[양자역학] 5.4 보존, 페르미온 Bosons, Fermions

동일한 입자들의 구별 불가능성은 양자역학이 고전역학과 구별되는 아주 큰 특징 중 하나이다. 이번 페이지는 동일한 입자의 구별 불가능성에 대하여 알아보고, 보존과 페르미온에 대하여 살펴본다.

#Indistinguishable Identical Particles

양자역학과 고전역학을 비교하기 위하여 다음과 같은 상황을 생각해보자.

1번 투수와 2번 투수가 완전히 같은 질량, 같은 크기, 같은 표면의 공을 각각 4번 포수, 3번 포수를 향해 던질 때 가운데서 충돌이 일어난 후 포수가 공을 잡는 상황이다.

이제 이 상황을 고전역학적으로 분석을 해보자. 고전역학에서는 모든 입자는 항상 구별이 가능하다. 즉 충돌이 일어나기 전, 충돌 상황, 충돌이 일어난 후 모든 시간의 공의 위치와 운동량을 추적하면 충돌 후 3번 포수를 향해 가는 공이 1번 투수가 던진 공인지, 아니면 2번 투수가 던진 공인지 확인할 수 있다.^[각주:1] 따라서 고전적으로 일어날 수 있는 사건은 다음 2가지 경우가 된다.

     사건 1: 3번 포수가 1번 공을 잡고, 4번 포수가 2번 공을 잡는다.

     사건 2: 3번 포수가 2번 공을 잡고, 4번 포수가 1번 공을 잡는다.

이 두 사건은 고전역학적으로 완전히 다른 사건이 된다. 이러한 관점은 입자의 수준의 크기에서도 성립한다. 즉, 동일한 종류의 입자라고 하더라도 고전역학에서는 입자의 위치와 운동량을 추적하여 항상 입자를 구별할 수 있다.

그러나 양자역학에서는 동일한 종류의 입자는 구별할 수 없다고 가정한다. 위의 상황에서 충돌 후 3번 포수를 향해 가는 공이 1번 투수가 던진 공인지, 아니면 2번 투수가 던진 공인지 확인할 수 없다는 것이다. 구별 불가능하다는 것은 측정 장비가 부정확해서 나타나는 현상을 이야기하는 것이 아니다. 아무리 정밀한 측정 장비를 가져오더라도 동일한 입자는 근본적으로 구별이 불가능하다는 것이다.

왜 양자역학에서는 고전역학과는 다르게 동일한 입자를 구별할 수 없을까? 먼저 양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치와 운동량이 정확히 정의되지 않아 추적할 수 없다. 게다가 입자의 파동함수는 중첩되어버리기 때문에, 어디까지가 1번 입자의 파동함수이고 어디까지가 2번 입자의 파동함수인지 구별할 수 없다. 종류가 다른 입자의 경우는 중첩되더라도 동일한 해밀토니안에 의해 다르게 반응하지만, 동일한 입자의 경우는 완전히 같은 방식으로 반응하기 때문에 구별할 수 없다.

#Exchange Operator

그러면 양자역학에서 동일한 입자를 어떻게 다루어야 하는지 알아보기 위하여 먼저 같은 종류의 입자 2개가 있는 시스템을 생각해보자. 또한 입자 1개는 \(|\psi_\alpha\rangle\) 상태에 있고, 다른 입자는 \(|\psi_\beta\rangle\) 상태에 있다고 하자. 예를 들어, 1번 입자가 \(\alpha\) 상태에 있고, 2번 입자가 \(\beta\) 상태에 있는 경우에는

\[ |\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\beta\rangle \]

반대로 1번 입자가 \(\beta\) 상태에, 2번 입자가 \(\alpha\) 상태에 있는 경우에는

\[ |\psi_\beta\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle \]

로 표현할 수 있다. 그러나 위에서 언급했듯이 양자역학에서는 위의 두가지 경우를 구별할 수 없고, 다만 입자 1개는 \(\alpha\) , 다른 한개는 \(\beta\) 의 상태에 있다는 것만 확인할 수 있다. 따라서 전체 시스템의 상태는 위 두 가지 경우가 중첩되어 있는 상태라고 할 수 있다.

\[ \begin{equation} |\psi(1,2)\rangle = c ~|\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\beta\rangle + d ~|\psi_\beta\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle \end{equation} \label{state1} \]

이제 다음과 같이 1번 입자와 2번 입자를 바꾸는 연산자를 생각해보자.

DEFINITION            Exchange Operator^[각주:2]

\[P|\psi(1,2)\rangle = |\psi(2,1)\rangle\]

식 \(\eqref{state1}\)의 경우에 exchange operator는 다음과 같이 작용한다.

\[ \begin{equation} P|\psi(1,2)\rangle = c ~|\psi_\beta\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle + d ~|\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\beta\rangle \end{equation} \label{state2} \]

이 때 1번 입자와 2번 입자는 구별되지 않으므로 exchange operator를 작용하더라도 모든 측정에 대하여 아무런 영향이 없어야 한다. 따라서 \(P|\psi(1,2)\rangle\) 은 원래 상태 \(|\psi(1,2)\rangle\) 의 배수가 되어야 한다.^[각주:3] 따라서

\[ P|\psi(1,2)\rangle = p |\psi(1,2)\rangle \]

즉, 양자역학에서 동일한 입자가 여러개 있는 시스템은 반드시 exchange operator의 eigenvector가 되어야 한다. 이 때 eigenvalue \(p\) 를 구하기 위해 식 \(\eqref{state1}\), \(\eqref{state2}\)를 이용하면,

\[ pc = d \]

\[ pd = c \]

이므로 eigenvalue

\[ p = \pm 1\]

임을 얻는다.

#Boson

따라서 동일한 입자의 상태는 \(p=1\) 인 경우와 \(p=-1\) 인 경우, 이렇게 2가지로 구분된다. 먼저 \(p=1\) 인 경우를 살펴보자. \(c=d\) 이어야 하므로,^[각주:4]

\[ |\psi(1,2)\rangle = |\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\beta\rangle + ~|\psi_\beta\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle \]

이러한 state vector를 symmetric하다고 부른다. N개의 동일한 입자가, \(|\psi_1\rangle\) , \(|\psi_2\rangle\) , ..., \(|\psi_N\rangle\) 의 상태에 1개씩 있는 경우 symmetric한 state vector는 다음과 같은 과정을 통해 얻을 수 있다.

DEFINITION            Symmetrization

\[ |\psi_S(1,2,...,N)\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\sigma: \text{permutation of }N} |\psi_{\sigma1}\rangle \otimes |\psi_{\sigma2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi_{\sigma N}\rangle \]

여기에서 사용된 permutation은 1부터 N까지의 숫자를 섞는 함수이다. 예를 들어,

\[ \sigma(1) = 3 ~,~ \sigma(2) = 1 \]

\[ \sigma(3) = 6 ~,~ \sigma(4) = 2 \]

\[ \sigma(5) = 5 ~,~ \sigma(6) = 4 \]

와 같은 함수이다. \(\sum_{\sigma: \text{permutation of }N}\) 은 이러한 모든 순서 섞기에 대하여 더한다는 뜻이다. 예를 들어 3개의 동일한 입자의 경우 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ \begin{multline*}|\psi(1,2,3) \rangle = \frac{1}{\sqrt{3!}} \left( ~|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle + ~|\psi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle + ~|\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle \right. \\ \left. + ~|\psi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle + ~|\psi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle + ~|\psi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle ~\right) \end{multline*} \]

Photon, pion과 같은 입자들이 이렇게 symmetric한 state vector를 가지게 된다. 이러한 입자들을 묶어서 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Boson

동일한 입자의 상태가 exchange operator에 대하여 symmetric하게 되는 입자를 boson(보존)이라고 부른다.

#Fermion

이제 \(p=-1\) 인 경우를 살펴보자. \(c=-d\) 이어야 하므로,^[각주:5]

\[ |\psi(1,2)\rangle = |\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\beta\rangle - ~|\psi_\beta\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle \]

이러한 state vector를 antisymmetric하다고 부른다. N개의 동일한 입자가, \(|\psi_1\rangle\) , \(|\psi_2\rangle\) , ..., \(|\psi_N\rangle\) 의 상태에 1개씩 있는 경우 antisymmetric한 state vector는 다음과 같은 과정을 통해 얻을 수 있다.

DEFINITION            Alternation

\[ |\psi_A(1,2,...,N)\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\sigma: \text{permutation of }N} (\mathrm{sgn}~\sigma)~|\psi_{\sigma1}\rangle \otimes |\psi_{\sigma2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi_{\sigma N}\rangle \]

위 정의에서 사용된 \(\mathrm{sgn}~\sigma\) 는 permutation의 sign으로 permutation 함수를 홀수 개수의 숫자 교환으로 얻을 수 있는 경우 -1, 짝수 개수의 숫자 교환으로 얻을 수 있는 경우 1로 정의한다. 예를 들어,

\[ \sigma(1)=1 ~,~\sigma(2)=3 ~,~\sigma(3)=2 ~,~\sigma(4)=4 \]

의 경우 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸는 교환으로 \(\sigma\) 를 얻을 수 있으므로 sign은 -1이 된다. 만약

\[ \tau(1) = 1 ~,~ \tau(2) = 3 ~,~ \tau(3) = 4 ~,~ \tau(4) = 2 \]

의 경우에는 1,2,3,4에서 2와 3을 바꾸고, 2와 4를 바꿔서 \(\tau\) 를 얻을 수 있으므로 sign은 1이다. 3개의 동일한 입자의 경우 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ \begin{multline*}|\psi(1,2,3) \rangle = \frac{1}{\sqrt{3!}} \left( ~|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle - ~|\psi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle - ~|\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle \otimes |\psi_3\rangle \right. \\ \left. + ~|\psi_2\rangle \otimes |\psi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle + ~|\psi_3\rangle \otimes |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle - ~|\psi_3\rangle \otimes |\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle ~\right) \end{multline*} \]

책에 따라서 alternation을 다음과 같이 행렬식으로 표현하는 경우도 있다.

THEOREM            Slater Determinant

\[ |\psi_A(1,2,...,N)\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{array}{cccc} \psi_1(1) & \psi_2(1) & \cdots & \psi_N(1) \\ \psi_1(2) & \psi_2(2) & \cdots & \psi_N(2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \psi_1(N) & \psi_2(N) & \cdots & \psi_N(N) \end{array} \right| \]

전자, 중성자, 양성자와 같은 입자들이 이렇게 antisymmetric한 state vector를 가지게 된다. 이러한 입자들을 묶어서 다음과 같이 정의한다.

DEFINITION            Fermion

동일한 입자의 상태가 exchange operator에 대하여 antisymmetric하게 되는 입자를 fermion(페르미온)이라고 부른다.

Fermion의 가장 큰 특징 중 하나는 동일한 2개의 입자가 동시에 같은 상태가 될 수 없다는 것이다. 예를 들어 입자 2개가 동시에 \(\alpha\) 상태에 있다고 하면, alternation을 통해

\[ |\psi(1,2)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( ~|\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle~ - ~|\psi_\alpha\rangle \otimes |\psi_\alpha\rangle~ \right) = 0 \]

즉, 입자가 없다는 결론을 얻게 된다. 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

THEOREM            Pauli Exclusion Principle

동일한 종류의 fermion 입자들은 동시에 같은 상태가 될 수 없다.

Boson의 경우 이러한 제약이 없다. Fermion과 boson의 이러한 차이는 많은 수의 입자를 다룰 때 중요하게 작용한다. 이에 대한 자세한 내용은 [통계역학] 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas에서 살펴본다.

1. 충돌이 순식간에 일어나 사람이 판별하기 어렵다 하더라도, 정밀한 도구를 사용하면 구별할 수 있을 것이다. [본문으로]
2. 운동량 연산자와 사용하는 문자와 같으니 혼동하지 않도록 하자. [본문으로]
3. 동등한 상태(모든 측정에 대하여 동일한 결과가 나오는 상태)를 표현하는 두 개의 vector는 서로 상수배 관계에 있다는 것은 1.4 측정, 확률 Measures, Probabilities 참고. [본문으로]
4. c=1 로 선택 [본문으로]
5. c=1 로 선택 [본문으로]