(선형대수학) 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators)

Inner product space $V$의 Linear operator $T$의 adjoint가 다시 $T$일 때 이 linear operator를 self-adjoint operator 또는 Hermitian operator라고 부른다.

 

DEFINITION            Self-adjoint Operators

 

Finite-dimensional inner product space $V$의 linear operator $T$가 임의의 vector $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$에 대하여

$$⟨T\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=⟨\mathbf{a},T\mathbf{b}⟩$$

즉,

$$T=T^{\ast }$$

인 경우 $T$를 self-adjoint(또는 Hermitian) operator라고 부른다.

 

$T^{\ast }$의 matrix 표현은 $T$의 conjugate transpose

$$T_{ij}^{\ast }=\overline{T_{ji}}$$

이므로 $T$가 self-adjoint인 경우 matrix 표현은

$$T_{ij}=\overline{T_{ji}}$$

이어야 한다.

 

Inner product space가 infinite dimension일 때는 이전 페이지에서 언급했듯이 adjoint의 존재가 문제가 되기 때문에 self-adjoint의 정의가 조금 더 복잡해진다. 다만, 결론적으로는 space를 어떻게 정의하느냐의 문제이므로 물리학과 학부 양자역학에서는 크게 걱정하지 않고 위의 정의를 거의 그대로 사용한다.

 

 

Eigenvalues of Self-adjoint Operators

 

양자역학에 등장하는 에너지, 각운동량 등은 self-adjoint operator가 된다. 이는 양자역학이

 

"물리적인 값의 측정(observable)은 inner product space의 self-adjoint operator로 표현되며 측정의 결과로 나오는 값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다."

 

는 것을 공리(axiom)로 설정하고 있기 때문이다.

 

이러한 공리가 타당한 이유는 self-adjoint operator의 eigenvalue는 항상 real number이다. Self-adjoint operator $T$에 대하여 $\mathbf{v}\ne \mathbf{0}$가 $c$를 eigenvalue로 하는 eigenvector라면, self-adjoint operator의 정의로부터

$$c⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=⟨c\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=⟨T\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{v},T\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{v},c\mathbf{v}⟩=\bar{c}⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩$$

이므로 inner product의 정의 $⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩>0$로부터

$$c=\bar{c}$$

즉, $c$는 real number가 된다.

 

따라서 양자역학의 공리에 의하면, 측정의 결과는 언제나 실수값으로 나온다.