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linear algebra9

(선형대수학) 5.7 Gâteaux Derivative, Fréchet Derivative, Euler-Lagrange Equation 이번 포스팅에서는 Hilbert space에 정의되는 미분을 간략히 소개할 것이다. 이하에서 정의되는 미분은 norm이 정의된 Banach space에서 정의되지만, Hilbert space는 Banach space의 일종이므로 여기에서 등장하는 norm은 inner product로부터 유도된 norm으로 해석하면 된다. Gâteaux Derivative 미적분학에서 다변수 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) $$ f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (y_1,y_2,\cdots,y_m) $$ 에 대하여, 방향 \(\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\)으로의 \(f\)의 directional derivative \(\n.. 2018. 8. 13.
(선형대수학) 5.6 Classical Orthogonal Polynomials 전자기학의 Laplace equation, 양자역학의 Schrödinger equation, 열역학의 heat equation, 금융공학의 Black-Sholes equation 등 많은 영역에서 second-order partial differential equation을 푸는 것은 중요한 문제이다. 이번 페이지에서는 이러한 미분방정식의 해에 대한 선형대수학 구조를 살펴본다. (Field는 real number로 가정한다.) The Space of Continuous Functions 정의역 \(X=[0,1]\)에서 정의되는 함수 \(y\)에 대한 미분방정식 $$ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 $$ 을 살펴보자. 이 방정식이 성립하려면 함수 \(y\)는 \([0,1]\)에서 최소한 2번.. 2018. 8. 5.
(선형대수학) 5.5 Bounded Linear Functionals (선형대수학) 2.4 Dual Space에서 vector space의 linear functional을 정의했다. 이제 Hilbert space에서 정의된 특별한 종류의 linear functional을 살펴보자.(이하에서 사용될 \(\sup{}\)의 개념을 잘 모른다면 \(\max{}\)로 대체해서 생각해도 무방하다. ---analysis-supremum,infimum--- 참고) Bounded Linear Fuctionals DEFINITION Bounded Linear Functionals on Hilbert Space Hilbert space \(H\)의 linear functional \(F:H\to \mathbb{C}\)가 $$ \sup_{\phi\ne 0} \frac{|F(\phi)|}{\l.. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.4 Hilbert Projection Theorem 디자인, 컴퓨터 그래픽 등에서 사용되는 원근법 등은 Euclidean space, 그리고 finite dimensional vector space에서 하나의 vector가 subspace에 자연스럽게 projection 될 수 있다는 사실에 기반한다. Hilbert space는 이러한 Euclidean space의 성질들이 유지된다. 이러한 개념은 Hilbert Projection Theorem에 집약되어 있다. THEOREM Hilbert Projection Theorem Hilbert space \(H\)와 proper subspace이면서 Hilbert space인 \(W\)와 주어진 \(x\in H\)에 대하여, 1. \( \left\| \hat{x}-x \right\| \le \left\| g-.. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space 여기에선 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 정의했던 the square-integrable space를 살펴본다. 이 space는 대표적인 Hilbert space로 미적분 이론에서 중요하게 등장한다. 다만, 이를 이해하는데는 해석학적 개념들이 필요하기 때문에 이 페이지에서는 선형대수적 개념만 간단히 살펴본다. Vector space \(\mathcal{L}^2\) 정의역 \(X=[a,b]\)에 대하여 vector space \(\mathcal{L}^2\)을 $$ \mathcal{L}^2 = \left\{ f:X\to \mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left| f(x) \right| ^2 dx < \infty \right. \right\} $$ 로 정의한다. .. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.2 Hilbert Space 미분과 적분은 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)에서 정의되는 연산이다. 이들을 일반화하기 위해서는 연산을 정의하는데 핵심이 되는 Euclidean space의 성질을 일반화 하여야 한다. 함수 \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)에 대한 \(\vec{a}\)에서의 differential \(df(\vec{a})\)는 $$df(\vec{a}) = f(\vec{a}+\vec{u})-f(\vec{a})-R(\vec{u}) \mathrm{~,~where~} \lim_{\vec{u}\to\vec{0}} \frac{R(\vec{u})}{\left| \vec{u} \right|} = 0$$ 인 linear operator \(df\)와 함수 \(R\)로 정의된다.(--.. 2018. 8. 3.
(선형대수학) 5.1 Completeness 이후로는 몇 페이지에 걸쳐서 $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)=kf(x) $$ 와 같은 differential equation을 선형대수의 관점에서 분석하기 위해 필요한 도구들을 살펴볼 것이다. Differential equation을 이론적으로 분석하기 위해서는 해석학적 지식이 필요하지만 물리학과 학부생 입장에서는 해석학적 개념에 익숙하지 않기 때문에 여기에서 핵심이 되는 개념들만 설명하고 이후 페이지에서도 개략적으로만 설명할 것이다. Differential equation 그리고 integral theory를 설명하기 위해서는 반드시 무한수열의 수렴에 대한 이해가 필요하다. 예를들어, Riemann integral은 $$ \int _a ^b f(x)dx = \lim _{n\to\infty} .. 2018. 8. 2.
(선형대수학) 4.7 Normal Operators 학부 양자역학의 주요 주제인 \(\left\langle H\psi,\phi \right\rangle\)(bra-ket notation으로는 \(\left\langle \phi \left| H \right| \psi \right\rangle\))를 계산하는 전략으로 \(\psi\)와 \(\varphi\)를 Hermitian operator \(H\)의 eigenvalue \(c_i\) 대한 eigenvector \(\phi_i\)들로 expansion하여 $$ \psi = \sum_i a_i \phi_i $$ $$ \varphi = \sum_j b_j \phi_j $$ inner product의 정의를 이용해 $$ \left\langle H\psi , \varphi \right\rangle = \sum_{.. 2018. 8. 2.

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