable 함수라고 하자. 그러면 합성함수 \(g \circ f :M \to P \)도 differentiable이고,

$$ (d(g\circ f))_p = (dg)_{f(p)} \circ (df)_p $$

이다.