[통계역학] 2.2 보즈-아인슈타인 응축 Bose-Einstein Condensation

보존 이상 기체의 경우 입자 사이에 상호작용이 없는데도 일정한 온도 아래로 내려가면 많은 수의 입자가 가장 낮은 에너지 레벨로 떨어지는 현상이 발생하는데 이를 보즈-아인슈타인 응축이라고 부른다. 이번 페이지에서는 보즈-아인슈타인 응축에 대한 이론을 살펴본다.

#Bose Ideal Gas

입자가 boson인 경우 $a=-1$ 을 대입하면,

$$\frac{PV}{kT}=-\sum _i\ln (1-z{e}^{-\beta {\epsilon }_i})$$

만약 같은 에너지 레벨 $\epsilon$ 에 대하여, density of states를 $d(\epsilon )$ 이라고 하면,

$$\frac{PV}{kT}=-\sum _{\epsilon }d(\epsilon )\ln (1-z{e}^{-\beta \epsilon })$$

가 된다. 주어진 $\epsilon$ 에 대하여 density of states는

$$d(\epsilon )\approx \frac{1}{h^3}\left(\frac{d}{d\epsilon }{\int }_{H<ϵ}d\mathrm{\Omega }\right)=\frac{V}{h^3}2\pi (2m{)}^{\frac{3}{2}}{\epsilon }^{\frac{1}{2}}$$

그리고, 큰 $V$ 에 대하여 에너지 레벨은 거의 연속이므로 $\sum _{\epsilon }$ 는 $\int d\epsilon$ 으로 대체할 수 있다. 다만, $\epsilon =0$ 인 경우는 $d(\epsilon )$ 이 0으로 계산되므로 이 부분만 따로 계산하면 다음 식을 얻는다.

$$\frac{PV}{kT}=-\frac{V}{h^3}2\pi (2m{)}^{\frac{3}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^{\frac{1}{2}}\ln (1-z{e}^{-\beta \epsilon })d\epsilon -\ln (1-z)$$

적분부분을 부분적분을 이용하면,

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^{\frac{1}{2}}\ln (1-z{e}^{-\beta \epsilon })d\epsilon & ={\frac{2}{3}{\epsilon }^{\frac{3}{2}}\ln (1-z{e}^{-\beta \epsilon })|}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{3}{\epsilon }^{\frac{3}{2}}\frac{\beta z{e}^{-\beta \epsilon }}{1-z{e}^{-\beta \epsilon }}d\epsilon \\ & =-\frac{2}{3}\beta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}{e}^{-\beta \epsilon }-1}d\epsilon \\ & =-\frac{2}{3}\frac{1}{{\beta }^{\frac{3}{2}}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}{e}^{-x}-1}dx\end{array}$$

이므로

$$\frac{P}{kT}={\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta }\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{-1}{e}^{-x}-1}dx-\frac{1}{V}\ln (1-z)$$

같은 방식으로

$$N=\sum _i\frac{1}{z^{-1}{e}^{\beta \epsilon }-1}$$

로부터

$$\frac{N}{V}={\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta }\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{z^{-1}{e}^{-x}-1}dx+\frac{1}{V}\frac{z}{1-z}$$

을 얻을 수 있다.

#Bose-Einstein Function

식 $\text{(???)}$, 식 $\text{(???)}$를 간단히 표현하기 위하여, 다음과 같은 값을 정의하자.^[각주:1]

$$\lambda ={\left(\frac{h^2\beta }{2\pi m}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

또한 다음과 같은 함수를 정의하자.^[각주:2]

$$g_{\nu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\nu -1}}{z^{-1}{e}^x-1}dx$$

이들을 이용하여 식 $\text{(???)}$과 식 $\text{(???)}$을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

THEOREM            Ideal Bose Gas

$$\begin{array}{rl}\frac{P}{kT}& =\frac{1}{{\lambda }^3}{g}_{5/2}(z)-\frac{1}{V}\ln (1-z)\\ \\ \frac{N}{V}& =\frac{1}{{\lambda }^3}{g}_{3/2}(z)+\frac{1}{V}\frac{z}{1-z}\end{array}$$

식 $\text{(???)}$에서 정의한 Bose-Einstein function의 중요한 특징을 살펴보자. 적분 안쪽의 분모 부분

$$\frac{1}{z^{-1}{e}^x-1}=\frac{z{e}^{-x}}{1-z{e}^{-x}}$$

를 $z$ 에 대해, $j$ 번 미분하면

$$\frac{{\partial }^j}{\partial z^j}\frac{1}{z^{-1}{e}^x-1}=j!\frac{e^{-jx}}{(1-z{e}^{-x}{)}^j}+j!\frac{z{e}^{-(j+1)x}}{(1-z{e}^{-x}{)}^{j+1}}$$

이므로, $z=0$ 에서 Taylor 전개하면, 다음의 무한급수를 얻는다.^[각주:3]

$$\frac{1}{z^{-1}{e}^x-1}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-jx}{z}^j$$

이를 식 $\text{(???)}$에 대입하면,

$$\begin{array}{rl}{g}_{\nu }(z)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\nu -1}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-jx}{z}^{j}dx\\ \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^j{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\nu -1}{e}^{-jx}dx\\ \\ & =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^j}{j^{\nu }}=z+\frac{z^2}{2^{\nu }}+\frac{z^3}{3^{\nu }}+\cdots \end{array}$$

Boson에서 chemical potential $\mu$ 는 에너지 최소값 0보다 작아야 하므로^[각주:4] $z=e^{\mu /kT}$ 의 범위는 0~1이 된다. 이 식에 따르면 $g_{\nu }(z)$ 는 증가함수이므로 $z=1$ 에서 최대값을 가진다. 즉,^[각주:5]

$$g_{\nu }(z)\le g_{\nu }(1)=1+\frac{1}{2^{\nu }}+\frac{1}{3^{\nu }}+\cdots =\zeta (\nu )$$

또한, 식 $\text{(???)}$을 $z$ 로 미분하면,

$$\frac{\partial }{\partial z}{g}_{\nu }(z)=1+\frac{z}{2^{\nu -1}}+\frac{z^2}{3^{\nu -1}}+\cdots =z{g}_{\nu -1}(z)$$

을 얻는다.

#Bose-Einstein Condensation

식 $\text{(???)}$에서 $\epsilon =0$ 부분인 $\frac{1}{V}\frac{z}{1-z}$ 를 제외한 나머지 부분이 excited 상태에 있는 입자의 개수가 된다. 즉,

$$N_e=\frac{V}{{\lambda }^3}{g}_{3/2}(z)$$

식 $\text{(???)}$에 의해, excited 상태에 있는 최대 입자 개수는

$$N_e\le \frac{V}{{\lambda }^3}\zeta (\frac{3}{2})\approx 2.612\frac{V}{{\lambda }^3}=2.612\frac{V}{h^3}(2\pi mkT{)}^{\frac{3}{2}}$$

가 된다. 총 입자의 개수가 $N_e$ 의 최대값보다 작은 경우에는 문제가 없지만, 만약 총 입자의 개수가 더 크면, 초과되는 입자들은 모두 ground 상태가 된다. 이러한 현상은 고전적 기체에서는 나타나지 않는 현상으로 완전히 양자역학적으로만 이해되는 현상이다. 이 현상을 Bose-Einstein condensation(보즈-아인슈타인 응축)이라고 한다. 이 때, ground 상태에 있는 입자의 개수는

$$N_0=N-N_e=N-2.612\frac{V}{h^3}(2\pi mkT{)}^{\frac{3}{2}}$$

가 된다.

Bose-Einstein condensation이 일어나는 조건은 총 입자의 수 $N$ 이 excited 상태에 있을 수 있는 최대 입자수 $N_e$ 보다 더 많을 때 일어난다. 식 $\text{(???)}$에 의하면, 온도 $T$ 가 낮아질수록 $N_e$ 의 최대값도 낮아진다. 따라서 입자의 수 $N$ 이 정해져 있는 경우 $N_e=N$ 이 되는 온도

$$T_c=\frac{h^2}{2\pi mk}{\left(\frac{N}{V}\frac{1}{\zeta (\frac{3}{2})}\right)}^{\frac{2}{e}}$$

보다 낮은 온도에서 condensation이 일어난다. 이 온도를 critical temperature라고 한다.

$T_c$ 보다 낮은 온도 $T$ 에서 ground 상태로 condensation이 되는 입자의 비율은

$$\frac{N_0}{N}=1-{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{\frac{3}{2}}$$

$T_c$ 보다 높은 온도에서는 condensation이 되는 입자의 비율은 0이 되고, 대부분의 입자가 excited 상태에 있게 된다.^[각주:6] 다음 그림은 온도의 변화에 따라 ground 상태에 있는 입자의 비율과, excited 상태에 있는 입자의 비율에 대한 그래프이다.

1. 이 값을 mean thermal wavelength라고 부른다. [본문으로]
2. 이 함수를 Bose-Einstein function이라고 부른다. [본문으로]
3. 다음 식의 우변을 정리하면 무한등비 수열로 해석할 수 있다. 무한 등비 수열의 합과 원래 식을 비교해볼 것. [본문으로]
4. 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas mean occupation number 참고. [본문으로]
5. 다음 식 등호의 마지막은 zeta function이다. [본문으로]
6. "대부분"이라고 한 것은 우리가 구하고 있는 값들은 모두 평균적인 값이라는 사실 때문이다. 물론 평균에서 벗어나는 비율은 거의 0에 가깝지만 완전히 0은 아니다. [본문으로]