[통계역학] 1.4-(5) Example: 자기장 안에 있는 자기모멘트 Magnetic Moments in Magnetic Fields

양자역학에 따르면, orbit motion \(\mathbf{L}\) 과 spin \(\mathbf{S}\) 가 magnetic moment \(\mathbf{\mu}\) 를 형성한다. 따라서 orbit motion이나 spin을 가지고 있는 입자는 외부 자기장 \(\mathbf{B}\) 에 들어가면 \(\mathbf{B}\) 방향으로 정렬하려는 성질을 가진다. 그러나 열에너지는 무작위로 배열하려는 성질을 가지기 때문에, 정렬하려는 경향과 무작위로 배열하려는 경향이 서로 경쟁하는 양상을 보인다. 만약 온도가 매우 낮아 무작위로 배열하려는 경향이 작은 경우에는 대부분 자기장 방향으로 배열되어 \(N\) 개의 입자가 모인 시스템에서는 높은 magnetic moment를 보여줄 것이다. 반대로 온도가 매우 높은 경우에는 무작위로 배열하려는 경향이 높아 \(N\) 개의 입자가 모인 시스템에서 magnetic moment가 거의 사라질 것이다. 이번 페이지에서는 paramagnetism을 canonical ensemble을 이용하여 이러한 예측이 맞는지 분석해본다.

#Curie's Law

\(\mathbf{B}\) 가 작용하는 경우 입자 1개의 Hamiltonian은 다음과 같이 주어진다.

\[ H = -\left( g \frac{e}{2mc} \right) (\mathbf{L}+\mathbf{S}) \cdot \mathbf{B} \]

이 때 \((\mathbf{L}+\mathbf{S})\) 는 \(\mathbf{L}\) 이나 \(\mathbf{S}\) 와 서로 동시에 측정이 불가능하기 때문에, total angular momentum \(\mathbf{J}\) 를 도입하여 나타낸다.

\[ H = -\left( g \frac{e}{2mc} \right) \mathbf{J} \cdot \mathbf{B} \]

만약 \(\mathbf{B}\) 가 z축으로 정렬된 경우, 위 식은

\[ H = -\left( g \frac{e}{2mc} \right) B J_z = -g \frac{e\hbar}{2mc}Bm_z ~~~~~~\text{where }~ m_z=-j,-(j-1),\cdots,(j-1),j \]

이 때, 식을 간단히 하기 위하여 Bohr magneton \(\mu_B = \frac{e\hbar}{2mc}\)을 도입하여

\[ H = -g\mu_B B m_z ~~~~~~\text{where }~ m_z=-j,-(j-1),\cdots,(j-1),j \]

가 된다. 따라서 partition function은

\[ \begin{align*} Z_1(\beta) &= \sum _{m_z=-j} ^j e^{\beta g\mu_B B m_z} \\ \\  &= e^{-\beta g\mu_B Bj}\frac{1-e^{\beta g\mu_B B(2j+1)}}{1-e^{\beta g\mu_B B}} \\ \\ &= \frac{e^{-\beta g\mu_B Bj} - e^{\beta g\mu_B B (j+1)}}{1- e^{\beta g\mu_B B}} \\ \\ &= \frac{e^{-\beta g\mu_B B (j+\frac{1}{2})} - e^{\beta g\mu_B B (j+\frac{1}{2})}}{e^{-\beta g\mu_B B/2}- e^{\beta g\mu_B B/2}} \\ \\ &= \frac{\sinh{\left\{\beta g \mu_B B\left(j+\frac{1}{2}\right)\right\}}}{\sinh{\left\{\beta g \mu_B B/2 \right\}}} \end{align*} \]

입자의 평균 magnetic moment \(\bar{\mu}\)는

\[ \begin{align*} \bar{\mu} &= \left\langle g \mu_B m_z \right\rangle \\ \\ &= \frac{\sum _{m_z=-j} ^{j} g\mu_B m_z~ e^{\beta g \mu_B B m_z}}{\sum _{m_z=-j} ^{j} e^{\beta g \mu_B B m_z}} \\ \\ &= \frac{N}{\beta} \frac{\partial}{\partial B} \ln{Z_1(\beta)} \\ \\ &= g\mu_B \left[ \left(j+\frac{1}{2} \right) \coth{\left\{\beta g \mu_B B\left(j+\frac{1}{2}\right)\right\}} - \frac{1}{2} \coth{\left\{\beta g \mu_B B /2 \right\}} \right] \end{align*} \]

위 결과를 \(\beta\)에 대한 그래프로 나타내면 다음과 같다.

image by Wolfram Mathematica

이 결과를 해석해보자.

① total angular momentum quantum number \(j\) 가 클수록 평균 magnetic moment \(\mu\) 가 크다. 이는 입자의 magnetic moment의 원천인 angular momentum이 커질 수록 magnetic moment가 커진다는 의미로 당연한 결과이다.

② 고정된 \(j\) 값에서 \(\beta\) 가 클 수록 평균 magnetic moment가 커지며 점점 한 값으로 수렴하고, \(\beta\) 가 작을 수록 평균 magnetic moment는 0에 수렴한다. \(\beta = \frac{1}{kT}\) 이므로, 온도가 올라갈 수록 평균 magnetic moment는 0에 수렴하고, 온도가 내려갈 수록 최대값에 수렴하게 된다. 맨 처음에 열에너지가 무작위로 배열하려는 경향으로부터 한 예측이 옳다는 것을 말한다.

③ \(x\) 가 매우 작은 경우,

\[ \left( j+ \frac{1}{2} \right) \coth{\left\{ \left(j+\frac{1}{2} \right)x \right\}} - \frac{1}{2} \coth{\left\{ \frac{x}{2} \right\}} \approx \frac{1}{3}j(j+1) x - \frac{1}{90}j(j+1)(2j^2+2j+1) x^3 \cdots \]

를 이용하여, \(T\) 가 매우 크고 \(B\) 가 매우 작은 경우 \(\bar{\mu}\) 를 1차항까지 근사하면, 다음을 얻는다.

THEOREM            Curie's Law

Paramagnetic material의 magnetic moment는 걸어준 외부 자기장 \(B\)에 비례한다.

\[ \bar{\mu} = C \frac{B}{T} \]

이 때, 비례 상수 \(C\) 를 물질의 Curie constant라고 부른다.

따라서, 입자 \(N\) 개로 이루어진 paramagnetic material의 Curie constant는

\[ C= N\frac{g^2 \mu_B ^2 j(j+1)}{3k} \]

가 된다.

#Negative Temperature

논의의 편의를 위해 \(g=2\) , \(j=\frac{1}{2}\) 라고 가정하자.^[각주:1] \(N\) 개 입자로 이루어진 paramagnetic material의 경우 partition function은

\[ Z_N(\beta) = (e^{-\beta \mu_B B} + e^{\beta \mu_B B}) ^N = [2\cosh{(\beta\mu_B B)}]^N \]

이를 이용해 평균 에너지 \(U\) 를 구하면 다음과 같다.

\[ U = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln{Z_N (\beta)} = -N \mu_B B \tanh{(\beta \mu_B B)} = -N\mu_B B \tanh{\frac{\mu_B B}{kT}} \]

따라서 온도와 평균 에너지는 다음의 관계에 있다.

\[ \frac{1}{T} = - \frac{k}{\mu_B B} \tanh^{-1} \left( \frac{U}{N\mu_B B} \right) \]

이제 온도가 0부터 증가하는 경우 시스템에 어떤 일이 벌어지는지 살펴보자. 먼저 온도가 0인 경우는 위에서 처음에 언급한 것과 같이 열에너지가 전혀 없기 때문에, magnetic field 방향으로 완전히 정렬되는 상황이다. 점점 온도가 올라가면서 열에너지가 무작위로 배열하려는 경향이 커지면서 점점 에너지가 증가한다. 온도가 무한대로 커지면, 열에너지가 무작위로 배열하려는 경향이 더 커져 완전히 무작위로 배열이 되어, 자기장 방향으로 정렬된 입자와 반대 방향으로 정렬된 입자의 수가 평균적으로 동일해 질 것이다. 이 경우 평균 에너지는 0이 된다. 이는 온도와 평균 에너지의 관계에서도 쉽게 확인할 수 있다.

이러한 방향으로 계속 한다면, 자기장 방향으로 정렬된 입자보다 반대 방향으로 정렬된 입자의 수가 더 큰 경우도 생각할 수 있을 것이다. 이 경우에 평균 에너지는 양수가 된다. 그러므로 온도와 평균 에너지의 관계로부터 온도는 음수가 되어야 한다. 이러한 경우가 시스템 전체적으로는 불가능할 수 있지만, 부분적으로는 가능하다. 더욱 재밌는 현상은 부분적으로 온도가 음수인 영역이 에너지가 높고, 부분적으로 온도가 양수인 영역이 에너지가 낮기 때문에, 온도가 음수인 영역에서 양수인 영역으로 열에너지가 흐르게 된다. 이 사실이 말해주는 것은 온도가 음수인 영역이 온도가 양수인 영역보다 더 뜨겁다는 뜻이 된다. 무려 무한대의 온도보다도 높다. 더 차가운 순서대로 온도를 써보면 다음과 같다.

\[ \begin{gather*} \text{(colder)} & & 0^+ & \sim & \infty = -\infty & \sim & 0^- & & \text{(hotter)} \end{gather*} \]

1. 즉, spin 1/2만 있는 경우이다. [본문으로]