[통계역학] 2.2 보즈-아인슈타인 응축 Bose-Einstein Condensation

보존 이상 기체의 경우 입자 사이에 상호작용이 없는데도 일정한 온도 아래로 내려가면 많은 수의 입자가 가장 낮은 에너지 레벨로 떨어지는 현상이 발생하는데 이를 보즈-아인슈타인 응축이라고 부른다. 이번 페이지에서는 보즈-아인슈타인 응축에 대한 이론을 살펴본다.

#Bose Ideal Gas

입자가 boson인 경우 \(a=-1\) 을 대입하면,

\[ \begin{equation*} \frac{PV}{kT} = - \sum_i \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon_i})} \end{equation*} \]

만약 같은 에너지 레벨 \(\varepsilon\) 에 대하여, density of states를 \(d(\varepsilon)\) 이라고 하면,

\[ \begin{equation*} \frac{PV}{kT} = - \sum_\varepsilon d(\varepsilon) \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon})} \end{equation*} \]

가 된다. 주어진 \(\varepsilon\) 에 대하여 density of states는

\[ d(\varepsilon) \approx \frac{1}{h^3} \left( \frac{d}{d\varepsilon} \int_{H<\epsilon} d\Omega \right) = \frac{V}{h^3} 2\pi (2m)^{\frac{3}{2}} \varepsilon^{\frac{1}{2}} \]

그리고, 큰 \(V\) 에 대하여 에너지 레벨은 거의 연속이므로 \(\sum_\varepsilon\) 는 \(\int ~d\varepsilon\) 으로 대체할 수 있다. 다만, \(\varepsilon=0\) 인 경우는 \(d(\varepsilon)\) 이 0으로 계산되므로 이 부분만 따로 계산하면 다음 식을 얻는다.

\[ \begin{equation*} \frac{PV}{kT} = - \frac{V}{h^3} 2\pi (2m)^{\frac{3}{2}} \int _0 ^\infty \varepsilon^{\frac{1}{2}} \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon})} ~d\varepsilon - \ln{(1-z)} \label{pvkt1} \end{equation*} \]

적분부분을 부분적분을 이용하면,

\[ \begin{align*} \int _0 ^\infty \varepsilon^{\frac{1}{2}} \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon})} ~d\varepsilon &= \left. \frac{2}{3} \varepsilon^{\frac{3}{2}} \ln{(1-ze^{-\beta\varepsilon})} \right| _0 ^\infty - \int _0 ^\infty \frac{2}{3}\varepsilon^{\frac{3}{2}} \frac{\beta z e^{-\beta \varepsilon}}{1-z e^{-\beta\varepsilon}} ~d\varepsilon \\ &= - \frac{2}{3} \beta \int_0 ^\infty \frac{\varepsilon^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}e^{-\beta\varepsilon} - 1} ~d\varepsilon \\ &= - \frac{2}{3} \frac{1}{\beta^{\frac{3}{2}}}  \int_0 ^\infty \frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}e^{-x} - 1} ~dx \end{align*} \]

이므로

\[ \begin{equation} \frac{P}{kT} = \left( \frac{2\pi m}{h^2 \beta} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\Gamma \left(\frac{5}{2}\right)}  \int_0 ^\infty \frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}e^{-x} - 1} ~dx - \frac{1}{V} \ln{(1-z)} \label{pvkt2} \end{equation} \]

같은 방식으로

\[ \begin{equation*} N = \sum_i \frac{1}{z^{-1}e^{\beta\varepsilon} - 1} \end{equation*} \]

로부터

\[ \begin{equation} \frac{N}{V} = \left( \frac{2\pi m}{h^2 \beta} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}  \int_0 ^\infty \frac{x^{\frac{1}{2}}}{z^{-1}e^{-x} - 1} ~dx + \frac{1}{V}\frac{z}{1-z} \label{n1} \end{equation} \]

을 얻을 수 있다.

#Bose-Einstein Function

식 \(\eqref{pvkt2}\), 식 \(\eqref{n1}\)를 간단히 표현하기 위하여, 다음과 같은 값을 정의하자.^[각주:1]

\[ \begin{equation} \lambda = \left( \frac{h^2 \beta}{2\pi m } \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{h^2}{2\pi mkT} \right)^{\frac{1}{2}} \label{mtw} \end{equation} \]

또한 다음과 같은 함수를 정의하자.^[각주:2]

\[ \begin{equation} g_\nu (z) = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int _0 ^\infty \frac{x^{\nu -1}}{z^{-1}e^{x}-1}~dx \label{bef} \end{equation} \]

이들을 이용하여 식 \(\eqref{pvkt2}\)과 식 \(\eqref{n1}\)을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

THEOREM            Ideal Bose Gas

\[ \begin{align} \frac{P}{kT} &= \frac{1}{\lambda^3} g_{5/2}(z) - \frac{1}{V}\ln{(1-z)} \label{pvkt3} \\ \notag \\ \frac{N}{V} &= \frac{1}{\lambda^3} g_{3/2}(z) + \frac{1}{V}\frac{z}{1-z} \label{n2} \end{align} \]

식 \(\eqref{bef}\)에서 정의한 Bose-Einstein function의 중요한 특징을 살펴보자. 적분 안쪽의 분모 부분

\[ \frac{1}{z^{-1}e^x -1} = \frac{ze^{-x}}{1-ze^{-x}} \]

를 \(z\) 에 대해, \(j\) 번 미분하면

\[ \frac{\partial^j}{\partial z^j} \frac{1}{z^{-1}e^x -1} = j! \frac{e^{-jx}}{(1-ze^{-x})^j} + j! \frac{ze^{-(j+1)x}}{(1-ze^{-x})^{j+1}} \]

이므로, \(z=0\) 에서 Taylor 전개하면, 다음의 무한급수를 얻는다.^[각주:3]

\[ \frac{1}{z^{-1}e^x -1} = \sum _{j=1} ^\infty e^{-jx}z^j \]

이를 식 \(\eqref{bef}\)에 대입하면,

\[ \begin{align} g_\nu (z) &= \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int _0 ^\infty x^{\nu -1}\sum _{j=1} ^\infty e^{-jx}z^j~dx \notag \\ \notag \\ &= \frac{1}{\Gamma(\nu)} \sum _{j=1} ^\infty z^j ~\int _0 ^\infty x^{\nu-1} e^{-jx} ~dx \notag \\ \notag \\ &= \sum _{j=1} ^\infty \frac{z^j}{j^\nu} ~~=~~ z + \frac{z^2}{2^\nu} + \frac{z^3}{3^\nu} + \cdots \label{befsum} \end{align} \]

Boson에서 chemical potential \(\mu\) 는 에너지 최소값 0보다 작아야 하므로^[각주:4] \(z=e^{\mu/kT}\) 의 범위는 0~1이 된다. 이 식에 따르면 \(g_\nu(z)\) 는 증가함수이므로 \(z=1\) 에서 최대값을 가진다. 즉,^[각주:5]

\[ \begin{equation} g_\nu(z) \le g_\nu(1) = 1 + \frac{1}{2^\nu} + \frac{1}{3^\nu} + \cdots \label{befmax} = \zeta(\nu) \end{equation} \]

또한, 식 \(\eqref{befsum}\)을 \(z\) 로 미분하면,

\[ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial z} g_\nu(z) = 1+ \frac{z}{2^{\nu-1}} + \frac{z^2}{3^{\nu-1}} + \cdots = z g_{\nu-1}(z) \label{befdiff} \end{equation} \]

을 얻는다.

#Bose-Einstein Condensation

식 \(\eqref{n2}\)에서 \(\varepsilon=0\) 부분인 \(\frac{1}{V}\frac{z}{1-z}\) 를 제외한 나머지 부분이 excited 상태에 있는 입자의 개수가 된다. 즉,

\[ N_e = \frac{V}{\lambda^3} g_{3/2}(z) \]

식 \(\eqref{befmax}\)에 의해, excited 상태에 있는 최대 입자 개수는

\[ \begin{equation} N_e \le \frac{V}{\lambda^3} \zeta(\frac{3}{2}) \approx 2.612 \frac{V}{\lambda^3} = 2.612\frac{V}{h^3}(2\pi mkT)^{\frac{3}{2}} \label{nemax} \end{equation} \]

가 된다. 총 입자의 개수가 \(N_e\) 의 최대값보다 작은 경우에는 문제가 없지만, 만약 총 입자의 개수가 더 크면, 초과되는 입자들은 모두 ground 상태가 된다. 이러한 현상은 고전적 기체에서는 나타나지 않는 현상으로 완전히 양자역학적으로만 이해되는 현상이다. 이 현상을 Bose-Einstein condensation(보즈-아인슈타인 응축)이라고 한다. 이 때, ground 상태에 있는 입자의 개수는

\[ \begin{equation} N_0 = N - N_e = N - 2.612\frac{V}{h^3}(2\pi mkT)^{\frac{3}{2}} \end{equation} \]

가 된다.

Bose-Einstein condensation이 일어나는 조건은 총 입자의 수 \(N\) 이 excited 상태에 있을 수 있는 최대 입자수 \(N_e\) 보다 더 많을 때 일어난다. 식 \(\eqref{nemax}\)에 의하면, 온도 \(T\) 가 낮아질수록 \(N_e\) 의 최대값도 낮아진다. 따라서 입자의 수 \(N\) 이 정해져 있는 경우 \(N_e = N\) 이 되는 온도

\[ \begin{equation} T_c = \frac{h^2}{2\pi mk} \left( \frac{N}{V} \frac{1}{\zeta(\frac{3}{2})} \right)^{\frac{2}{e}} \label{ciriticalt} \end{equation} \]

보다 낮은 온도에서 condensation이 일어난다. 이 온도를 critical temperature라고 한다.

\(T_c\) 보다 낮은 온도 \(T\) 에서 ground 상태로 condensation이 되는 입자의 비율은

\[ \frac{N_0}{N} = 1- \left( \frac{T}{T_c} \right)^{\frac{3}{2}} \]

\(T_c\) 보다 높은 온도에서는 condensation이 되는 입자의 비율은 0이 되고, 대부분의 입자가 excited 상태에 있게 된다.^[각주:6] 다음 그림은 온도의 변화에 따라 ground 상태에 있는 입자의 비율과, excited 상태에 있는 입자의 비율에 대한 그래프이다.

1. 이 값을 mean thermal wavelength라고 부른다. [본문으로]
2. 이 함수를 Bose-Einstein function이라고 부른다. [본문으로]
3. 다음 식의 우변을 정리하면 무한등비 수열로 해석할 수 있다. 무한 등비 수열의 합과 원래 식을 비교해볼 것. [본문으로]
4. 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas mean occupation number 참고. [본문으로]
5. 다음 식 등호의 마지막은 zeta function이다. [본문으로]
6. "대부분"이라고 한 것은 우리가 구하고 있는 값들은 모두 평균적인 값이라는 사실 때문이다. 물론 평균에서 벗어나는 비율은 거의 0에 가깝지만 완전히 0은 아니다. [본문으로]