[양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System

2입자 시스템의 포텐셜이 Coulomb potential과 같이 입자 사이의 거리에만 영향을 받는 경우에는 center of mass 좌표 체계를 이용하여 독립적인 2개의 좌표로 표현할 수 있다.

#Center of Mass

고전적 Hamiltonian이

\[ H = \frac{p_1}{2m_1} + \frac{p_2}{2m_2} + V(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \]

인 경우 다음과 같이 새로운 좌표를 구성하자.

\[ \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1+m_2} \]

\[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 \]

\(\mathbf{R}\) 은 center of mass^[각주:1], \(\mathbf{r}\) 은 상대 좌표 벡터이다. 이 좌표들에 대한 canonical momentum을 각각 \(\mathbf{p}_{\mathrm{CM}}\) , \(\mathbf{p}_{\mathrm{relative}}\) 라고 하면, Hamiltonian은 다음과 같이 변형된다.^[각주:2]

\[ H = \frac{p_{\mathrm{CM}} ^2}{2M} + \frac{p_{\mathrm{relative}} ^2}{2\mu} + V(r) ~~~~~ \text{where } \left\{ \begin{array}{l} M = m_1 + m_2 \\ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \end{array} \right. \]

따라서 Hamiltonian을 다음과 같이 독립적인 2개의 좌표들에 대한 Hamiltonian의 합으로 표현할 수 있다.

\[ H_{\mathrm{CM}} = \frac{p_{\mathrm{CM}} ^2}{2M} \]

\[ H_{\mathrm{relative}} = \frac{p_{\mathrm{relative}} ^2}{2\mu} + V(r) \]

5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System에서 사용한 방법대로 전체 Hamiltonian \(H\) 에 대한 eigenvector는 \(H_{\mathrm{CM}}\) 과 \(H_{\mathrm{relative}}\) 의 eigenvector들로 만들 수 있다. \(H_{\mathrm{CM}}\) 의 eigenvalue equation은 2.2 자유 입자 A Free Particle ①와 동일하다.

\[ H_{\mathrm{CM}} ~|\mathbf{P}\rangle = \frac{P^2}{2M} ~|\mathbf{P}\rangle \]

만약 \(H_{\mathrm{relative}}\) 의 eigenvalue를 \(E_{\mathrm{relative}}\) , eigenvector를 \(|\psi_{\mathrm{relative}}\rangle\) 이라고 하면, \(H\) 의 eigenvalue, eigenvector는 다음과 같다.

\[ H ~\left(~|P\rangle \otimes |\psi_{\mathrm{relative}}\rangle ~\right) = E ~ \left(~|P\rangle \otimes |\psi_{\mathrm{relative}}\rangle ~\right) \]

\[ E = \frac{P^2}{2M} + E_{\mathrm{relative}} \]

1. --classical, centerofmass-- 참고. [본문으로]
2. --classical, centrifugal-- 참고. [본문으로]