[양자역학] 4.7 스핀 Spin

전자, 중성자, 양성자 등과 같은 기본 입자들은 spin(스핀)이라는 특성을 가지고 있다. Spin은 이름으로부터 입자가 자전하는 느낌을 주지만, 기본 입자들은 점입자로 취급되기 때문에 자전하는 것을 기술할 수 없다. 고전역학적인 기술을 할 수는 없지만, 다행히 spin은 양자역학적 angular momentum으로 기술된다. 이번 페이지에서는 전자의 spin에 대하여 살펴본다.

#Spin

Spin은 양자역학적으로 angular momentum과 같기 때문에 angular momentum의 특성들을 공유한다. Spin을 다룰 때는 angular momentum의 $L$ 대신 $S$를 사용한다. Spin operator $S^2$와 x, y, z축 spin operator $S_x$, $S_y$, $S_z$ 들은 다음의 관계를 만족한다.^{[각주:1] [각주:2]}

$$\begin{array}{c}[S^2,S_x]=[S^2,S_y]=[S^2,S_z]=0\\ [S_x,S_y]=i\hslash S_z\\ [S_y,S_z]=i\hslash S_x\\ [S_z,S_x]=i\hslash S_y\end{array}$$

따라서 3개의 축에 대하여 동시에 측정하는 것을 불가능하고 $S^2$와 1개의 축 spin만 동시에 측정할 수 있다.^[각주:3] Angular momentum과 마찬가지로 보통은 z축을 선택한다. 따라서 $S^2$와 $S_z$에 동시에 eigenvector가 되는 vector $|s,m_s⟩$ 를 찾을 수 있다.

$$\begin{array}{rlrl}{S}^2|s,m_s⟩& ={\hslash }^{2}s(s+1)|s,m_s⟩& & \text{where }s=0,\frac{1}{2},1\frac{3}{2},\cdots \\ S_z|s,m_s⟩& =\hslash m_s|s,m_s⟩& & \text{where }{m}_s=-s,-(s-1),\cdots ,(s-1),s\end{array}$$

서로 다른 eigenvalue를 가진 eigenvector들은 서로 orthogonal하므로 각각의 eigenvector들에 적당한 값을 곱하여 normalized되도록 할 수 있다. 따라서 eigenvector들은 orthonormality를 만족한다.

$$⟨s,m_s|s^{\prime },m_s^{\prime }⟩={\delta }_{s,s^{\prime }}{\delta }_{m_s,m_s^{\prime }}$$

#Spin 1/2 System

각각의 기본 입자들은 자신의 spin 값을 가지고 있다. 전자의 경우 $s=1/2$ 값을 가진다. 따라서 가능한 $m_s$ 값은 -1/2 와 1/2가 가능한데 각각 down spin과 up spin으로 부르고 ↑ 과 ↓ 으로 표현한다.^[각주:4]

$$\begin{array}{rlrl}{S}^2|\frac{1}{2},\uparrow ⟩& =\frac{3}{4}{\hslash }^2|\frac{1}{2},\uparrow ⟩& S_z|\frac{1}{2},\uparrow ⟩& =\frac{\hslash }{2}|\frac{1}{2},\uparrow ⟩\\ \\ S^2|\frac{1}{2},\downarrow ⟩& =\frac{3}{4}{\hslash }^2|\frac{1}{2},\downarrow ⟩& S_z|\frac{1}{2},\downarrow ⟩& =-\frac{\hslash }{2}|\frac{1}{2},\downarrow ⟩\end{array}$$

$$\begin{array}{r}⟨\frac{1}{2},\uparrow |\frac{1}{2},\uparrow ⟩=⟨\frac{1}{2},\downarrow |\frac{1}{2},\downarrow ⟩=1\\ \\ ⟨\frac{1}{2},\uparrow |\frac{1}{2},\downarrow ⟩=⟨\frac{1}{2},\downarrow |\frac{1}{2},\uparrow ⟩=0\end{array}$$

전자는 $s=1/2$ 로 고정되어 있으므로 $S^2$, $S_x$, $S_y$, $S_z$의 행렬 표현에서 $s=1/2$ block matrix 부분만 사용할 수 있다. $S^2$, $S_x$, $S_y$, $S_z$의 행렬 표현을 $[S^2]$, $[S_x]$, $[S_y]$, $[S_z]$ 라고 하면 다음과 같은 행렬이 된다.^[각주:5]

$$\begin{array}{rlrl}[S^2]& =\frac{3}{4}{\hslash }^2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& [S_x]& =\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ \\ [S_y]& =\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]& [S_z]& =\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\end{array}$$

위의 행렬 표현에서 계수를 제외한 행렬을 다음과 같이 정의하여 다음과 같이 표현하기도 한다.^[각주:6]

$$\begin{array}{rlrlrlrl}I& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& {\sigma }_1& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]& {\sigma }_2& =\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]& {\sigma }_3& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\\ \\ [S^2]& =\frac{3}{4}{\hslash }^{2}I& [S_x]& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_1& [S_y]& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_2& [S_z]& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_3\end{array}$$

또한 일반적인 wave function $\psi =c_{\uparrow }|\frac{1}{2},\uparrow ⟩+c_{\downarrow }|\frac{1}{2},\downarrow ⟩$의 행렬 표현 $[\psi ]$ 는 다음과 같이 된다.

$$[\psi ]=\left[\begin{array}{c}{c}_{\uparrow }\\ c_{\downarrow }\end{array}\right]$$

wave function ${\psi }_1$과 ${\psi }_2$의 inner product는 행렬 표현으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=[{\psi }_1{]}^{†}[{\psi }_2]$$

#Eigenvalues of $S_x$

전자의 $s$값이 1/2이므로 z축 spin의 측정값이 -1/2와 1/2이 가능하다. 그러나 x축, y축, z축은 임의로 설정한 축이므로 x축, y축과 z축은 똑같다고 할 수 있다. 즉, x축, y축의 측정값(eigenvalue)는 -1/2와 1/2가 될 것이다. 이를 확인해보자.

먼저 x축 spin operator $S_x$의 eigenvalue를 $s_x$ , eigenvector를 $|\chi ⟩={\chi }_{\uparrow }|\frac{1}{2},\uparrow ⟩+{\chi }_{\downarrow }|\frac{1}{2},\downarrow ⟩$ 라고 하면, eigenvalue equation

$$S_x|\chi ⟩=s_x|\chi ⟩$$

의 행렬 표현

$$\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\chi }_{\uparrow }\\ {\chi }_{\downarrow }\end{array}\right]=s_x\left[\begin{array}{c}{\chi }_{\uparrow }\\ {\chi }_{\downarrow }\end{array}\right]$$

을 정리하면

$$\left[\begin{array}{cc}-s_x& \frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& -s_x\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\chi }_{\uparrow }\\ {\chi }_{\downarrow }\end{array}\right]=0$$

zero vector가 아닌 vector에 대해서 이 식이 성립하기 위해서는 앞의 행렬의 행렬식이 0이어야 하므로,^[각주:7]

$$s_x^2-\frac{{\hslash }^2}{4}=0$$

따라서 eigenvalue $s_x=\pm \frac{\hslash }{2}$ 임을 알 수 있다. 그리고 eigenvalue를 행렬 표현에 대입하면,

$${\chi }_{\uparrow }={\chi }_{\downarrow }\text{if }{s}_x=\frac{\hslash }{2}$$

$${\chi }_{\uparrow }=-{\chi }_{\downarrow }\text{if }{s}_x=-\frac{\hslash }{2}$$

그러므로 각 eigenvalue에 대한 normalized eigenvector를 다음과 같이 얻는다.^{[각주:8] [각주:9]}

$$|\frac{1}{2},{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\uparrow ⟩+|\frac{1}{2},\downarrow ⟩)$$

$$|\frac{1}{2},{\downarrow }_x⟩=-\frac{i}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\uparrow ⟩-|\frac{1}{2},\downarrow ⟩)$$

x축과 마찬가지로 일반적인 방향 축에 대한 spin 값을 생각할 수 있다. 위의 논의와 마찬가지로 eigenvalue는 $\pm 1/2$ 라는 것을 예측할 수 있다. 방향 vector $\hat{n}$을 spherical coordinates를 이용하여 다음과 같이 정의하자.

$$\hat{n}=\sin \theta \cos \varphi \hat{i}+\sin \theta \sin \varphi \hat{j}+\cos \theta \hat{k}$$

그러면 일반적인 방향 축에 대한 spin operator는

$$\hat{n}\cdot \mathbf{S}=\sin \theta \cos \varphi S_x+\sin \theta \sin \varphi S_y+\cos \theta S_z$$

로 정의할 수 있을 것이다. 행렬 표현으로는

$$[\hat{n}\cdot \mathbf{S}]=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta e^{-i\varphi }\\ \sin \theta e^{i\varphi }& -\cos \theta \end{array}\right]$$

x축의 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 방식을 이용하면 다음과 같은 eigenvalue, eigenvector를 얻는다.

$$\begin{array}{rl}|\frac{1}{2},{\uparrow }_{\hat{n}}⟩& =\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}|\frac{1}{2},\uparrow ⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}|\frac{1}{2},\downarrow ⟩\\ \\ |\frac{1}{2},{\downarrow }_{\hat{n}}⟩& =-\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}|\frac{1}{2},\uparrow ⟩+\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}|\frac{1}{2},\downarrow ⟩\end{array}$$

즉, 위 vector들에 대하여 다음과 같은 eigenvalue equation이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(\hat{n}\cdot \mathbf{S})|\frac{1}{2},{\uparrow }_{\hat{n}}⟩& =\frac{\hslash }{2}|\frac{1}{2},{\uparrow }_{\hat{n}}⟩\\ \\ (\hat{n}\cdot \mathbf{S})|\frac{1}{2},{\downarrow }_{\hat{n}}⟩& =-\frac{\hslash }{2}|\frac{1}{2},{\downarrow }_{\hat{n}}⟩\end{array}$$

그리고 operator $\mathbf{S}=S_x\hat{i}+S_y\hat{j}+S_z\hat{k}$의 기대값이

$$\begin{array}{rl}⟨\frac{1}{2},{\uparrow }_{\hat{n}}|\mathbf{S}|\frac{1}{2},{\uparrow }_{\hat{n}}⟩& =\frac{\hslash }{2}\hat{n}\\ \\ ⟨\frac{1}{2},{\downarrow }_{\hat{n}}|\mathbf{S}|\frac{1}{2},{\downarrow }_{\hat{n}}⟩& =-\frac{\hslash }{2}\hat{n}\end{array}$$

으로 크기가 $\pm \frac{\hslash }{2}$ 인 $\hat{n}$ 방향 벡터를 얻을 수 있다.

#Interaction with Week Magnetic Field

고전 전자기학에 따르면, 전하 $q$ 를 띤 입자가 자기장 $\mathbf{B}$에서 angular momentum $\mathbf{L}$ 으로 공전하는 경우의 공전 운동이 전류가 되어 magnetic dipole가 형성되고, 자기장과 상호작용하게 된다. 이 때의 Hamiltonian은

$$H=-\frac{q}{2mc}\mathbf{L}\cdot \mathbf{B}$$

가 된다. 보통 magnetic moment $\mu =\frac{q}{2mc}\mathbf{L}$ 로 정의하여 $H=-\mu \cdot \mathbf{B}$ 로 표현한다. 전자의 spin도 angular momentum의 일종이므로 비슷한 상호작용을 한다고 할 수 있다. 그러나 공전과 spin은 다르기 때문에, magnetic moment를 다음과 같이 $g$를 도입하여 공전과 spin의 차이를 보정해준다.

$$\mu =-g\frac{e}{2mc}\mathbf{S}$$

실험에 의하면, $g$ 값은 2에 가깝다고 알려져 있다. 만약 일정한 자기장이 z축으로 작용하는 경우 $H$는

$$H=\frac{eB}{mc}{S}_z$$

가 된다. 따라서 Schrodinger equation의 해는 spin operator의 eigenvector가 되고 eigenvalue는

$$E=\pm \frac{eB\hslash }{2mc}$$

를 얻을 수 있다. 만약 자기장의 방향이 일반적인 경우에는 $H$는

$$H=\frac{eB}{mc}(\hat{n}\cdot \mathbf{S})$$

이 되므로 Schrodinger equation의 해는 위에서 살펴본 일반적인 방향 spin operator의 eigenvector가 된다.

1. spin은 공간에 나타나는 개념이 아니기 때문에, 공간에 대한 미분 형태는 없다. [본문으로]
2. angular momentum operator의 관계는 4.1 Angular Momentum Operators와 4.3 Ladder Operators 참고 [본문으로]
3. 동시 측정에 관한 내용은 4.2 Simultaneous Measurements: Compatible Observables 참고 [본문으로]
4. s값은 바뀌지 않으므로 헷갈리지 않는 경우 생략하기도 한다. [본문으로]
5. 양자역학의 행렬 표현은 3.6 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①와 4.5 Matrix Representation of Quantum Mechanics ② 참고 [본문으로]
6. 행렬 \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\) 를 Pauli matrix(파울리 행렬)이라고 부른다. [본문으로]
7. 행렬식이 0이 아닌경우에는 역행렬이 존재하므로 eigenvector가 zero vector가 된다. [본문으로]
8. 보통 eigenvalue \(\frac{\hbar}{2}\) 에 대해서는 \(\chi_\uparrow=\frac{1}{\sqrt{2}}\) , eigenvalue \(-\frac{\hbar}{2}\) 에 대해서는 \(\chi_\uparrow=-\frac{i}{\sqrt{2}}\) 를 선택한다. [본문으로]
9. 1.4-(1) Example: 슈테른-게를라흐 실험 Stern-Gerlach Experiment 에서는 각각을 \(|\rightarrow\rangle\) 와 \(|\leftarrow\rangle\) 로 표현했었다. [본문으로]