(선형대수학) 4.6-(3) Example: Special Relativity, Lorentz Transformation

양자역학과 더불어 현대 물리학의 상대성 이론 중 특수 상대성이론은 Lorentz transformation의 이해가 핵심이 된다. 특수 상대성이론에서 입자는 1개의 시간좌표와 3개의 공간좌표를 가지는 4-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 고전역학에서도 1개의 시간과 3개의 공간좌표가 있는 것은 같으나 고전역학에서 시간은 입자의 운동을 공간좌표의 선으로 나타내기 위한 매개변수로 입자는 3-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 예를 들어, 각도 \(\theta\), 초기 속력 \(v_0\)로 쏜 포탄의 움직임은 \(l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3\)

$$ l(t)=(v_0t\cos\theta,v_0t\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2,0) $$

와 같이 \(\mathbb{R}^3\)의 선으로 표현된다. 특수 상대성이론에서 시간은 하나의 좌표로서 기능한다. 입자의 운동은 좌표 상의 선으로 나타나는데 시간이 매개변수로 사용되는 것이 아니라 시간 역시 매개변수의 함수로 쓰여진다. 보통 3개의 공간좌표는 \(x\), \(y\), \(z\) 대신 순서대로 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)로, 1개의 시간좌표는 빛의 속도 \(c\)를 곱해 \(x_0\)로 쓴다.

$$ (x_0,x_1,x_2,x_3)=(ct,x,y,z) $$

고전역학에서 입자 좌표의 inner product

$$ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{i=1} ^3 x_iy_i $$

와 비슷하게 특수 상대성이론에서도

$$ \left\langle x,y \right\rangle = -x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $$

를 정의한다. 이를 간략히 표현하기 위해서

$$ \eta_\mu = \left\{ \begin{array}{ccl} -1 & \mathrm{if} & \mu=0 \\ 1 & \mathrm{if} & \mu=1,2,3 \end{array} \right. $$

를 정의하여

$$ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{\mu=0} ^3 \eta_\mu x_\mu y_\mu $$

와 같이 표현한다. 보통 \(\eta\)의 index로 0이 포함되는 경우에는 index를 그리스 문자를 사용하고 0이 포함되지 않는 경우에는 알파벳을 사용한다. 조금 더 복잡하게 index를 2개 사용하여

$$ \eta_{\mu\nu} = \left\{ \begin{array}{ccl} -1 & \mathrm{if} & \mu=\nu=0 \\ 1 & \mathrm{if} & \mu=\nu=1,2,3 \\ 0 & \mathrm{if} & \mu\ne \nu \end{array} \right. $$

$$ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{\mu,\nu=0} ^3 \eta_{\mu\nu} x_\mu y_\nu $$

로 표현한다.

 

이 연산은 inner product 정의의 positive-definiteness를 만족하지 못하기 때문에 엄밀히 말하면 inner product는 아니지만 symmetry, linearity를 만족하기 때문에 inner product의 많은 성질을 공유한다. 특히 inner product space에서 inner product를 보존하는 linear operator를 찾을 수 있듯이 특수 상대성 이론의 \(\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle\)을 보존하는 linear operator를 찾을 수 있다. 이를 Lorentz transformation이라고 부른다. 이 정의가

$$ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} & -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\ -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{bmatrix} $$

로 연결되는 것은 (다양체,텐서) Example:Lorentz Transformation and Special Relativity (2)에서 다룬다.