(선형대수학) 4.6-(1) Orthogonal Operators

지금까지 inner product를 정의하면서 complex vector space를 가정하였는데 여기에서는 real vector space로 가정한다. 그러면 inner product를 보존하는 unitary operator \(U\)의 성질

$$ U^*U=UU^*=I $$

가 \(U^*=U^T\)이므로

$$ U^TU=UU^T=I $$

를 만족하는 linear operator가 된다. 이 조건을 만족하는 operator를 orthogonal operator라고 한다.

 

DEFINITION            Orthogonal Operators

 

Vector space \(V\)의 linear operator \(A\)가

$$ A^TA=AA^T=I $$

를 만족하는 경우 이를 orthogonal operator라고 부른다.

 

일반적으로 orthogonal operator와 unitary operator는 다르다. 그러나 real vector space에서는 adjoint가 transpose와 동일하므로 orthogonal operator와 unitary operator가 같다. 따라서 orthogonal operator는 real vector space에서 inner product를 보존한다.

 

Orthogonal operator \(R\)과 임의의 vector \(\mathbf{v}\)에 대하여

$$ \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle R\mathbf{v}, R\mathbf{v} \right\rangle $$

에서 좌변은 \(\mathbf{v}\)의 길이라고 할 수 있고, 우변은 \(R\)로 변환된 vector의 길이라고 할 수 있다. 즉, 변환이 inner product를 보존한다는 것은 vector의 길이(정의할 수 있다면)를 유지하는 변환이라는 것을 알 수 있다. Euclidean space에서 rotation이 이러한 변환에 해당한다. ((선형대수학) 2.5-(2) Example: Rotation 참고)