[양자역학] 4.7 스핀 Spin

전자, 중성자, 양성자 등과 같은 기본 입자들은 spin(스핀)이라는 특성을 가지고 있다. Spin은 이름으로부터 입자가 자전하는 느낌을 주지만, 기본 입자들은 점입자로 취급되기 때문에 자전하는 것을 기술할 수 없다. 고전역학적인 기술을 할 수는 없지만, 다행히 spin은 양자역학적 angular momentum으로 기술된다. 이번 페이지에서는 전자의 spin에 대하여 살펴본다.

#Spin

Spin은 양자역학적으로 angular momentum과 같기 때문에 angular momentum의 특성들을 공유한다. Spin을 다룰 때는 angular momentum의 \(L\) 대신 \(S\)를 사용한다. Spin operator \(S^2\)와 x, y, z축 spin operator \(S_x\), \(S_y\), \(S_z\) 들은 다음의 관계를 만족한다.^{[각주:1] [각주:2]}

\[ \begin{gather*} [S^2, S_x] = [S^2, S_y] = [S^2, S_z] = 0 \\ [S_x,S_y] = i\hbar S_z \\ [S_y,S_z] = i\hbar S_x \\ [S_z,S_x] = i\hbar S_y \end{gather*} \]

따라서 3개의 축에 대하여 동시에 측정하는 것을 불가능하고 \(S^2\)와 1개의 축 spin만 동시에 측정할 수 있다.^[각주:3] Angular momentum과 마찬가지로 보통은 z축을 선택한다. 따라서 \(S^2\)와 \(S_z\)에 동시에 eigenvector가 되는 vector \(|s,m_s\rangle\) 를 찾을 수 있다.

\[ \begin{align*} S^2 ~|s,m_s \rangle &= \hbar^2 s(s+1) ~| s,m_s \rangle & & \text{where } ~ s=0, \frac{1}{2}, 1 \frac{3}{2}, \cdots \\ S_z ~|s,m_s \rangle &= \hbar m_s ~| s,m_s \rangle & & \text{where } ~ m_s = -s, -(s-1), \cdots, (s-1), s \end{align*} \]

서로 다른 eigenvalue를 가진 eigenvector들은 서로 orthogonal하므로 각각의 eigenvector들에 적당한 값을 곱하여 normalized되도록 할 수 있다. 따라서 eigenvector들은 orthonormality를 만족한다.

\[ \langle s, m_s | s', m_s ' \rangle = \delta_{s,s'} \delta_{m_s , m_s'} \]

#Spin 1/2 System

각각의 기본 입자들은 자신의 spin 값을 가지고 있다. 전자의 경우 \(s=1/2\) 값을 가진다. 따라서 가능한 \(m_s\) 값은 -1/2 와 1/2가 가능한데 각각 down spin과 up spin으로 부르고 ↑ 과 ↓ 으로 표현한다.^[각주:4]

\[ \begin{align*} S^2 ~| \frac{1}{2}, \uparrow \rangle &= \frac{3}{4}\hbar^2 ~| \frac{1}{2}, \uparrow \rangle & S_z ~| \frac{1}{2}, \uparrow \rangle &= \frac{\hbar}{2} ~| \frac{1}{2}, \uparrow \rangle \\ \\ S^2 ~| \frac{1}{2}, \downarrow \rangle &= \frac{3}{4}\hbar^2 ~| \frac{1}{2}, \downarrow \rangle & S_z ~| \frac{1}{2}, \downarrow \rangle &= -\frac{\hbar}{2} ~| \frac{1}{2}, \downarrow \rangle \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \langle \frac{1}{2}, \uparrow | \frac{1}{2}, \uparrow \rangle = \langle \frac{1}{2}, \downarrow | \frac{1}{2}, \downarrow \rangle = 1 \\ \\ \langle \frac{1}{2}, \uparrow | \frac{1}{2}, \downarrow \rangle = \langle \frac{1}{2}, \downarrow | \frac{1}{2}, \uparrow \rangle = 0 \end{align*}\]

전자는 \(s=1/2\) 로 고정되어 있으므로 \(S^2\), \(S_x\), \(S_y\), \(S_z\)의 행렬 표현에서 \(s=1/2\) block matrix 부분만 사용할 수 있다. \(S^2\), \(S_x\), \(S_y\), \(S_z\)의 행렬 표현을 \([S^2]\), \([S_x]\), \([S_y]\), \([S_z]\) 라고 하면 다음과 같은 행렬이 된다.^[각주:5]

\[ \begin{align*} [S^2] &= \frac{3}{4} \hbar^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & [S_x] &= \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ [S_y] &= \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} & [S_z] &= \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*} \]

위의 행렬 표현에서 계수를 제외한 행렬을 다음과 같이 정의하여 다음과 같이 표현하기도 한다.^[각주:6]

\[ \begin{align*} I &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \sigma_1 &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} & \sigma_2 &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} & \sigma_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ [S^2] &= \frac{3}{4}\hbar^2 I & [S_x] &= \frac{\hbar}{2} \sigma_1 & [S_y] &= \frac{\hbar}{2} \sigma_2 & [S_z] &= \frac{\hbar}{2} \sigma_3 \end{align*} \]

또한 일반적인 wave function \(\psi = c_\uparrow ~|\frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~+~ c_\downarrow ~|\frac{1}{2}, \downarrow \rangle\)의 행렬 표현 \([\psi]\) 는 다음과 같이 된다.

\[ [\psi] = \begin{bmatrix} c_\uparrow \\ c_\downarrow \end{bmatrix} \]

wave function \(\psi_1\)과 \(\psi_2\)의 inner product는 행렬 표현으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

\[ \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = [\psi_1]^\dagger [\psi_2] \]

#Eigenvalues of \(S_x\)

전자의 \(s\)값이 1/2이므로 z축 spin의 측정값이 -1/2와 1/2이 가능하다. 그러나 x축, y축, z축은 임의로 설정한 축이므로 x축, y축과 z축은 똑같다고 할 수 있다. 즉, x축, y축의 측정값(eigenvalue)는 -1/2와 1/2가 될 것이다. 이를 확인해보자.

먼저 x축 spin operator \(S_x\)의 eigenvalue를 \(s_x\) , eigenvector를 \(|\chi \rangle = \chi_\uparrow ~| \frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~+~ \chi_\downarrow ~| \frac{1}{2}, \downarrow \rangle \) 라고 하면, eigenvalue equation

\[ S_x ~|\chi \rangle = s_x ~|\chi \rangle \]

의 행렬 표현

\[ \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi_\uparrow \\ \chi_\downarrow \end{bmatrix} = s_x \begin{bmatrix} \chi_\uparrow \\ \chi_\downarrow \end{bmatrix} \]

을 정리하면

\[ \begin{bmatrix} -s_x & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & -s_x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi_\uparrow \\ \chi_\downarrow \end{bmatrix} = 0 \]

zero vector가 아닌 vector에 대해서 이 식이 성립하기 위해서는 앞의 행렬의 행렬식이 0이어야 하므로,^[각주:7]

\[ s_x ^2 - \frac{\hbar^2}{4} = 0 \]

따라서 eigenvalue \(s_x = \pm \frac{\hbar}{2}\) 임을 알 수 있다. 그리고 eigenvalue를 행렬 표현에 대입하면,

\[ \chi_\uparrow = \chi_\downarrow ~~~~~ \text{if } ~ s_x = \frac{\hbar}{2} \]

\[ \chi_\uparrow = -\chi_\downarrow ~~~~~ \text{if } ~ s_x = -\frac{\hbar}{2} \]

그러므로 각 eigenvalue에 대한 normalized eigenvector를 다음과 같이 얻는다.^{[각주:8] [각주:9]}

\[ | \frac{1}{2}, \uparrow _x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( ~ |\frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~+~ |\frac{1}{2}, \downarrow \rangle ~ ) \]

\[ | \frac{1}{2}, \downarrow _x \rangle = -\frac{i}{\sqrt{2}} ( ~ |\frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~-~ |\frac{1}{2}, \downarrow \rangle ~ ) \]

x축과 마찬가지로 일반적인 방향 축에 대한 spin 값을 생각할 수 있다. 위의 논의와 마찬가지로 eigenvalue는 \(\pm1/2\) 라는 것을 예측할 수 있다. 방향 vector \(\hat{n}\)을 spherical coordinates를 이용하여 다음과 같이 정의하자.

\[ \hat{n} = \sin\theta~\cos\phi~\hat{i} + \sin\theta~\sin\phi~\hat{j} +\cos\theta~\hat{k} \]

그러면 일반적인 방향 축에 대한 spin operator는

\[ \hat{n} \cdot {\bf{S}} = \sin\theta~\cos\phi~S_x + \sin\theta~\sin\phi~S_y +\cos\theta~S_z \]

로 정의할 수 있을 것이다. 행렬 표현으로는

\[ [\hat{n} \cdot {\bf{S}}] = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta ~e^{-i\phi} \\ \sin\theta ~e^{i\phi} & -\cos\theta \end{bmatrix} \]

x축의 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 방식을 이용하면 다음과 같은 eigenvalue, eigenvector를 얻는다.

\[ \begin{align*} | \frac{1}{2}, \uparrow _{\hat{n}} \rangle &= \cos\frac{\theta}{2} ~e^{-i\frac{\phi}{2}} ~ | \frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~+~ \sin\frac{\theta}{2} ~e^{i\frac{\phi}{2}} ~ | \frac{1}{2}, \downarrow \rangle \\ \\ | \frac{1}{2}, \downarrow _{\hat{n}} \rangle &= -\sin\frac{\theta}{2} ~e^{-i\frac{\phi}{2}} ~ | \frac{1}{2}, \uparrow \rangle ~+~ \cos\frac{\theta}{2} ~e^{i\frac{\phi}{2}} ~ | \frac{1}{2}, \downarrow \rangle \end{align*} \]

즉, 위 vector들에 대하여 다음과 같은 eigenvalue equation이 성립한다.

\[ \begin{align*} (\hat{n} \cdot {\bf{S}}) ~ | \frac{1}{2}, \uparrow _{\hat{n}} \rangle &= \frac{\hbar}{2} ~ | \frac{1}{2}, \uparrow _{\hat{n}} \rangle \\ \\ (\hat{n} \cdot {\bf{S}}) ~ | \frac{1}{2}, \downarrow _{\hat{n}} \rangle &= -\frac{\hbar}{2} ~ | \frac{1}{2}, \downarrow _{\hat{n}} \rangle \end{align*} \]

그리고 operator \({\bf{S}} = S_x ~\hat{i} + S_y ~\hat{j} + S_z ~\hat{k}\)의 기대값이

\[ \begin{align*} \langle \frac{1}{2}, \uparrow_{\hat{n}} ~|~ {\bf{S}} ~|~ \frac{1}{2},\uparrow_{\hat{n}} \rangle &= \frac{\hbar}{2}\hat{n} \\ \\ \langle \frac{1}{2}, \downarrow_{\hat{n}} ~|~ {\bf{S}} ~|~ \frac{1}{2},\downarrow_{\hat{n}} \rangle &= -\frac{\hbar}{2}\hat{n} \end{align*} \]

으로 크기가 \(\pm \frac{\hbar}{2}\) 인 \(\hat{n}\) 방향 벡터를 얻을 수 있다.

#Interaction with Week Magnetic Field

고전 전자기학에 따르면, 전하 \(q\) 를 띤 입자가 자기장 \({\bf{B}}\)에서 angular momentum \({\bf{L}}\) 으로 공전하는 경우의 공전 운동이 전류가 되어 magnetic dipole가 형성되고, 자기장과 상호작용하게 된다. 이 때의 Hamiltonian은

\[ H = -\frac{q}{2mc} {\bf{L}}\cdot {\bf{B}} \]

가 된다. 보통 magnetic moment \({\bf{\mu}} = \frac{q}{2mc}{\bf{L}}\) 로 정의하여 \(H= - {\bf{\mu}}\cdot {\bf{B}}\) 로 표현한다. 전자의 spin도 angular momentum의 일종이므로 비슷한 상호작용을 한다고 할 수 있다. 그러나 공전과 spin은 다르기 때문에, magnetic moment를 다음과 같이 \(g\)를 도입하여 공전과 spin의 차이를 보정해준다.

\[ \mu = -g\frac{e}{2mc}{\bf{S}} \]

실험에 의하면, \(g\) 값은 2에 가깝다고 알려져 있다. 만약 일정한 자기장이 z축으로 작용하는 경우 \(H\)는

\[ H = \frac{eB}{mc}S_z \]

가 된다. 따라서 Schrodinger equation의 해는 spin operator의 eigenvector가 되고 eigenvalue는

\[ E = \pm \frac{eB\hbar}{2mc} \]

를 얻을 수 있다. 만약 자기장의 방향이 일반적인 경우에는 \(H\)는

\[ H = \frac{eB}{mc}(\hat{n}\cdot {\bf{S}}) \]

이 되므로 Schrodinger equation의 해는 위에서 살펴본 일반적인 방향 spin operator의 eigenvector가 된다.

1. spin은 공간에 나타나는 개념이 아니기 때문에, 공간에 대한 미분 형태는 없다. [본문으로]
2. angular momentum operator의 관계는 4.1 Angular Momentum Operators와 4.3 Ladder Operators 참고 [본문으로]
3. 동시 측정에 관한 내용은 4.2 Simultaneous Measurements: Compatible Observables 참고 [본문으로]
4. s값은 바뀌지 않으므로 헷갈리지 않는 경우 생략하기도 한다. [본문으로]
5. 양자역학의 행렬 표현은 3.6 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①와 4.5 Matrix Representation of Quantum Mechanics ② 참고 [본문으로]
6. 행렬 \\(\\sigma_1\\), \\(\\sigma_2\\), \\(\\sigma_3\\) 를 Pauli matrix(파울리 행렬)이라고 부른다. [본문으로]
7. 행렬식이 0이 아닌경우에는 역행렬이 존재하므로 eigenvector가 zero vector가 된다. [본문으로]
8. 보통 eigenvalue \\(\\frac{\\hbar}{2}\\) 에 대해서는 \\(\\chi_\\uparrow=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\) , eigenvalue \\(-\\frac{\\hbar}{2}\\) 에 대해서는 \\(\\chi_\\uparrow=-\\frac{i}{\\sqrt{2}}\\) 를 선택한다. [본문으로]
9. 1.4-(1) Example: 슈테른-게를라흐 실험 Stern-Gerlach Experiment 에서는 각각을 \\(|\\rightarrow\\rangle\\) 와 \\(|\\leftarrow\\rangle\\) 로 표현했었다. [본문으로]