본문 바로가기

통계역학15

[통계역학] 2.2 보즈-아인슈타인 응축 Bose-Einstein Condensation 보존 이상 기체의 경우 입자 사이에 상호작용이 없는데도 일정한 온도 아래로 내려가면 많은 수의 입자가 가장 낮은 에너지 레벨로 떨어지는 현상이 발생하는데 이를 보즈-아인슈타인 응축이라고 부른다. 이번 페이지에서는 보즈-아인슈타인 응축에 대한 이론을 살펴본다. #Bose Ideal Gas입자가 boson인 경우 \(a=-1\) 을 대입하면,\[ \begin{equation*} \frac{PV}{kT} = - \sum_i \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon_i})} \end{equation*} \]만약 같은 에너지 레벨 \(\varepsilon\) 에 대하여, density of states를 \(d(\varepsilon)\) 이라고 하면,\[ \begin{equation*} \frac{PV.. 2020. 8. 18.
[통계역학] 2.1-(1) 보존 기체, 페르미온 기체의 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensembles of Boson Gas, Fermion Gases 이전 페이지에서는 microcanonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 정의했다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble을 이용하여 보존 기체와 페르미온 기체의 mean occupation number를 구해본다. 결론부터 말하자면 microcanonical ensemble에서 구한 결과와 동일하다. #Grand Partition Function1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble에서 grand canonical ensemble과 열역학적 변수들을 연결하는 핵심 개념은 grand partition function임을 살펴보았다.\[ \begin{equation} \mathcal{Z}.. 2020. 8. 18.
[통계역학] 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox에서 microcanonical ensemble을 이용하여 이상 기체에 대한 열역학 변수 \(S\), \(P\), \(C_v\) 등에 대하여 살펴보았다. 그러나 이 설명은 매우 높은 온도, 낮은 입자 밀도로 특징되는 classical limit에서만 성립한다. 즉, 각 입자의 에너지가 겹치는 경우가 거의 없는 경우에 성립하는 설명이다. 만약 온도가 낮고 높은 입자 밀도가 되는 경우에는 입자의 에너지가 겹칠 가능성이 높아지므로 양자역학적 성질이 중요하게 작용한다. 이번 페이지에서는 입자간 상호작용이 없는 이상기체에 대한 양자역학적 설명을 살펴본다. #Weight Factor양자역학 이론에 의하면, 입자는 스핀.. 2020. 8. 15.
[통계역학] 1.5 대정준 앙상블 Grand Canonical Ensemble Microcanonical ensemble은 입자의 개수 \(N\), 부피 \(V\), 에너지 \(E\) 가 주어진 시스템의 경우에 ensemble 이론이고, cacnonical ensemble은 입자의 개수 \(N\), 부피 \(V\), 온도 \(T\) 가 주어진 시스템의 경우 ensemble이다. 때로는 우리가 관심이 있는 시스템에 들어있는 입자의 개수가 변하는 경우도 있는데, 이러한 경우를 grand canonical ensemble(대정준 앙상블)이라고 한다. 이 경우에는 평형상태에서 chemical potential \(\mu\) 가 일정하게 유지된다. 따라서 주어진 macrostate는 \((V,T,\mu)\) 가 된다. 이번 페이지에서는 grand canonical ensemble에 대하여 .. 2020. 8. 9.
[통계역학] 1.4-(5) Example: 자기장 안에 있는 자기모멘트 Magnetic Moments in Magnetic Fields 양자역학에 따르면, orbit motion \(\mathbf{L}\) 과 spin \(\mathbf{S}\) 가 magnetic moment \(\mathbf{\mu}\) 를 형성한다. 따라서 orbit motion이나 spin을 가지고 있는 입자는 외부 자기장 \(\mathbf{B}\) 에 들어가면 \(\mathbf{B}\) 방향으로 정렬하려는 성질을 가진다. 그러나 열에너지는 무작위로 배열하려는 성질을 가지기 때문에, 정렬하려는 경향과 무작위로 배열하려는 경향이 서로 경쟁하는 양상을 보인다. 만약 온도가 매우 낮아 무작위로 배열하려는 경향이 작은 경우에는 대부분 자기장 방향으로 배열되어 \(N\) 개의 입자가 모인 시스템에서는 높은 magnetic moment를 보여줄 것이다. 반대로 온도가 매우 높.. 2020. 8. 9.
[통계역학] 1.4-(4) 등분배 법칙 Equipartition Theorem Equipartition theorem(등분배 법칙)은 Hamiltonian이 \(x\) 와 \(p\)의 제곱 형태로 쓰여져 있는 경우 평균 에너지가 하나의 운동 "자유도"마다 \(\frac{1}{2}kT\) 가 된다는 법칙이다. 예를 들어 단일 원자 이상기체의 경우 운동의 자유도가 \(x\) 축, \(y\) 축, \(z\) 축으로 3이고 입자가 N개 있으므로 \(U = \frac{3}{2}NkT\) 가 된다. 1차원 조화진동자의 경우 운동이 \(x\) 축 방향, 그리고 potential로 자유도가 2이므로 N개의 입자로 이루어진 시스템의 평균 에너지는 \(U=NkT\) 가 된다. 이번 페이지에서는 등분배 법칙에 대하여 살펴본다. #Equipartition Theorem일단 canonical ensemb.. 2020. 8. 8.
[통계역학] 1.4-(3) Example: 조화진동자 Harmonic Oscillators 이번 페이지에서는 위치가 고정된 \(N\) 개의 1차원 조화진동자로 이루어진 시스템에 대하여 canonical ensemble을 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Classical Case\(N\) 개의 조화진동자의 Hamiltonian은\[ H (x_1, \cdots, x_n, p_1, \cdots, p_n) = \sum _{i=1} ^N \frac{p _i ^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_i ^2 \]과 같이 조화진동자 1개의 Hamiltonian의 합으로 표현되므로 입자 1개의 partition function을 이용하여 N개의 partition function을 구할 수 있다.\[ Z_N(T) = \left[ Z_1(T) \right]^N \]입자 1개의 parti.. 2020. 8. 7.
[통계역학] 1.4-(2) Example: 이상기체 Ideal Gas 이번 페이지에서는 이상기체에서 canonical ensemble를 이용하여 열역학적 결과들을 살펴보자. #Ideal Gas부피 \(V\), 기체입자의 개수 \(N\), 온도 \(T\) 로 고정된 이상기체를 생각해보자. 이상기체의 Hamiltonian은\[ H(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_N, \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \cdots, \mathbf{p}_N) = \sum_{i=1} ^N \frac{\left| \mathbf{p}_i \right|^2}{2m} \]이므로 partition function은\[ \begin{align*} Z_N(V,T) &= \frac{1}{N!h^{3N}} \int e^{-\beta H(\math.. 2020. 8. 7.

티스토리툴바