(선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space

여기에선 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 정의했던 the square-integrable space를 살펴본다. 이 space는 대표적인 Hilbert space로 미적분 이론에서 중요하게 등장한다. 다만, 이를 이해하는데는 해석학적 개념들이 필요하기 때문에 이 페이지에서는 선형대수적 개념만 간단히 살펴본다.

 

 

Vector space \(\mathcal{L}^2\)

 

정의역 \(X=[a,b]\)에 대하여 vector space \(\mathcal{L}^2\)을

$$ \mathcal{L}^2 = \left\{ f:X\to \mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left| f(x) \right| ^2 dx < \infty \right. \right\} $$

로 정의한다. 이때, integrable은 Riemann integrable이 아니라, Lebesgue integrable로 이해해야 한다.(---page link--- 참고)

 

이제 함수들의 addition과 scalar multiplication을

$$ (f+g)(x)=f(x)+g(x) $$

$$ (\lambda f)(x)=\lambda(f(x)) ~,\mathrm{~~where~}\lambda \in \mathbb{C} $$

로 정의한다. (선형대수학) 1.1 Vector Space에서 언급했듯이, addtion과 scalar multiplication은 함수값들이 아니라 함수 그 자체에 대한 addition과 scalar multiplication을 정의한 것이다. 즉, 첫번째 식의 \((f+g)\)는 함수 \(f\)와 함수 \(g\) 그 자체를 더한다는 의미리고 \(\lambda f\)는 함수 \(f\) 그 자체에 \(\lambda\)를 곱한다는 의미이다.

 

\(\mathcal{L}^2\)의 원소 \(f\)와 \(g\)를 더하면,

$$ \left| (f+g)(x) \right| ^2 = \left| f(x) + g(x) \right| ^2 ~\le~ 2(\left| f(x) \right| ^2 + \left| g(x) \right| ^2) $$

이므로

$$ \int_X \left| (f+g)(x) \right| ^2 dx ~\le~ 2(\int_X \left| f(x) \right| ^2 dx + \int_X \left| g(x) \right| ^2 dx) ~<~ \infty $$

이다. 즉, \((f+g) \in \mathcal{L}^2\)이다. 마찬가지로 \(\lambda f \in \mathcal{L}^2\)이다. 따라서 \(\mathcal{L}^2\)은 vector space가 된다.

 

 

Inner Product on \(L^2\)

 

이제 \(\mathcal{L}^2\)에 binary operation \( \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \)을 다음과 같이 정의한다.

$$ \left\langle f,g \right\rangle = \int_X f(x)\overline{g(x)}dx $$

(선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 확인한 것과 같이

$$ \left\langle f,g \right\rangle = \overline{\left\langle g,f \right\rangle} $$

$$ \left\langle \lambda f+g,h \right\rangle = \lambda \left\langle f,h \right\rangle + \left\langle g,h \right\rangle $$

$$ \left\langle f,f \right\rangle \ge 0 $$

를 만족한다. 그러나

$$ \left\langle f,f \right\rangle = 0 ~~\longleftrightarrow~~ f=0 $$

을 만족하지 못하기 때문에 \(\mathcal{L}^2\)은 inner product space가 되지 못한다. 예를 들어,

$$ f(x) = 0 \mathrm{~,~~for~all~}x\in[a,b] $$

$$ g(x)= \left\{ \begin{array}{cl} 0 & ,~~x \ne a \\ 1 & ,~~x=a \end{array} \right. $$

에 대하여

$$ \left\langle f,f \right\rangle = \left\langle g,g \right\rangle = 0 $$

이지만, \(g\)는 zero vector가 아니다.

 

 

따라서 \(\mathcal{L}^2\)로부터 다음과 같이 새롭게 \(L^2\)를 정의함으로써 inner product를 만든다.

 

집합

$$ \mathcal{N} = \left\{ f:X\to \mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left| f(x) \right| ^2 dx = 0 \right. \right\} $$

라고 하자. 만약 함수 \(f,g \in \mathcal{L}^2\)가

$$ f-g \in \mathcal{N} $$

이라면, 정의역의 대부분의 영역에서(---lebesgue, almost everywhere--- 참고)

$$ f(x)=g(x) $$

이고 임의의 vector \(h \in \mathcal{L}^2\)에 대하여

$$ \left\langle f,h \right\rangle = \left\langle g,h \right\rangle $$

이므로 \(f\)와 \(g\)를 \(L^2\)에서 완전히 같은 vector로 취급한다. 예를 들어,

$$ f(x) = 0 \mathrm{~,~~for~all~}x\in[a,b] $$

$$ g(x)= \left\{ \begin{array}{cl} 0 & ,~~x \ne a \\ 1 & ,~~x=a \end{array} \right. $$

인 경우, 대부분의 영역에서 함수값이 같고, \(x=a\) 한점에서만 다르므로 \( f-g \in \mathcal{N}\)이다. 따라서 \(f\)와 \(g\)는 \(L^2\)에서 똑같이 zero vector를 나타낸다.

 

\( L^2 = \mathcal{L}^2 / \mathcal{N} \)  (---set, equivalence class--- 참고)

 

즉, \(L^2\)에서는

$$ \left\langle f,f \right\rangle = 0 ~~\Longleftrightarrow~~ f=0 $$

이므로 \(L^2\)는 inner product space이다.

 

 

Hilbert Space \(L^2\)

 

\(L^2\)의 completeness는 \(\ell^2\)의 completeness와 거의 동일하다. 여기에서는 Lebesgue integral이 summation과 거의 비슷하다는 것만 언급한다.(---lebesgue, lebesgue inegration--- 참고)