동일한 입자들의 구별 불가능성은 양자역학이 고전역학과 구별되는 아주 큰 특징 중 하나이다. 이번 페이지는 동일한 입자의 구별 불가능성에 대하여 알아보고, 보존과 페르미온에 대하여 살펴본다.
#Indistinguishable Identical Particles
양자역학과 고전역학을 비교하기 위하여 다음과 같은 상황을 생각해보자.
1번 투수와 2번 투수가 완전히 같은 질량, 같은 크기, 같은 표면의 공을 각각 4번 포수, 3번 포수를 향해 던질 때 가운데서 충돌이 일어난 후 포수가 공을 잡는 상황이다.
이제 이 상황을 고전역학적으로 분석을 해보자. 고전역학에서는 모든 입자는 항상 구별이 가능하다. 즉 충돌이 일어나기 전, 충돌 상황, 충돌이 일어난 후 모든 시간의 공의 위치와 운동량을 추적하면 충돌 후 3번 포수를 향해 가는 공이 1번 투수가 던진 공인지, 아니면 2번 투수가 던진 공인지 확인할 수 있다. 따라서 고전적으로 일어날 수 있는 사건은 다음 2가지 경우가 된다. 1
사건 1: 3번 포수가 1번 공을 잡고, 4번 포수가 2번 공을 잡는다.
사건 2: 3번 포수가 2번 공을 잡고, 4번 포수가 1번 공을 잡는다.
이 두 사건은 고전역학적으로 완전히 다른 사건이 된다. 이러한 관점은 입자의 수준의 크기에서도 성립한다. 즉, 동일한 종류의 입자라고 하더라도 고전역학에서는 입자의 위치와 운동량을 추적하여 항상 입자를 구별할 수 있다.
그러나 양자역학에서는 동일한 종류의 입자는 구별할 수 없다고 가정한다. 위의 상황에서 충돌 후 3번 포수를 향해 가는 공이 1번 투수가 던진 공인지, 아니면 2번 투수가 던진 공인지 확인할 수 없다는 것이다. 구별 불가능하다는 것은 측정 장비가 부정확해서 나타나는 현상을 이야기하는 것이 아니다. 아무리 정밀한 측정 장비를 가져오더라도 동일한 입자는 근본적으로 구별이 불가능하다는 것이다.
왜 양자역학에서는 고전역학과는 다르게 동일한 입자를 구별할 수 없을까? 먼저 양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치와 운동량이 정확히 정의되지 않아 추적할 수 없다. 게다가 입자의 파동함수는 중첩되어버리기 때문에, 어디까지가 1번 입자의 파동함수이고 어디까지가 2번 입자의 파동함수인지 구별할 수 없다. 종류가 다른 입자의 경우는 중첩되더라도 동일한 해밀토니안에 의해 다르게 반응하지만, 동일한 입자의 경우는 완전히 같은 방식으로 반응하기 때문에 구별할 수 없다.
#Exchange Operator
그러면 양자역학에서 동일한 입자를 어떻게 다루어야 하는지 알아보기 위하여 먼저 같은 종류의 입자 2개가 있는 시스템을 생각해보자. 또한 입자 1개는
반대로 1번 입자가
로 표현할 수 있다. 그러나 위에서 언급했듯이 양자역학에서는 위의 두가지 경우를 구별할 수 없고, 다만 입자 1개는
이제 다음과 같이 1번 입자와 2번 입자를 바꾸는 연산자를 생각해보자.
식
이 때 1번 입자와 2번 입자는 구별되지 않으므로 exchange operator를 작용하더라도 모든 측정에 대하여 아무런 영향이 없어야 한다. 따라서
즉, 양자역학에서 동일한 입자가 여러개 있는 시스템은 반드시 exchange operator의 eigenvector가 되어야 한다. 이 때 eigenvalue
이므로 eigenvalue
임을 얻는다.
#Boson
따라서 동일한 입자의 상태는
이러한 state vector를 symmetric하다고 부른다. N개의 동일한 입자가,
DEFINITION Symmetrization
여기에서 사용된 permutation은 1부터 N까지의 숫자를 섞는 함수이다. 예를 들어,
와 같은 함수이다.
Photon, pion과 같은 입자들이 이렇게 symmetric한 state vector를 가지게 된다. 이러한 입자들을 묶어서 다음과 같이 정의한다.
DEFINITION Boson
동일한 입자의 상태가 exchange operator에 대하여 symmetric하게 되는 입자를 boson(보존)이라고 부른다.
#Fermion
이러한 state vector를 antisymmetric하다고 부른다. N개의 동일한 입자가,
DEFINITION Alternation
위 정의에서 사용된
의 경우 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸는 교환으로
의 경우에는 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸고, 2와 4를 바꿔서
책에 따라서 alternation을 다음과 같이 행렬식으로 표현하는 경우도 있다.
THEOREM Slater Determinant
전자, 중성자, 양성자와 같은 입자들이 이렇게 antisymmetric한 state vector를 가지게 된다. 이러한 입자들을 묶어서 다음과 같이 정의한다.
DEFINITION Fermion
동일한 입자의 상태가 exchange operator에 대하여 antisymmetric하게 되는 입자를 fermion(페르미온)이라고 부른다.
Fermion의 가장 큰 특징 중 하나는 동일한 2개의 입자가 동시에 같은 상태가 될 수 없다는 것이다. 예를 들어 입자 2개가 동시에
즉, 입자가 없다는 결론을 얻게 된다. 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
THEOREM Pauli Exclusion Principle
동일한 종류의 fermion 입자들은 동시에 같은 상태가 될 수 없다.
Boson의 경우 이러한 제약이 없다. Fermion과 boson의 이러한 차이는 많은 수의 입자를 다룰 때 중요하게 작용한다. 이에 대한 자세한 내용은 [통계역학] 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas에서 살펴본다.
'Physics > 양자역학' 카테고리의 다른 글
[양자역학] 6.2 시간에 무관한 섭동론 ① Time-Independent Perturbation Theory (1) | 2020.09.22 |
---|---|
[양자역학] 6.1 변분법 The Variational Method (0) | 2020.09.20 |
[양자역학] 5.5 각운동량 덧셈 Addition of Angular Momentums (0) | 2020.09.18 |
[양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System (0) | 2020.09.16 |
[양자역학] 5.2 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ③ (1) | 2020.08.15 |
[양자역학] 5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System (0) | 2020.07.26 |