(선형대수학) 4.6-(3) Example: Special Relativity, Lorentz Transformation

양자역학과 더불어 현대 물리학의 상대성 이론 중 특수 상대성이론은 Lorentz transformation의 이해가 핵심이 된다. 특수 상대성이론에서 입자는 1개의 시간좌표와 3개의 공간좌표를 가지는 4-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 고전역학에서도 1개의 시간과 3개의 공간좌표가 있는 것은 같으나 고전역학에서 시간은 입자의 운동을 공간좌표의 선으로 나타내기 위한 매개변수로 입자는 3-dimensional vector space의 vector로 표현된다. 예를 들어, 각도 $\theta$, 초기 속력 $v_0$로 쏜 포탄의 움직임은 $l:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$

$$l(t)=(v_{0}t\cos \theta ,v_{0}t\sin \theta -\frac{1}{2}g{t}^2,0)$$

와 같이 ${\mathbb{R}}^3$의 선으로 표현된다. 특수 상대성이론에서 시간은 하나의 좌표로서 기능한다. 입자의 운동은 좌표 상의 선으로 나타나는데 시간이 매개변수로 사용되는 것이 아니라 시간 역시 매개변수의 함수로 쓰여진다. 보통 3개의 공간좌표는 $x$, $y$, $z$ 대신 순서대로 $x_1$, $x_2$, $x_3$로, 1개의 시간좌표는 빛의 속도 $c$를 곱해 $x_0$로 쓴다.

$$(x_0,x_1,x_2,x_3)=(ct,x,y,z)$$

고전역학에서 입자 좌표의 inner product

$$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^3{x}_i{y}_i$$

와 비슷하게 특수 상대성이론에서도

$$⟨x,y⟩=-x_0{y}_0+x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$$

를 정의한다. 이를 간략히 표현하기 위해서

$${\eta }_{\mu }=\{\begin{array}{ccl}-1& \mathrm{if}& \mu =0\\ 1& \mathrm{if}& \mu =1,2,3\end{array}$$

를 정의하여

$$⟨x,y⟩=\sum _{\mu =0}^3{\eta }_{\mu }{x}_{\mu }{y}_{\mu }$$

와 같이 표현한다. 보통 $\eta$의 index로 0이 포함되는 경우에는 index를 그리스 문자를 사용하고 0이 포함되지 않는 경우에는 알파벳을 사용한다. 조금 더 복잡하게 index를 2개 사용하여

$${\eta }_{\mu \nu }=\{\begin{array}{ccl}-1& \mathrm{if}& \mu =\nu =0\\ 1& \mathrm{if}& \mu =\nu =1,2,3\\ 0& \mathrm{if}& \mu \ne \nu \end{array}$$

$$⟨x,y⟩=\sum _{\mu ,\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}_{\mu }{y}_{\nu }$$

로 표현한다.

 

이 연산은 inner product 정의의 positive-definiteness를 만족하지 못하기 때문에 엄밀히 말하면 inner product는 아니지만 symmetry, linearity를 만족하기 때문에 inner product의 많은 성질을 공유한다. 특히 inner product space에서 inner product를 보존하는 linear operator를 찾을 수 있듯이 특수 상대성 이론의 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$을 보존하는 linear operator를 찾을 수 있다. 이를 Lorentz transformation이라고 부른다. 이 정의가

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}\right]$$

로 연결되는 것은 (다양체,텐서) Example:Lorentz Transformation and Special Relativity (2)에서 다룬다.