[통계학] 3.1 이산 균등 분포 Discrete Uniform Distribution

이 페이지부터 몇 페이지에 걸쳐서 이론적으로 중요하거나, 현실을 모델링하는데 유용한 기본적인 확률 분포에 대하여 기본적인 성질을 살펴본다.

#Discrete Uniform Distribution

주어진 자연수 \(N\)에 대하여, 불연속적인 랜덤 변수 \(X\) 가 다음의 pmf를 가질 때 이를 discrete uniform \((1,N)\) distribution이라고 한다.

\[ f_X(x) = P(X=x) = \frac{1}{N} ~~~~~ \text{where } x=1,2,\cdots,N \]

이름에서 알 수 있듯이 1부터 N까지의 자연수에 확률이 고르게 분포되어 있는 분포를 말한다. 모든 가능한 확률을 더하면 자연스럽게 1임을 확인할 수 있다. 랜덤 변수 \(X\)가 discrete uniform \((1,N)\) distribution을 따른다는 것을 줄여서 다음과 같이 쓴다.

\[ X\sim \text{unif}\{1,N\} \]

#Mean of Discrete Uniform Distribution

1부터 N까지의 덧셈

\[ \sum _{i=1} ^n i = \frac{n(n+1)}{2} \]

으로부터 discrete uniform distribution의 평균을 바로 얻을 수 있다.

\[ E[X] = \sum _{x=1} ^N xf_X(x) = \frac{1}{N} \sum _{x=1} ^N x = \frac{N+1}{2} \]

#Variance of Discrete Uniform Distribution

1부터 N까지 제곱의 덧셈

\[ \sum _{i=1} ^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

으로부터 discrete uniform distribution의 분산을 얻을 수 있다.

\[ \begin{align*} E[X^2] &= \sum _{x=1} ^N x^2 f_X(x) \\ &= \frac{1}{N} \sum _{x=1} ^N x^2 \\ &= \frac{(N+1)(2N+1)}{6} \\ \\ \mathrm{Var}(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ \\ &= \frac{(N+1)(2N+1)}{6} - \left( \frac{N+1}{2} \right)^2 \\ &= \frac{(N+1)(N-1)}{12} \end{align*} \]

#Generalization

Discrete uniform distribution의 시작값을 \(N_0\), 끝 값을 \(N_1\) 으로 이동시킬 수 있다. 이 분포는 \(\text{unif}\{1,N_1 - N_0 + 1\}\) 의 random variable에 \(N_0 - 1\) 를 더한 random variable이라고 할 수 있다.

\[ Y \sim \text{unif}\{N_0,N_1\} = \text{unif}\{1,N_1 - N_0 +1\} + N_0 - 1 \]

따라서

\[ \begin{align*} E[Y] &= E[\text{unif}\{1,N_1-N_0+1\} + N_0 - 1] \\ \\ &= \frac{N_1 - N_0 +1}{2} + N_0 - 1 \\ \\ &=\frac{N_1 + N_0 -1}{2} \\ \\ \mathrm{Var}(Y) &= \mathrm{Var}(\text{unif}\{1,N_1-N_0+1\} + N_0 - 1) \\ \\ &= \mathrm{Var}(\text{unif}\{1,N_1-N_0+1\}) \\ \\ &= \frac{(N+1)(N-1)}{12} \end{align*} \]