[양자역학] 4.8 유니터리 연산자 Unitary Operators

지난 페이지에서는 spin과 spin의 행렬 표현을 살펴보았다. 특히, \(S_x\) 의 eigenvector와 \(S_z\) 의 eigenvector를 basis로 하였을 때 행렬 표현을 논의하였다. 그러나 \(S_x\) 의 eigenvector 역시 basis 역할을 할 수 있다. 이번 페이지에서는 basis를 변환했을 때 행렬 표현이 어떻게 바뀌는지 살펴보자.^[각주:1]

#Matrix Representations

먼저 \(S_z\)의 eigenvector \(|\uparrow\rangle\) , \(|\downarrow\rangle\) 를 basis로 하였을 때, \(S_x\), \(S_y\), \(S_z\) 는 다음과 같이 구했다.^[각주:2]

\[ \begin{gather*} [S_x]=\begin{bmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} & , & [S_y]=\begin{bmatrix} 0 & -i \frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} & , & [S_z]=\begin{bmatrix} \frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar}{2} \end{bmatrix} \end{gather*} \]

그리고 \(S_x\)의 eigenvector \(|\uparrow_x \rangle\) , \(|\downarrow_x \rangle\) 를 basis로 하였을 때, spin operator들은 다음과 같이 구할 수 있다.^{[각주:3] [각주:4]}

\[ \begin{gather*} [S_x]'=\begin{bmatrix} \frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar}{2} \end{bmatrix} & , & [S_y]'=\begin{bmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} & , & [S_z]'=\begin{bmatrix} 0 & -i \frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} \end{gather*} \]

#Change of Basis: Wavefunction Case ^[각주:5]

일반적인 wavefunction \(|f\rangle\) 이 \(|\uparrow\rangle\) , \(|\downarrow\rangle\) 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

\[ |f\rangle = a ~|\uparrow\rangle ~+~ b ~|\downarrow\rangle \]

이 wavefunction은 행렬 표현으로 다음과 같이 표현된다.

\[ [f] = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \]

또한 \(|\uparrow_x\rangle\) , \(|\downarrow_x\rangle\) 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

\[ |f\rangle = a' ~|\uparrow_x\rangle ~+~ b' ~|\downarrow_x\rangle \]

그러면 행렬 표현은 다음과 같이 표현된다.

\[ [f]' = \begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} \]

두 행렬 표현 \([f]\) 와 \([f]'\) 의 관계를 살펴보자. \(|\uparrow_x\rangle\) , \(|\downarrow_x\rangle\) 역시 wavefunction이므로 \(|\uparrow\rangle\) , \(|\downarrow\rangle\) 로 전개가 가능하다.

\[ \begin{align*} |\uparrow_x\rangle &= u_{11} ~|\uparrow\rangle ~+~ u_{21} ~|\downarrow\rangle \\ \\ |\downarrow_x\rangle &= u_{12} ~|\uparrow\rangle ~+~ u_{22} ~|\downarrow\rangle \end{align*} \]

이라고 하면, \(|f\rangle\) 이 \(|\uparrow_x\rangle\) , \(|\downarrow_x\rangle\) 로 전개되는 것은 다음과 같이 변형된다.

\[ \begin{align*} |f\rangle &= a' ~|\uparrow_x\rangle ~+~ b' ~|\downarrow_x\rangle \\ \\ &= a' (u_{11} ~|\uparrow\rangle ~+~ u_{21} ~|\downarrow\rangle ) ~+~ b' (u_{12} ~|\uparrow\rangle ~+~ u_{22} ~|\downarrow\rangle) \\ \\ &= (a' u_{11} + b' u_{12}) ~|\uparrow\rangle ~+~ (a'u_{21} + b'u_{22}) ~|\downarrow\rangle \end{align*}\]

이를 행렬로 표현하면

\[ [f] = \begin{bmatrix} a'u_{11}+b'u_{12} \\ a'u_{21} + b'u_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} [f]' \]

따라서 wavefunction의 행렬 표현을 변환하는 것은 다음 행렬과의 곱으로 변환된다.

\[ U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \]

\[ [f] = U[f]' \]

또한 반대 변환은 역행렬을 통해 변환된다.

\[ [f]' = U^{-1}[f] \]

이를 일반화하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

THEOREM            Change of Basis (Wavefunction)

Wavefunction \(\psi\) 가 basis \(\mathcal{B} = \{ ~ | e_1 \rangle ~,~ | e_2 \rangle ~,~ | e_3 \rangle ~,~ \cdots ~,~ | e_n \rangle ~\} \) 에서의 행렬 표현이 \([\psi]\) , 다른 basis \(\mathcal{B}' = \{ ~ | e_1' \rangle ~,~ | e_2' \rangle ~,~ | e_3' \rangle ~,~ \cdots ~,~ | e_n' \rangle ~\} \) 에서의 행렬 표현이 \([\psi]'\) 라고 하면, 행렬 표현 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

\[ [\psi] = U [\psi]' \]

이 때, \(\mathcal{B}'\) 의 행렬 표현에서 \(\mathcal{B}\) 의 행렬 표현으로 변환하는 행렬 \(P\) 는 다음과 같이 구한다.

\[ U = \begin{bmatrix} \\ \\ [e_1]' & [e_2]' & \cdots & [e_j]' & \cdots & [e_n]' \\ \\ ~ \end{bmatrix} \]

\([e_j]'\) 는 \(|e_j\rangle\) 을 \(\mathcal{B}'\) 에서의 행렬 표현이다.

스핀-1/2 입자의 basis사이에는 실제로 다음과 같은 관계에 있다. ^[각주:6]

\[ \left\{ \begin{array}{ccrcr} | \uparrow_x \rangle & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ~| \uparrow \rangle & + & \frac{1}{\sqrt{2}} ~| \downarrow \rangle \\ | \downarrow_x \rangle & = & -\frac{i}{\sqrt{2}} ~| \uparrow \rangle & + & \frac{i}{\sqrt{2}} ~| \downarrow \rangle \end{array} \right. \]

\[ \left\{ \begin{array}{ccrcr} | \uparrow \rangle & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ~| \uparrow_x \rangle & + & \frac{i}{\sqrt{2}} ~| \downarrow_x \rangle \\ | \downarrow \rangle & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ~| \uparrow_x \rangle & - & \frac{i}{\sqrt{2}} ~| \downarrow_x \rangle \end{array} \right. \]

위의 논의를 그대로 대입하면,

\[ U = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} ~~~~~~~~~~~ U^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \]

#Change of Basis: Operator Case ^[각주:7]

목표는 \([S_y]\) 에서 \([S_y]'\) 을 유도하는 방법을 알아보는 것이다. 임의의 wavefunction \(|f\rangle\) 에 대하여 \(S_y\) 의 연산 결과를 \(|g\rangle\) 이라고 하자.

\[ S_y ~|f\rangle ~=~ |g\rangle \]

이 식은 basis와 상관없이 성립하는 식이다. 이제 위 식을 각각의 basis에서 행렬로 표현하면,

\[ \begin{equation} [S_y] [f] = [g] \end{equation} \label{eq1}\]

\[ \begin{equation} [S_y]' [f]' = [g]' \end{equation} \label{eq2} \]

이 때 \([f]=U[f]'\) , \([g]=U[g]'\) 이므로 식 \(\eqref{eq1}\)은 \( [S_y]U[f]' = U[g]' \) 로 변형된다. 즉,

\[ U^{-1} [S_y] U [f]' = [g]' \]

위 식을 식 \(\eqref{eq2}\)와 비교하면 다음의 결과를 얻는다.

\[ [S_y]' = U^{-1} [S_y] U \]

THEOREM            Change of Basis (Operator)

연산자 \(T\) 에 대하여, \(\mathcal{B}\) 의 행렬 표현을 \([T]\) , \(\mathcal{B}'\) 의 행렬 표현을 \([T]'\) 이라고 하면,

\[ [T]' = U^{-1} [T] U \]

실제 값을 대입해보면,

\[ [S_y]'=\begin{bmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = U^{-1}[S_y] U \]

#Unitary Operator

위의 행렬을 잘 보면 \(U\) 와 역행렬 \(U^{-1}\) 의 관계는 conjugate transpose관계에 있다. 먼저 conjugate transpose를 정의하자.

DEFINITION            Conjugate Transpose of Matrices

행렬

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

의 conjugate transpose를 다음과 같이 정의하고 \(A^\dagger\) 로 쓴다.

\[ A^\dagger = \begin{bmatrix} a_{11} ^* & a_{21} ^* & a_{31} ^* & \cdots \\ a_{12} ^* & a_{22} ^* & a_{32} ^* & \cdots \\ a_{13} ^* & a_{23} ^* & a_{33} ^* & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

\(U\) 와 같이 conjugate transpose가 역행렬이 되는 경우 이 행렬을 unitary matrix라고 부른다.

DEFINITION            Unitary Matrix

행렬 \(A\) 가 다음을 만족하는 경우 \(A\) 를 unitary matrix라고 한다. ^[각주:8]

\[ A A^\dagger = A^\dagger A = I \]

연산자의 행렬표현이 unitary matrix가 되는 경우 이 연산자를 unitary operator라고 한다.

Unitary operator는 양자역학 이론에서 중요한 역할을 한다. 수학적으로 unitary operator는 wavefunction의 inner product를 보존하는 변환이다. 즉, wavefunction \(|f\rangle\) 와 \(|g\rangle\) 의 inner product는, unitary operator \(U\) 로 변환한 wavefunction \(|Uf\rangle\) 와 \(|Ug\rangle\) 의 inner product와 같다. ^[각주:9]

\[ \langle f | g \rangle = \langle Uf|Ug \rangle \]

3차원 공간에서 내적을 보존하는 변환이 회전인 것과 마찬가지로 unitary operator는 wavefunction의 회전을 표현한다고 할 수 있다. 특히 이동, 회전과 같은 연속적인 대칭이 unitary operator로 표현된다. ^[각주:10]

1. 지난번에 이어 s=1/2 으로 가정한다. \\(|s=1/2,\\uparrow\\rangle\\) 대신 생략해서 \\(|\\uparrow\\rangle\\) 로 쓴다. [본문으로]
2. 자세한 내용은 4.7 스핀 Spin 참고 [본문으로]
3. \\(S_x\\) 의 eigenvector를 구하는 것은 4.7 스핀 Spin 참고 [본문으로]
4. 쉽게는 위 식에서 x→y , y→z , z→x 로 바꾸면 쉽게 얻을 수 있다. 직접 구하기 위해서는 ladder operator \\(S_{+,x} = S_y + i S_z\\) , \\(S_{-,x} = S_y - i S_z\\) 를 정의해서 구할 수 있다. [본문으로]
5. 자세한 내용은 [선형대수학] 1.4 Coordinate Representation 참고. [본문으로]
6. 4.7 스핀 Spin 참고. [본문으로]
7. 자세한 내용은 [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations 참고. [본문으로]
8. \\(I\\) 는 identity matrix. [본문으로]
9. 자세한 내용은 [선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고. [본문으로]
10. --symmetry-- 참고. [본문으로]