[양자역학] 4.8 유니터리 연산자 Unitary Operators

지난 페이지에서는 spin과 spin의 행렬 표현을 살펴보았다. 특히, $S_x$ 의 eigenvector와 $S_z$ 의 eigenvector를 basis로 하였을 때 행렬 표현을 논의하였다. 그러나 $S_x$ 의 eigenvector 역시 basis 역할을 할 수 있다. 이번 페이지에서는 basis를 변환했을 때 행렬 표현이 어떻게 바뀌는지 살펴보자.^[각주:1]

#Matrix Representations

먼저 $S_z$의 eigenvector $|\uparrow ⟩$ , $|\downarrow ⟩$ 를 basis로 하였을 때, $S_x$, $S_y$, $S_z$ 는 다음과 같이 구했다.^[각주:2]

$$\begin{array}{ccccc}[S_x]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]& ,& [S_y]=\left[\begin{array}{cc}0& -i\frac{\hslash }{2}\\ i\frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]& ,& [S_z]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\hslash }{2}& 0\\ 0& -\frac{\hslash }{2}\end{array}\right]\end{array}$$

그리고 $S_x$의 eigenvector $|{\uparrow }_x⟩$ , $|{\downarrow }_x⟩$ 를 basis로 하였을 때, spin operator들은 다음과 같이 구할 수 있다.^{[각주:3] [각주:4]}

$$\begin{array}{ccccc}[S_x{]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}\frac{\hslash }{2}& 0\\ 0& -\frac{\hslash }{2}\end{array}\right]& ,& [S_y{]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]& ,& [S_z{]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& -i\frac{\hslash }{2}\\ i\frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]\end{array}$$

#Change of Basis: Wavefunction Case ^[각주:5]

일반적인 wavefunction $|f⟩$ 이 $|\uparrow ⟩$ , $|\downarrow ⟩$ 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

$$|f⟩=a|\uparrow ⟩+b|\downarrow ⟩$$

이 wavefunction은 행렬 표현으로 다음과 같이 표현된다.

$$[f]=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$$

또한 $|{\uparrow }_x⟩$ , $|{\downarrow }_x⟩$ 로 다음과 같이 전개된다고 하자.

$$|f⟩=a^{\prime }|{\uparrow }_x⟩+b^{\prime }|{\downarrow }_x⟩$$

그러면 행렬 표현은 다음과 같이 표현된다.

$$[f{]}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right]$$

두 행렬 표현 $[f]$ 와 $[f{]}^{\prime }$ 의 관계를 살펴보자. $|{\uparrow }_x⟩$ , $|{\downarrow }_x⟩$ 역시 wavefunction이므로 $|\uparrow ⟩$ , $|\downarrow ⟩$ 로 전개가 가능하다.

$$\begin{array}{rl}|{\uparrow }_x⟩& =u_{11}|\uparrow ⟩+u_{21}|\downarrow ⟩\\ \\ |{\downarrow }_x⟩& =u_{12}|\uparrow ⟩+u_{22}|\downarrow ⟩\end{array}$$

이라고 하면, $|f⟩$ 이 $|{\uparrow }_x⟩$ , $|{\downarrow }_x⟩$ 로 전개되는 것은 다음과 같이 변형된다.

$$\begin{array}{rl}|f⟩& =a^{\prime }|{\uparrow }_x⟩+b^{\prime }|{\downarrow }_x⟩\\ \\ & =a^{\prime }(u_{11}|\uparrow ⟩+u_{21}|\downarrow ⟩)+b^{\prime }(u_{12}|\uparrow ⟩+u_{22}|\downarrow ⟩)\\ \\ & =(a^{\prime }{u}_{11}+b^{\prime }{u}_{12})|\uparrow ⟩+(a^{\prime }{u}_{21}+b^{\prime }{u}_{22})|\downarrow ⟩\end{array}$$

이를 행렬로 표현하면

$$[f]=\left[\begin{array}{c}{a}^{\prime }{u}_{11}+b^{\prime }{u}_{12}\\ a^{\prime }{u}_{21}+b^{\prime }{u}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ u_{21}& u_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ u_{21}& u_{22}\end{array}\right][f{]}^{\prime }$$

따라서 wavefunction의 행렬 표현을 변환하는 것은 다음 행렬과의 곱으로 변환된다.

$$U=\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ u_{21}& u_{22}\end{array}\right]$$

$$[f]=U[f{]}^{\prime }$$

또한 반대 변환은 역행렬을 통해 변환된다.

$$[f{]}^{\prime }=U^{-1}[f]$$

이를 일반화하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

THEOREM            Change of Basis (Wavefunction)

Wavefunction $\psi$ 가 basis $\mathcal{B}=\{|e_1⟩,|e_2⟩,|e_3⟩,\cdots ,|e_n⟩\}$ 에서의 행렬 표현이 $[\psi ]$ , 다른 basis ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{|e_1^{\prime }⟩,|e_2^{\prime }⟩,|e_3^{\prime }⟩,\cdots ,|e_n^{\prime }⟩\}$ 에서의 행렬 표현이 $[\psi {]}^{\prime }$ 라고 하면, 행렬 표현 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

$$[\psi ]=U[\psi {]}^{\prime }$$

이 때, ${\mathcal{B}}^{\prime }$ 의 행렬 표현에서 $\mathcal{B}$ 의 행렬 표현으로 변환하는 행렬 $P$ 는 다음과 같이 구한다.

$$U=\left[\begin{array}{c}\\ \\ [e_1{]}^{\prime }& [e_2{]}^{\prime }& \cdots & [e_j{]}^{\prime }& \cdots & [e_n{]}^{\prime }\\ \\ \end{array}\right]$$

$[e_j{]}^{\prime }$ 는 $|e_j⟩$ 을 ${\mathcal{B}}^{\prime }$ 에서의 행렬 표현이다.

스핀-1/2 입자의 basis사이에는 실제로 다음과 같은 관계에 있다. ^[각주:6]

$$\{\begin{array}{ccrcr}|{\uparrow }_x⟩& =& \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow ⟩& +& \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow ⟩\\ |{\downarrow }_x⟩& =& -\frac{i}{\sqrt{2}}|\uparrow ⟩& +& \frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow ⟩\end{array}$$

$$\{\begin{array}{ccrcr}|\uparrow ⟩& =& \frac{1}{\sqrt{2}}|{\uparrow }_x⟩& +& \frac{i}{\sqrt{2}}|{\downarrow }_x⟩\\ |\downarrow ⟩& =& \frac{1}{\sqrt{2}}|{\uparrow }_x⟩& -& \frac{i}{\sqrt{2}}|{\downarrow }_x⟩\end{array}$$

위의 논의를 그대로 대입하면,

$$U=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]U^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

#Change of Basis: Operator Case ^[각주:7]

목표는 $[S_y]$ 에서 $[S_y{]}^{\prime }$ 을 유도하는 방법을 알아보는 것이다. 임의의 wavefunction $|f⟩$ 에 대하여 $S_y$ 의 연산 결과를 $|g⟩$ 이라고 하자.

$$S_y|f⟩=|g⟩$$

이 식은 basis와 상관없이 성립하는 식이다. 이제 위 식을 각각의 basis에서 행렬로 표현하면,

$$[S_y][f]=[g]$$

$$[S_y{]}^{\prime }[f{]}^{\prime }=[g{]}^{\prime }$$

이 때 $[f]=U[f{]}^{\prime }$ , $[g]=U[g{]}^{\prime }$ 이므로 식 $\text{(???)}$은 $[S_y]U[f{]}^{\prime }=U[g{]}^{\prime }$ 로 변형된다. 즉,

$$U^{-1}[S_y]U[f{]}^{\prime }=[g{]}^{\prime }$$

위 식을 식 $\text{(???)}$와 비교하면 다음의 결과를 얻는다.

$$[S_y{]}^{\prime }=U^{-1}[S_y]U$$

THEOREM            Change of Basis (Operator)

연산자 $T$ 에 대하여, $\mathcal{B}$ 의 행렬 표현을 $[T]$ , ${\mathcal{B}}^{\prime }$ 의 행렬 표현을 $[T{]}^{\prime }$ 이라고 하면,

$$[T{]}^{\prime }=U^{-1}[T]U$$

실제 값을 대입해보면,

$$[S_y{]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& -i\frac{\hslash }{2}\\ i\frac{\hslash }{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=U^{-1}[S_y]U$$

#Unitary Operator

위의 행렬을 잘 보면 $U$ 와 역행렬 $U^{-1}$ 의 관계는 conjugate transpose관계에 있다. 먼저 conjugate transpose를 정의하자.

DEFINITION            Conjugate Transpose of Matrices

행렬

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

의 conjugate transpose를 다음과 같이 정의하고 $A^{†}$ 로 쓴다.

$$A^{†}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\ast }& a_{21}^{\ast }& a_{31}^{\ast }& \cdots \\ a_{12}^{\ast }& a_{22}^{\ast }& a_{32}^{\ast }& \cdots \\ a_{13}^{\ast }& a_{23}^{\ast }& a_{33}^{\ast }& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

$U$ 와 같이 conjugate transpose가 역행렬이 되는 경우 이 행렬을 unitary matrix라고 부른다.

DEFINITION            Unitary Matrix

행렬 $A$ 가 다음을 만족하는 경우 $A$ 를 unitary matrix라고 한다. ^[각주:8]

$$A{A}^{†}=A^{†}A=I$$

연산자의 행렬표현이 unitary matrix가 되는 경우 이 연산자를 unitary operator라고 한다.

Unitary operator는 양자역학 이론에서 중요한 역할을 한다. 수학적으로 unitary operator는 wavefunction의 inner product를 보존하는 변환이다. 즉, wavefunction $|f⟩$ 와 $|g⟩$ 의 inner product는, unitary operator $U$ 로 변환한 wavefunction $|Uf⟩$ 와 $|Ug⟩$ 의 inner product와 같다. ^[각주:9]

$$⟨f|g⟩=⟨Uf|Ug⟩$$

3차원 공간에서 내적을 보존하는 변환이 회전인 것과 마찬가지로 unitary operator는 wavefunction의 회전을 표현한다고 할 수 있다. 특히 이동, 회전과 같은 연속적인 대칭이 unitary operator로 표현된다. ^[각주:10]

1. 지난번에 이어 s=1/2 으로 가정한다. \(|s=1/2,\uparrow\rangle\) 대신 생략해서 \(|\uparrow\rangle\) 로 쓴다. [본문으로]
2. 자세한 내용은 4.7 스핀 Spin 참고 [본문으로]
3. \(S_x\) 의 eigenvector를 구하는 것은 4.7 스핀 Spin 참고 [본문으로]
4. 쉽게는 위 식에서 x→y , y→z , z→x 로 바꾸면 쉽게 얻을 수 있다. 직접 구하기 위해서는 ladder operator \(S_{+,x} = S_y + i S_z\) , \(S_{-,x} = S_y - i S_z\) 를 정의해서 구할 수 있다. [본문으로]
5. 자세한 내용은 [선형대수학] 1.4 Coordinate Representation 참고. [본문으로]
6. 4.7 스핀 Spin 참고. [본문으로]
7. 자세한 내용은 [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations 참고. [본문으로]
8. \(I\) 는 identity matrix. [본문으로]
9. 자세한 내용은 [선형대수학] 4.6 Isometry, Unitary Operator 참고. [본문으로]
10. --symmetry-- 참고. [본문으로]