(선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space

여기에선 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 정의했던 the square-integrable space를 살펴본다. 이 space는 대표적인 Hilbert space로 미적분 이론에서 중요하게 등장한다. 다만, 이를 이해하는데는 해석학적 개념들이 필요하기 때문에 이 페이지에서는 선형대수적 개념만 간단히 살펴본다.

 

 

Vector space ${\mathcal{L}}^2$

 

정의역 $X=[a,b]$에 대하여 vector space ${\mathcal{L}}^2$을

$${\mathcal{L}}^2=\{f:X\to \mathbb{C}|{\int }_X{|f(x)|}^{2}dx<\mathrm{\infty }\}$$

로 정의한다. 이때, integrable은 Riemann integrable이 아니라, Lebesgue integrable로 이해해야 한다.(---page link--- 참고)

 

이제 함수들의 addition과 scalar multiplication을

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

$$(\lambda f)(x)=\lambda (f(x)),\mathrm{where}\lambda \in \mathbb{C}$$

로 정의한다. (선형대수학) 1.1 Vector Space에서 언급했듯이, addtion과 scalar multiplication은 함수값들이 아니라 함수 그 자체에 대한 addition과 scalar multiplication을 정의한 것이다. 즉, 첫번째 식의 $(f+g)$는 함수 $f$와 함수 $g$ 그 자체를 더한다는 의미리고 $\lambda f$는 함수 $f$ 그 자체에 $\lambda$를 곱한다는 의미이다.

 

${\mathcal{L}}^2$의 원소 $f$와 $g$를 더하면,

$${|(f+g)(x)|}^2={|f(x)+g(x)|}^2\le 2({|f(x)|}^2+{|g(x)|}^2)$$

이므로

$${\int }_X{|(f+g)(x)|}^{2}dx\le 2({\int }_X{|f(x)|}^{2}dx+{\int }_X{|g(x)|}^{2}dx)<\mathrm{\infty }$$

이다. 즉, $(f+g)\in {\mathcal{L}}^2$이다. 마찬가지로 $\lambda f\in {\mathcal{L}}^2$이다. 따라서 ${\mathcal{L}}^2$은 vector space가 된다.

 

 

Inner Product on $L^2$

 

이제 ${\mathcal{L}}^2$에 binary operation $⟨\cdot ,\cdot ⟩$을 다음과 같이 정의한다.

$$⟨f,g⟩={\int }_{X}f(x)\overline{g(x)}dx$$

(선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 확인한 것과 같이

$$⟨f,g⟩=\overline{⟨g,f⟩}$$

$$⟨\lambda f+g,h⟩=\lambda ⟨f,h⟩+⟨g,h⟩$$

$$⟨f,f⟩\ge 0$$

를 만족한다. 그러나

$$⟨f,f⟩=0⟷f=0$$

을 만족하지 못하기 때문에 ${\mathcal{L}}^2$은 inner product space가 되지 못한다. 예를 들어,

$$f(x)=0,\mathrm{for}\mathrm{all}x\in [a,b]$$

$$g(x)=\{\begin{array}{cl}0& ,x\ne a\\ 1& ,x=a\end{array}$$

에 대하여

$$⟨f,f⟩=⟨g,g⟩=0$$

이지만, $g$는 zero vector가 아니다.

 

 

따라서 ${\mathcal{L}}^2$로부터 다음과 같이 새롭게 $L^2$를 정의함으로써 inner product를 만든다.

 

집합

$$\mathcal{N}=\{f:X\to \mathbb{C}|{\int }_X{|f(x)|}^{2}dx=0\}$$

라고 하자. 만약 함수 $f,g\in {\mathcal{L}}^2$가

$$f-g\in \mathcal{N}$$

이라면, 정의역의 대부분의 영역에서(---lebesgue, almost everywhere--- 참고)

$$f(x)=g(x)$$

이고 임의의 vector $h\in {\mathcal{L}}^2$에 대하여

$$⟨f,h⟩=⟨g,h⟩$$

이므로 $f$와 $g$를 $L^2$에서 완전히 같은 vector로 취급한다. 예를 들어,

$$f(x)=0,\mathrm{for}\mathrm{all}x\in [a,b]$$

$$g(x)=\{\begin{array}{cl}0& ,x\ne a\\ 1& ,x=a\end{array}$$

인 경우, 대부분의 영역에서 함수값이 같고, $x=a$ 한점에서만 다르므로 $f-g\in \mathcal{N}$이다. 따라서 $f$와 $g$는 $L^2$에서 똑같이 zero vector를 나타낸다.

 

$L^2={\mathcal{L}}^2/\mathcal{N}$  (---set, equivalence class--- 참고)

 

즉, $L^2$에서는

$$⟨f,f⟩=0⟺f=0$$

이므로 $L^2$는 inner product space이다.

 

 

Hilbert Space $L^2$

 

$L^2$의 completeness는 ${\ell }^2$의 completeness와 거의 동일하다. 여기에서는 Lebesgue integral이 summation과 거의 비슷하다는 것만 언급한다.(---lebesgue, lebesgue inegration--- 참고)