(선형대수학) 4.5 Self-adjoint Operators(Hermitian Operators)

Inner product space \(V\)의 Linear operator \(T\)의 adjoint가 다시 \(T\)일 때 이 linear operator를 self-adjoint operator 또는 Hermitian operator라고 부른다.

 

DEFINITION            Self-adjoint Operators

 

Finite-dimensional inner product space \(V\)의 linear operator \(T\)가 임의의 vector \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)에 대하여

$$ \left\langle T\mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = \left\langle \mathbf{a} , T\mathbf{b} \right\rangle $$

즉,

$$ T = T^* $$

인 경우 \(T\)를 self-adjoint(또는 Hermitian) operator라고 부른다.

 

\(T^*\)의 matrix 표현은 \(T\)의 conjugate transpose

$$ T_{ij} ^* = \overline{T_{ji}} $$

이므로 \(T\)가 self-adjoint인 경우 matrix 표현은

$$ T_{ij} = \overline{T_{ji}} $$

이어야 한다.

 

Inner product space가 infinite dimension일 때는 이전 페이지에서 언급했듯이 adjoint의 존재가 문제가 되기 때문에 self-adjoint의 정의가 조금 더 복잡해진다. 다만, 결론적으로는 space를 어떻게 정의하느냐의 문제이므로 물리학과 학부 양자역학에서는 크게 걱정하지 않고 위의 정의를 거의 그대로 사용한다.

 

 

Eigenvalues of Self-adjoint Operators

 

양자역학에 등장하는 에너지, 각운동량 등은 self-adjoint operator가 된다. 이는 양자역학이

 

"물리적인 값의 측정(observable)은 inner product space의 self-adjoint operator로 표현되며 측정의 결과로 나오는 값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다."

 

는 것을 공리(axiom)로 설정하고 있기 때문이다.

 

이러한 공리가 타당한 이유는 self-adjoint operator의 eigenvalue는 항상 real number이다. Self-adjoint operator \(T\)에 대하여 \(\mathbf{v}\ne \mathbf{0}\)가 \(c\)를 eigenvalue로 하는 eigenvector라면, self-adjoint operator의 정의로부터

$$ c\left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle c\mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle T\mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , T\mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , c\mathbf{v} \right\rangle = \overline{c}\left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle $$

이므로 inner product의 정의 \(\left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle > 0 \)로부터

$$ c = \overline{c} $$

즉, \(c\)는 real number가 된다.

 

따라서 양자역학의 공리에 의하면, 측정의 결과는 언제나 실수값으로 나온다.