inner product4 [양자역학] 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ① 이번 페이지에서는 양자역학의 선형대수학적 구조를 가장 잘 표현할 수 있도록 wave function과 operator를 행렬로 표현할 것이다. 자세한 증명은 [선형대수학] 1.4 Coordinate Representation과 [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations 참고할 것. #Matrix Representation of Wave Functionswave function \(f\)가 Hamiltonian \(H\)의 eigenvector \(| n \rangle\)$$ H ~|n\rangle = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega ~|n\rangle ~~,~~ n=0,1,2,3,\cdots $$들로 다음과.. 2020. 6. 19. (선형대수학) 5.3 \(L^2\) Space 여기에선 (선형대수학) 4.1 Inner Product Space에서 정의했던 the square-integrable space를 살펴본다. 이 space는 대표적인 Hilbert space로 미적분 이론에서 중요하게 등장한다. 다만, 이를 이해하는데는 해석학적 개념들이 필요하기 때문에 이 페이지에서는 선형대수적 개념만 간단히 살펴본다. Vector space \(\mathcal{L}^2\) 정의역 \(X=[a,b]\)에 대하여 vector space \(\mathcal{L}^2\)을 $$ \mathcal{L}^2 = \left\{ f:X\to \mathbb{C} ~\left|~ \int_X \left| f(x) \right| ^2 dx < \infty \right. \right\} $$ 로 정의한다. .. 2018. 8. 3. (선형대수학) 4.7 Normal Operators 학부 양자역학의 주요 주제인 \(\left\langle H\psi,\phi \right\rangle\)(bra-ket notation으로는 \(\left\langle \phi \left| H \right| \psi \right\rangle\))를 계산하는 전략으로 \(\psi\)와 \(\varphi\)를 Hermitian operator \(H\)의 eigenvalue \(c_i\) 대한 eigenvector \(\phi_i\)들로 expansion하여 $$ \psi = \sum_i a_i \phi_i $$ $$ \varphi = \sum_j b_j \phi_j $$ inner product의 정의를 이용해 $$ \left\langle H\psi , \varphi \right\rangle = \sum_{.. 2018. 8. 2. (선형대수학) 4.6-(3) Example: Special Relativity, Lorentz Transformation 양자역학과 더불어 현대 물리학의 상대성 이론 중 특수 상대성이론은 Lorentz transformation의 이해가 핵심이 된다. 특수 상대성이론에서 입자는 1개의 시간좌표와 3개의 공간좌표를 가지는 4-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 고전역학에서도 1개의 시간과 3개의 공간좌표가 있는 것은 같으나 고전역학에서 시간은 입자의 운동을 공간좌표의 선으로 나타내기 위한 매개변수로 입자는 3-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 예를 들어, 각도 \(\theta\), 초기 속력 \(v_0\)로 쏜 포탄의 움직임은 \(l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3\) $$ l(t)=(v_0t\cos\theta,v_0t\sin\theta.. 2018. 8. 2. 이전 1 다음