Physics66 [양자역학] 4.6-(2) Example: 수소 원자 바닥 상태에서 기대값 Expectation for the Ground State of Hydrogen Atom 이번 페이지에서는 수소 원자의 바닥 상태에서 위치의 기대값을 구해본다. #Expectation of \(r\) and \(r^2\)먼저 수소 원자의 바닥 상태 \(|1,0,0\rangle\) 에서 \(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구해보자. 먼저 바닥 상태는 다음과 같은 함수로 표현된다.\[ \begin{equation} \psi_{100} (r,\theta,\phi) = \left( \frac{1}{\pi a_0 ^3} \right) ^{1/2} e^{-\frac{r}{a_0}} \label{ground} \end{equation}\]\(r\) 과 \(r^2\) 의 기대값을 구하기 위해서는 다음 적분이 필요하다. DEFINITION Gamma Function 자연수 \(n\) 에 대하여, \[ .. 2021. 1. 20. [양자역학] 3.5-(2) Example: 조화진동자에서 불확정성 원리 Uncertainty Principle of Harmonic Oscillator 이전 페이지에서 살펴본 기대값을 이용하여 불확정성 원리를 확인할 수 있다. 이번 페이지에서는 조화진동자에서 불확정성 원리를 확인해 본다. #Uncertainty Principle"양자역학에서 위치와 운동량을 모두 정확히 측정하는 것을 불가능하다"는 불확정성 원리는 수학적으로는 표준편차를 이용해 표현할 수 있다. 확률론에서 어떤 값을 정확히 측정할 수 있다는 것은 표준편차가 0이라는 것과 같으므로 불확정성 원리는 "위치와 운동량의 표준편차를 모두 0으로 만드는 것은 불가능하다"라고 표현할 수 있다. THEOREM Uncertainty Principle \[ \begin{equation} \left( X\text{의 표준편차} \right) \left( P\text{의 표준편차} \right) \ge \fr.. 2020. 12. 24. [양자역학] 3.5-(1) Example: 조화진동자에서 물리량 Values of Observables for a Harmonic Oscillator 이번 페이지에서는 조화진동자에서 위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하는 방법을 살펴본다. #Expectation Values of Observables위치, 운동량의 기대값에 대하여 구하기 전에, 먼저 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements , 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 의 내용을 다시 한번 정리하자. THEOREM Expectation Values of Observables 물리적 측정값 \(\mathcal{A}\) 에 대한 Hermitian operator를 \(A\) 라고 하자. 물리적 시스템이 \(|f\rangle\) 인 경우 \(\mathcal{A}\) 의 기대값은 다음과 같다.\[ \begin{equation} E[A].. 2020. 12. 24. [통계역학] 2.3 보존 이상기체 Boson Ideal Gas 지난 페이지에 이어 보존 이상기체의 특징에 대하여 살펴본다. 이번 페이지에 사용될 보존 이상기체 식들을 다시 소개한다.\[ \begin{equation} \frac{P}{kT} = \frac{1}{\lambda^3} g_{5/2}(z) - \frac{1}{V}\ln{(1-z)} \label{pvkt3} \end{equation} \]\[ \begin{equation} \frac{N}{V} = \frac{1}{\lambda^3} g_{3/2}(z) + \frac{1}{V}\frac{z}{1-z} \label{n2} \end{equation} \]\[ \begin{equation} \lambda = \left( \frac{h^2 \beta}{2\pi m } \right)^{\frac{1}{2}} = \lef.. 2020. 12. 16. [양자역학] 6.3 시간에 무관한 섭동론 ② Time-Independent Perturbation Theory Perturbation theory의 기본 가정을 살펴보면 물리적 시스템의 Hamiltonian \(H\)는 시간에 무관한 \(H_0\) 와 \(H_1\) 의 합으로 이루어져 있고, \(H_0\) 의 크기에 비하여 \(H_1\) 의 크기는 매우 작다. Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 에 대한 eigenvalue, eigenvector들을 완전히 알고 있다. Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 의 eigenvalue들은 non-degenerate이다.이번 페이지에서는 \(H_0\) 의 eigenvalue들이 degenerate되어 있는 경우 perturbation theory를 살펴본다. #Assumption6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Indepe.. 2020. 10. 29. [양자역학] 6.2-① Example: 약한 전기장에 있는 조화진동자 Harmonic Oscillator in Weak Electric Field 1차원 조화진동자 potential에 있는 전자를 생각해보자.\[ H_0 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 \]이 시스템에 약한 전기장 \(\mathcal{E}\) 를 작용하면, 추가로 다음과 같은 potential이 작용하게 된다.\[ H_1 = e\mathcal{E}X \]따라서 이 시스템의 전체 Hamiltonian은\[ H = H_0 + H_1 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 + e\mathcal{E}X \]가 된다. 이 Hamiltonian의 정확한 eigenvalue를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 \(H\) 정확한 eigenvalue를 구하고, 또 perturbation theory를 적용해본 후 .. 2020. 9. 22. [양자역학] 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory 만약 관심있는 물리적 시스템의 Hamiltonian이\[ H = H_0 + H_1 \]이고, \(H_1\) 의 크기가 \(H_0\) 의 크기에 비해서 상대적으로 매우 작은 경우, 이 시스템은 \(H_0\) 에 의하여 거의 결정되고 \(H_1\) 때문에 조금 벗어날 것이라고 생각할 수 있다. 이러한 방식으로 접근하는 근사법을 perturbation theory(섭동론)라고 한다. 이번 페이지에서는 시간에 무관한 perturbation theory를 살펴본다. #Assumption먼저, perturbation theory를 전개하기 위해 필요한 가정들과 앞으로 사용할 용어에 대하여 살펴보자. 물리적 시스템의 Hamiltonian \(H\) 는 시간에 무관한 \(H_0\) 와 \(H_1\) 의 합으로 이루어져.. 2020. 9. 22. [양자역학] 6.1 변분법 The Variational Method 양자역학의 기본 가정에 의하면, 물리적 시스템의 에너지를 측정하면 Hamiltonian 연산자 \(H\) 의 eigenvalue만 측정된다. Eigenvalue를 \(E\), 이 때의 eigenvector를 \(|\phi_E \rangle\) 이라고 하면, 이 가정은 다음 식으로 표현된다.\[ \begin{equation} H ~ |\phi_E \rangle = E ~ |\phi_E \rangle \end{equation} \label{Heigen} \]2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①, 2.2 자유 입자 A Free Particle ①, 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator, 4.6 수소 원자 The Hydrogen Atom에서 몇가지 시스템에서 에너지의 측정.. 2020. 9. 20. 이전 1 2 3 4 ··· 9 다음