[양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System

2입자 시스템의 포텐셜이 Coulomb potential과 같이 입자 사이의 거리에만 영향을 받는 경우에는 center of mass 좌표 체계를 이용하여 독립적인 2개의 좌표로 표현할 수 있다.

#Center of Mass

고전적 Hamiltonian이

$$H=\frac{p_1}{2m_1}+\frac{p_2}{2m_2}+V({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2)$$

인 경우 다음과 같이 새로운 좌표를 구성하자.

$$\mathbf{R}=\frac{m_1{\mathbf{r}}_1+m_2{\mathbf{r}}_2}{m_1+m_2}$$

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2$$

$\mathbf{R}$ 은 center of mass^[각주:1], $\mathbf{r}$ 은 상대 좌표 벡터이다. 이 좌표들에 대한 canonical momentum을 각각 ${\mathbf{p}}_{\mathrm{CM}}$ , ${\mathbf{p}}_{\mathrm{relative}}$ 라고 하면, Hamiltonian은 다음과 같이 변형된다.^[각주:2]

$$H=\frac{p_{\mathrm{CM}}^2}{2M}+\frac{p_{\mathrm{relative}}^2}{2\mu }+V(r)\text{where }\{\begin{array}{l}M=m_1+m_2\\ \frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\end{array}$$

따라서 Hamiltonian을 다음과 같이 독립적인 2개의 좌표들에 대한 Hamiltonian의 합으로 표현할 수 있다.

$$H_{\mathrm{CM}}=\frac{p_{\mathrm{CM}}^2}{2M}$$

$$H_{\mathrm{relative}}=\frac{p_{\mathrm{relative}}^2}{2\mu }+V(r)$$

5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System에서 사용한 방법대로 전체 Hamiltonian $H$ 에 대한 eigenvector는 $H_{\mathrm{CM}}$ 과 $H_{\mathrm{relative}}$ 의 eigenvector들로 만들 수 있다. $H_{\mathrm{CM}}$ 의 eigenvalue equation은 2.2 자유 입자 A Free Particle ①와 동일하다.

$$H_{\mathrm{CM}}|\mathbf{P}⟩=\frac{P^2}{2M}|\mathbf{P}⟩$$

만약 $H_{\mathrm{relative}}$ 의 eigenvalue를 $E_{\mathrm{relative}}$ , eigenvector를 $|{\psi }_{\mathrm{relative}}⟩$ 이라고 하면, $H$ 의 eigenvalue, eigenvector는 다음과 같다.

$$H(|P⟩\otimes |{\psi }_{\mathrm{relative}}⟩)=E(|P⟩\otimes |{\psi }_{\mathrm{relative}}⟩)$$

$$E=\frac{P^2}{2M}+E_{\mathrm{relative}}$$

1. --classical, centerofmass-- 참고. [본문으로]
2. --classical, centrifugal-- 참고. [본문으로]