[양자역학] 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory

만약 관심있는 물리적 시스템의 Hamiltonian이

\[ H = H_0 + H_1 \]

이고, \(H_1\) 의 크기가 \(H_0\) 의 크기에 비해서 상대적으로 매우 작은 경우, 이 시스템은 \(H_0\) 에 의하여 거의 결정되고 \(H_1\) 때문에 조금 벗어날 것이라고 생각할 수 있다. 이러한 방식으로 접근하는 근사법을 perturbation theory(섭동론)라고 한다. 이번 페이지에서는 시간에 무관한 perturbation theory를 살펴본다.

#Assumption

먼저, perturbation theory를 전개하기 위해 필요한 가정들과 앞으로 사용할 용어에 대하여 살펴보자.

1. 물리적 시스템의 Hamiltonian \(H\) 는 시간에 무관한^[각주:1] \(H_0\) 와 \(H_1\) 의 합으로 이루어져 있고, \(H_0\) 의 크기에 비하여 \(H_1\) 의 크기는 매우 작다.

   \[ H = H_0 + H_1 \]

   이 때, \(H_0\) 를 unperturbed Hamiltonian, \(H_1\) 을 perturbing Hamiltonian(또는 perturbation) 이라고 부른다. 보통 크기의 스케일을 나타내는 매우 작은 값 \(\lambda\) 를 도입하여, 위 식 대신

   \[ \begin{equation} H = H_0 + \lambda H_1 \end{equation} \label{perturbedH} \]

   로 쓴다.
   
   

2. Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 에 대한 eigenvalue, eigenvector들을 완전히 알고 있다. \(H_0\) 의 n번째 eigenvalue를 \(E_n ^{(0)}\), eigenvector를 \(|n^{(0)}\rangle\) 로 표현하자. 즉,

   \[ \begin{equation} H_0 ~|n^{(0)}\rangle = E_n ^{(0)} ~|n^{(0)}\rangle \end{equation} \label{unperturbedHeigen} \]

   를 만족하는 eigenvalue들의 집합 \(\{ E_1 ^{(0)}, E_2 ^{(0)}, \cdots \}\) 과 eigenvector들의 집합 \(\{ ~|1^{(0)}\rangle~,~|2^{(0)}\rangle~,~\cdots~\}\) 를 완벽히 구할 수 있다. 이 때, eigenvector들은 normalized되어 있다고 가정한다.

   \[ \begin{equation} \langle n^{(0)} | m^{(0)} \rangle = \delta_{nm} \end{equation} \label{normal} \]

3. Unperturbed Hamiltonian \(H_0\) 의 eigenvalue들은 non-degenerated이다.^[각주:2] 즉, \(n \ne m\) 이면,
   \[ \begin{equation} E_n ^{(0)} \ne E_m ^{(0)} \end{equation} \label{nondegen} \]
   

정리하면, perturbation theory는 unperturbed Hamiltonian의 해를 완전히 알고 있을 때, 아주 작은 perturbing Hamiltonian이 추가로 작용하면 해가 어떻게 변하는지를 설명하는 이론이다.

#Perturbation Theory

우리가 구하고자 하는 문제는 전체 Hamiltonian \(H\) 에 대하여 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 것이다.

\[ \begin{equation} H ~|n\rangle = (H_0 + \lambda H_1) ~|n\rangle = E_n ~|n\rangle \end{equation} \label{problem} \]

이 때, \(H_1\) 의 크기가 매우 작기 때문에, unperturbed Hamiltonian의 해 \(\{ E_1 ^{(0)}, E_2 ^{(0)}, \cdots \}\) 과 \(\{ ~|1^{(0)}\rangle~,~|2^{(0)}\rangle~,~\cdots~\}\) 에서 크게 달라지지 않을 것이다. 따라서 식 \(\eqref{problem}\)의 n번째 eigenvalue와 eigenvector를 다음과 같이 \(\lambda\) 에 대한 무한 급수로 표현할 수 있을 것이다.

\[ \begin{equation} E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n ^{(1)} + \lambda^2 E_n ^{(2)} + \cdots \end{equation} \label{Epower} \]

\[ \begin{equation} |n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \lambda ~|n^{(1)}\rangle + \lambda^2 ~|n^{(2)}\rangle + \cdots \end{equation} \label{vecpower} \]

\(\lambda\) 가 작은 값이기 때문에 고차항으로 갈수록 변화는 줄어들지만, 실제 eigenvalue와 eigenvector에 가까워 진다고 할 수 있다. 이 식들을 식 \(\eqref{problem}\)에 대입하면,

\[ \begin{multline*} (H_0 + \lambda H_1)  (~|n^{(0)}\rangle + \lambda ~|n^{(1)}\rangle + \lambda^2 ~|n^{(2)}\rangle + \cdots ) \\ = (E_n^{(0)} + \lambda E_n ^{(1)} + \lambda^2 E_n ^{(2)} + \cdots) (~|n^{(0)}\rangle + \lambda ~|n^{(1)}\rangle + \lambda^2 ~|n^{(2)}\rangle + \cdots ) \end{multline*} \]

정리하면,

\[ \begin{multline*} H_0~|n^{(0)}\rangle + \lambda \left(H_0 ~|n^{(1)}\rangle + H_1 ~|n^{(0)}\rangle \right) + \lambda^2 \left(H_0 ~|n^{(2)}\rangle + H_1 ~|n^{(1)}\rangle \right) + \cdots \\ = E_n^{(0)} ~| n^{(0)}\rangle + \lambda \left( E_n^{(0)} ~| n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)} ~| n^{(0)}\rangle \right) + \lambda^2 \left( E_n^{(0)} ~| n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} ~| n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)} ~| n^{(0)}\rangle \right) + \cdots \end{multline*} \]

위 식이 임의의 \(\lambda\) 에 대하여 성립하기 위해서는

\[ \begin{equation} H_0 ~|n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} ~|n^{(0)}\rangle \end{equation} \label{c1} \]

\[ \begin{equation} H_0 ~|n^{(1)}\rangle ~+~ H_1 ~|n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} ~|n^{(1)}\rangle ~+~ E_n^{(1)} ~|n^{(0)}\rangle \end{equation} \label{c2} \]

\[ \begin{equation} H_0 ~|n^{(2)}\rangle ~+~ H_1 ~|n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} ~|n^{(2)}\rangle ~+~ E_n^{(1)} ~|n^{(1)}\rangle ~+~ E_n^{(2)} ~|n^{(0)}\rangle \end{equation} \label{c3} \]

을 만족해야 한다. 식 \(\eqref{c1}\)는 Assupmtion ②에서 이미 가정된 내용이다. 식 \(\eqref{c2}\)부터 차례대로 1차 perturbation 항, 2차 perturbation 항을 구할 수 있는 식이 된다.

#The First-Order Change

식 \(\eqref{c2}\)를 unperturbed eigenvector \(|n^{(0)}\rangle\) 과 내적하면,

\[ \langle n^{(0)} | H_0 |n^{(1)}\rangle ~+~ \langle n^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \langle n^{(0)} | n^{(1)} \rangle ~+~ E_n^{(1)} \langle n^{(0)} | n^{(0)} \rangle \]

이 때, Assumption ②를 이용하면,

\[ \langle n^{(0)} | H_0 |n^{(1)}\rangle = E_n ^{(0)} \langle n^{(0)} |n^{(1)}\rangle \]

\[ \langle n^{(0)} | n^{(0)} \rangle = 1 \]

따라서 정리하면 다음을 얻는다.

THEOREM            The First-Order Change in Energy of n-th state

\[ \begin{equation} E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle \end{equation} \label{1oe} \]

또한, 식 \(\eqref{c2}\)를 unperturbed eigenvector \(|m^{(0)}\rangle\) 과 내적하면, (단, \(n\ne m\) )

\[ \langle m^{(0)} | H_0 |n^{(1)}\rangle ~+~ \langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \langle m^{(0)} | n^{(1)} \rangle ~+~ E_n^{(1)} \langle m^{(0)} | n^{(0)} \rangle \]

이 때, Assumption ②를 이용하면,

\[ \langle m^{(0)} | H_0 |n^{(1)}\rangle = E_m ^{(0)} \langle m^{(0)} |n^{(1)}\rangle \]

\[ \langle m^{(0)} | n^{(0)} \rangle = 0 \]

따라서 정리하면,

\[ \langle m^{(0)} | n^{(1)} \rangle = \frac{\langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} \]

벡터 \(|n^{(1)}\rangle\) 은

\[ |n^{(1)} \rangle = \sum _{m} \langle m^{(0)} | n^{(1)} \rangle ~|m^{(0)}\rangle \]

로 나타낼 수 있으므로 다음을 얻는다.

THEOREM            The First-Order Change in Eigenvector of n-th state

\[ \begin{equation} |n^{(1)} \rangle = \sum _{m\ne n} \frac{\langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} ~|m^{(0)}\rangle \end{equation} \label{1ov} \]

따라서 \(\lambda\) 의 1차항까지만 고려한다면, 시간에 무관한 perturbation theory에 의한 n번째 state의 energy값은

\[ E_n = E_n ^{(0)} + \lambda\langle n^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle \]

그리고 이 때의 state vector는

\[ |n \rangle = |n^{(0)} \rangle + \lambda\sum _{m\ne n} \frac{\langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} ~|m^{(0)}\rangle \]

가 된다.

Comment

식 \(\eqref{1ov}\)는 \(\langle n^{(0)} | n^{(1)} \rangle =0\) 을 가정하고 있다. 만약 \(\langle n^{(0)} | n^{(1)} \rangle \) 부분을 \(| n^{(1)} _\parallel\rangle\), 식 \(\eqref{1ov}\)을 \(|n^{(1)} _\perp\rangle\) 라고 하면,

\[ |n \rangle ~=~ |n^{(0)}\rangle ~+~ | n^{(1)} _\perp\rangle ~+~ | n^{(1)} _\parallel\rangle \]

이 되므로, normalization 조건

\[ 1=\langle n | n \rangle = ( ~\langle n^{(0)} | ~+ ~\langle n^{(1)} _\perp | ~+ ~\langle n^{(0)} _\parallel | ~)( ~|n^{(0)}\rangle ~+~ | n^{(1)} _\perp\rangle ~+~ | n^{(1)} _\parallel\rangle ~) \]

로부터

\[ 1= ~\langle n^{(0)} | n^{(0)} \rangle~+~\langle n^{(0)} | n^{(1)} _\perp \rangle~+~\langle n^{(1)} _\perp | n^{(0)} \rangle ~+~ \text{higher oreder} \]

따라서

\[ \langle n^{(0)} | n^{(1)} _\perp \rangle = i \eta ~~~~,~~ \eta \in \mathbb{R} \] 

이 때, \(\eta \ll 1\) 이므로, \(1+i\eta \approx e^{i\eta}\) 이다. 이를 \(|n\rangle\) 에 대입하면,

\[ |n\rangle = e^{i\eta}~|n^{(0)} \rangle  ~+ ~|n^{(1)} _\parallel\rangle \]

따라서, Assumption ②에서 unperturbed eigenvector \(|n^{(0)}\rangle\) 을 잡을 때, 적당한 phase를 선택함으로써, \(\langle n^{(0)} | n^{(1)} \rangle =0\) 으로 만들어 줄 수 있다. 그러므로 이후에는 \(\langle n^{(0)} | n^{(1)} \rangle =0\) 을 가정한다.

#The Second-Order Change

\(\lambda\) 의 2차항에 대한 정보는 식 \(\eqref{c3}\)에 있다. 이 식을 unperturbed eigenvector \(|n^{(0)}\rangle\) 과 내적하면,

\[ \langle n^{(0)}  | H_0 |n^{(2)}\rangle ~+~ \langle n^{(0)}  |H_1 |n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} \langle n^{(0)} |n^{(2)}\rangle ~+~ E_n^{(1)} \langle n^{(0)} | n^{(1)}\rangle ~+~ E_n^{(2)} \langle n^{(0)}|n^{(0)}\rangle \]

여기에 Assumption ②와 식 \(\eqref{1oe}\), \(\eqref{1ov}\)를 대입하여 정리하면, 다음을 얻는다.

THEOREM            The Second-Order Change in Energy of n-th state

\[ \begin{equation} E_n ^{(2)} = \langle n^{(0)} | H_1 | n^{(1)} \rangle = \sum _{m \ne n} \frac{ \left| \langle n^{(0)}  |H_1 |m^{(0)}\rangle \right| ^2 }{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} \end{equation} \]

2차항의 eigenvector 변화를 구하기 위해서, 식 \(\eqref{c3}\)에 unperturbed eigenvector \(|m^{(0)}\rangle\) 을 내적하면,

\[ \langle m^{(0)}  | H_0 |n^{(2)}\rangle ~+~ \langle m^{(0)}  |H_1 |n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} \langle m^{(0)} |n^{(2)}\rangle ~+~ E_n^{(1)} \langle m^{(0)} | n^{(1)}\rangle ~+~ E_n^{(2)} \langle m^{(0)}|n^{(0)}\rangle \]

여기에 Assumption ②를 이용해 정리하면,

\[ \langle m^{(0)} | n^{(2)} \rangle = \frac{\langle m^{(0)} | H_1 | n^{(1)} \rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} - E_n ^{(1)} \frac{\langle m^{(0)} | n^{(1)} \rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} \]

다시 식 \(\eqref{1oe}\)와 \(\eqref{1ov}\)를 대입하면,

\[ \langle m^{(0)} | n^{(2)} \rangle = \sum_{s\ne n} \left\{ \frac{\langle m^{(0)} | H_1 | s^{(0)} \rangle \langle s^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle}{(E_n ^{(0)} - E_m^{(0)})(E_n ^{(0)} - E_s ^{(0)})} \right\} - \frac{\langle n^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} \]

따라서 2차항의 eigenvector 변화는 다음과 같다.

THEOREM            The Second-Order Change in Eigenvector of n-th state

 \[ | n^{(2)} \rangle = \sum _{m \ne n} \left( \sum_{s\ne n} \left\{ \frac{\langle m^{(0)} | H_1 | s^{(0)} \rangle \langle s^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle}{(E_n ^{(0)} - E_m^{(0)})(E_n ^{(0)} - E_s ^{(0)})} \right\} - \langle n^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle \frac{\langle m^{(0)}|H_1|n^{(0)}\rangle}{E_n ^{(0)} - E_m ^{(0)}} \right) | m^{(0)} \rangle \]

#Conditions to Converge

원래의 Hamiltonian으로 돌아가기 위하여, \(\lambda=1\) 을 대입하면, 식 \(\eqref{Epower}\)와 \(\eqref{vecpower}\)는

\[ \begin{equation} E_n = E_n^{(0)} + E_n ^{(1)} + E_n ^{(2)} + \cdots \end{equation} \]

\[ \begin{equation} |n\rangle = |n^{(0)}\rangle + ~|n^{(1)}\rangle + ~|n^{(2)}\rangle + \cdots \end{equation} \]

가 된다. 위의 논의가 의미있으려면 이 식들이 발산하지 않고 수렴해야 한다. 1차 에너지 변화와 eigenvector의 변화, 2차 에너지 변화와 eigenvector의 변화를 살펴보면, 임의의 \(m\) , \(s\) 에 대하여

\[ \left| \frac{\langle m^{(0)} | H_1 | s ^{(0)} \rangle}{E_m ^{(0)} - E_s ^{(0)}} \right| \ll 1 \]

인 경우 수렴하게 된다. 따라서 위의 조건이 성립하는 경우, perturbation theory가 성립한다고 할 수 있다.

1. perturbing Hamiltonian이 시간의 함수인 경우는 --timedependentperturbation-- 에서 다룬다. [본문으로]
2. unperturbed eigenvalue가 degenerated인 경우는 --2-- 에서 다룬다. [본문으로]