확률론9 [통계학] 3.7-① 표준 정규 분포 Standard Normal Distribution 평균 \(\mu\) 가 0이고 표준편차 \(\sigma\) 가 1인 normal distribution \(\mathcal{N}(0,1)\) 을 특별히 standard normal distribution(표준 정규 분포)라고 부른다. \[ \begin{equation} f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \label{pdf:snd} \end{equation} \] 모든 normal distribution은 비슷한 모양을 가지고 있어서, 하나의 normal distribution을 정확히 알고 있으면, 다른 값의 평균과 표준편차를 가지는 normal distribution을 쉽게 구할 수 있다. 따라서 standard normal distribution만 .. 2020. 10. 7. [통계학] 3.7 정규 분포 Normal Distribution 이번 페이지에서는 이론적으로 가장 중요한 분포인 normal distribution(정규 분포)에 대하여 알아본다. 또 다른 이름으로 Gauss distribution(가우스 분포), Gaussian distribution(가우시안 분포), Laplace-Gauss distribution(라플라스-가우스 분포) 등의 이름으로 부른다. normal distribution의 응용 범위는 자연과학, 공학, 사회과학의 모든 영역에 걸쳐 있을 정도로 광범위 하므로 이 페이지에서 모든 것을 다루는 것은 불가능하다. 이 페이지에서는 normal distribution의 정의와 pdf, 평균, 분산 등만 살펴보도록 한다. #Normal Distribution 실수 \(\mu\), 양수 \(\sigma\) 에 대하여, .. 2020. 9. 29. [통계학] 3.6 균등 분포 Uniform Distribution 지금까지 대표적인 불연속적 분포에 대해서 살펴보았다. 이 페이지부터 연속적인 분포에 대하여 살펴본다. 가장 먼저, 나올 수 있는 범위 내에 확률이 균등한 분포인 uniform distribution부터 살펴본다. #Uniform Distribution주어진 범위 \(a \le x \le b\) 에 대하여, 연속적인 랜덤 변수 \(X\) 가 다음의 pdf를 가질 때 이를 uniform \((a,b)\) distribution이라고 한다.\[ f_X(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. \]당연히 주어진 범위에서 pdf를 적분하면 전체.. 2020. 8. 17. [통계학] 3.5 음이항 분포, 기하 분포 Negative Binomial Distribution, Geometric Distribution 성공 확률이 \(p\) 인 실험을 \(n\) 번 실행하였을 때, 성공 횟수의 분포가 이항 분포라고 한다면, 음이항 분포는 \(r\) 번의 성공을 얻기 위하여 실행한 실험 횟수의 분포이다. #Negative Binomial Distribution\(k \ge r\) 일 때, \(k\) 번째의 실험에서 \(r\) 번째의 성공을 얻기 위해서는 \(k-1\) 번째 실험까지 \(r-1\) 번의 성공이 있어야 한다. 이항 분포와 마찬가지로, \(k-1\) 번째 실험까지 \(r-1\) 번의 성공이 있을 확률은\[ \left( \begin{array}{c} k-1 \\ r-1 \end{array} \right) p^{r-1} (1-p)^{k-r} \]이고 \(k\) 번째 실험에서 성공할 확률은 \(p\) 이므로, \(.. 2020. 7. 31. [통계학] 3.4 초기하 분포 Hypergeometric Distribution 한 상자에 \(N\) 개의 공이 들어있다. 이 중에 \(K\) 개의 공은 빨간색, \(N-K\) 개의 공은 파란색이라고 하자. 이제 \(n\) 개의 공을 꺼냈을 때, 빨간색 공이 몇 개들어 있는지에 대한 문제는 초기하 분포를 따른다. Binomial distribution는 \(n\) 개의 공을 꺼낼 때, 하나 꺼낼 때마다 확인하고 다시 집어 넣을 때의 분포가 되고, 초기하 분포는 한번에 \(n\) 개의 공을 꺼냈을 때의 분포가 된다. 이번 페이지에서는 초기하 분포에 대하여 살펴본다. #Hypergeometric Distribution상자에서 \(n\) 개의 공을 꺼낼 모든 경우의 수는\[ \left( \begin{array}{c} N \\ n \end{array} \right) = \frac{N!}{n.. 2020. 7. 25. [통계학] 3.3 푸아송 분포, 푸아송 프로세스 Poisson Distributions, Poisson Process 어떤 현상과 현상 사이에 걸리는 시간이나 실험 횟수는 이 페이지에서 논의할 푸아송 분포로 모델링된다. 시간의 절대값보다는 기다린 시간의 길이가 사건이 벌어질 확률에 영향을 준다던지, 기다리는 시간이 길어질수록 사건 확률이 커지는 것과 같은 받아들일만한 가정들로 모델링하면 푸아송 분포를 얻게된다. 이번 페이지에서는 푸아송 분포의 정의와 평균, 분산 등을 살펴보고, 시간이 흐르면서 발생하는 사건 등을 모델링하는 방법을 살펴본다. #Poisson Distributions주어진 양수 \(\lambda\)에 대하여, 랜덤 변수 \(X\) 가 다음과 같은 pmf를 가질 때 이를 Poisson \((\lambda)\) distribution이라고 한다.\[ f_X(x) = P(X=x) = e^{-\lambda}\fr.. 2020. 7. 24. [통계학] 3.2 베르누이 분포, 이항 분포 Bernoulli Distribution, Binomial Distribution 동전 던지기, 질병의 진단, 찬반 투표와 같이 결과가 2가지로 한정되는 실험을 Bernoulli trial이라고 부른다. 이런 실험을 여러 차례 반복하여 결과가 몇 번 나왔는지에 대한 분포가 이항 분포이다. #Bernoulli Distribution 주어진 확률 \( 0 \le p \le 1\) 에 대하여, \[ X = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{with probability } ~p \\ 0 & \text{with probability } ~(1-p) \end{array} \right.\] 를 Bernoulli distribution이라고 한다. 보통 \(X=1\) 을 '성공', \(X=0\) 를 '실패'라고 부르기도 한다. 평균과 분산은 위에 주어진 확률 분포로부.. 2020. 7. 24. [통계학] 3.1 이산 균등 분포 Discrete Uniform Distribution 이 페이지부터 몇 페이지에 걸쳐서 이론적으로 중요하거나, 현실을 모델링하는데 유용한 기본적인 확률 분포에 대하여 기본적인 성질을 살펴본다. #Discrete Uniform Distribution주어진 자연수 \(N\)에 대하여, 불연속적인 랜덤 변수 \(X\) 가 다음의 pmf를 가질 때 이를 discrete uniform \((1,N)\) distribution이라고 한다.\[ f_X(x) = P(X=x) = \frac{1}{N} ~~~~~ \text{where } x=1,2,\cdots,N \]이름에서 알 수 있듯이 1부터 N까지의 자연수에 확률이 고르게 분포되어 있는 분포를 말한다. 모든 가능한 확률을 더하면 자연스럽게 1임을 확인할 수 있다. 랜덤 변수 \(X\)가 discrete uniform .. 2020. 7. 24. 이전 1 2 다음