[양자역학] 4.5 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ②

이번 페이지에서는 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①의 방법을 이용하여 angular momentum operator와 state vector를 행렬로 표현해 보자.

#Angular Momentum

일단 지난 페이지들의 내용들을 정리하자. 먼저 angular momentum operator들의 commutator는 다음과 같다.^[각주:1]

$$ [L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0 $$

$$ \begin{align*} [L_x, L_y] &= i\hbar L_z & [L_y, L_z] &= i\hbar L_x & [L_z, L_x] &= i\hbar L_y \end{align*} $$

commutator가 0이 아니기 때문에, 동시에 측정할 수 있는 값으로 \(L^2\)와 \(L_z\)를 선택하여 eigenvalue와 eigenvector를 구했다. 여기에서 기억할 것은 동시에 측정할 수 있는 값으로 선택할 수 있는 경우의 수가 \(L^2\)와 \(L_z\)만 있는 것이 아니라는 점이다. \(L^2\)와 \(L_x\) 쌍도 가능하고, \(L^2\)와 \(L_y\) 쌍도 가능하다.^[각주:2]

$$ \begin{align*} L^2 ~| l, m \rangle &= \hbar^2 l(l+1)~|l,m\rangle \\ L_z ~| l, m \rangle &= \hbar m~|l,m\rangle \end{align*} $$

$$  l = 0,~1,~2,~3,~\cdots ~~~~~~~~ m =~-l,~-(l-1),~\cdots ,~(l-1),~l $$

Eigenvalue와 eigenvector를 구하기 위해 ladder operators \(L_\pm\)을 정의하였다.^[각주:3]

$$ \begin{align*} L_\pm &= L_x \pm i L_y \\ L_\pm~|l,m\rangle &= \hbar\sqrt{(l \mp m)(l \pm m + 1)} ~|l,m\pm 1\rangle \end{align*} $$

Eigenvector \(|l,m \rangle\)은 함수 형태로는 spherical harmonics \(Y_l ^m\)가 되고 orthonormality, completeness를 만족한 것을 살펴보았다.^[각주:4]

$$ \langle l',m' | l,m \rangle = \int (Y_{l'} ^{m'})^* Y_{l} ^m ~d\Omega = \delta_{ll'}\delta_{mm'} $$

$$ f(\theta,\phi) = \sum_{l=0} ^{\infty} \sum_{m=-l} ^{l} c_{lm} Y_l ^m $$

#Ordered Basis

State vector와 operator를 행렬로 표현하기 위해서는 basis의 순서를 고정해야 한다. Basis 순서가 바뀌면 행렬의 값들이 바뀌기 때문이다. 여기에서는 basis vector \(|l,m\rangle\)의 순서를 다음과 같이 고정한다.

$$ |0,0\rangle~~~~~|1,1\rangle~~~~~|1,0\rangle~~~~~|1,-1\rangle~~~~~|2,2\rangle~~~~~|2,1\rangle~~~~~|2,0\rangle~~~~~|2,-1\rangle~~~~~|2,-2\rangle~~~~~|3,3\rangle~~~~~\cdots $$

#Matrix Representations of State Vectors

Wave function \( f(\theta,\phi) = \sum_{l=0} ^\infty \sum _{m=-l} ^l c_{lm} Y_l ^m \)은 행렬로 다음과 같이 표현한다.

$$ f(\theta,\phi) ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} \langle 0,0 | f \rangle \\ \langle 1,1 | f \rangle \\ \langle 1,0 | f \rangle \\ \langle 1,-1 | f \rangle \\ \langle 2,2 | f \rangle \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{0,0} \\ c_{1,1} \\ c_{1,0} \\ c_{1,-1} \\ c_{2,2} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

예를 들어, \(\sin\theta \cos\phi = -\left( \frac{2\pi}{3} \right) ^{1/2} (Y_1 ^1 - Y_1 ^{-1} )\)은 다음과 같은 행렬이 된다.

$$ \sin\theta \cos\phi ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} 0 \\ -\left( \frac{2\pi}{3} \right) ^{1/2} \\ 0 \\ \left( \frac{2\pi}{3} \right) ^{1/2} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{bmatrix} \begin{array}{l} {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{the coeffiecient of } Y_0 ^0} \\ {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{the coeffiecient of } Y_1 ^1} {\scriptstyle \begin{array}{c} {\scriptstyle ~} \\ {\scriptstyle ~} \end{array}} \\{\scriptstyle \leftarrow ~~\text{the coeffiecient of } Y_1 ^0} \\ {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{the coeffiecient of } Y_1 ^{-1}} {\textstyle \begin{array}{c} {\scriptstyle ~} \\ {\scriptstyle ~} \end{array}} \\ \\ \\ \\ \end{array}$$

행렬 표현에서 볼 수 있듯이 basis vector의 순서가 바뀌면 행렬 표현이 바뀐다는 것을 알 수 있다. 또 다른 예로 \(\cos^2 \theta = \frac{1}{3} \left[ (4\pi) ^{1/2} ~Y_0 ^0 + \left( \frac{16\pi}{5} \right) ^{1/2} ~Y_2 ^0 \right] \)의 행렬 표현은 

$$ \cos^2 \theta ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} \left( \frac{4\pi}{9} \right)^{1/2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \left( \frac{16\pi}{45} \right)^{1/2} \\\vdots \end{bmatrix} $$

#Matrix Representations of Operators

Operator \(A\)의 행렬은 다음과 같이 표현된다.

$$ \begin{align*} \begin{array}{c} {\scriptstyle \text{second argument}} \\ {\scriptstyle |0,0\rangle} \\ {\scriptstyle \downarrow} \end{array} ~~~~~~ \begin{array}{c} {\scriptstyle \text{second argument}} \\ {\scriptstyle |1,1\rangle} \\ {\scriptstyle \downarrow} \end{array} ~~~~~~ \begin{array}{c} {\scriptstyle \text{second argument}} \\ {\scriptstyle |1,0\rangle} \\ {\scriptstyle \downarrow} \end{array} ~~~~~~ \begin{array}{c} {\scriptstyle \text{second argument}} \\ {\scriptstyle |1,-1\rangle} \\ {\scriptstyle \downarrow} \end{array} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~  \\ A ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} \langle 0,0 | A | 0,0 \rangle & \langle 0,0 | A | 1,1 \rangle & \langle 0,0 | A | 1,0 \rangle & \langle 0,0 | A | 1,-1 \rangle & \cdots \\ \langle 1,1 | A | 0,0 \rangle & \langle 1,1 | A | 1,1 \rangle & \langle 1,1 | A | 1,0 \rangle & \langle 1,1 | A | 1,-1 \rangle & \cdots \\ \langle 1,0 | A | 0,0 \rangle & \langle 1,0 | A | 1,1 \rangle & \langle 1,0 | A | 1,0 \rangle & \langle 1,0 | A | 1,-1 \rangle & \cdots \\ \langle 1,-1 | A | 0,0 \rangle & \langle 1,-1 | A | 1,1 \rangle & \langle 1,-1 | A | 1,0 \rangle & \langle 1,-1 | A | 1,-1 \rangle & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{array}{l} {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{first argument } \langle0,0|} \\ {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{first argument } \langle1,1|} \\ {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{first argument } \langle1,0|} \\ {\scriptstyle \leftarrow ~~\text{first argument } \langle1,-1|} \\ \\ \\ \end{array} \end{align*}$$

예를 들어, \(L^2\)의 eigenvalue equation과 eigenvector들의 orthonormality를 이용하면

$$ \langle l', m'| L^2 | l,m \rangle = \hbar^2 l(l+1) \delta_{ll'}\delta_{mm'} $$

이므로 \(L^2\)의 행렬 표현은 다음과 같이 된다.

$$ L^2 ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 2\hbar^2 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 2\hbar^2 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 2\hbar^2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6\hbar^2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} $$

마찬가지로 \(L_z\), \(L_+\), \(L_-\) 의 행렬 표현도 구할 수 있다.

$$ \begin{align*} L_z & &\longrightarrow& ~~~~~\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & -\hbar & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\hbar & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \\ \\ L_+ & &\longrightarrow& ~~~~~\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \\ \\ L_- & &\longrightarrow& ~~~~~\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \end{align*} $$

Angular momentum의 남은 두 방향 \(L_x\)와 \(L_y\)은

$$ \begin{align*} L_x &= \frac{1}{2}(L_+ + L_-) \\ L_y &= -\frac{i}{2}(L_+ - L_-) \end{align*} $$

이므로 위의 행렬 표현을 이용해 구할 수 있다.

$$ \begin{align*} L_x & &\longrightarrow& ~~~~~\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \\ \\ L_y & &\longrightarrow& ~~~~~-\frac{i}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & -\sqrt{2}\hbar & 0 & \sqrt{2}\hbar & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & -\sqrt{2}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \end{align*} $$

#Block Matrix Representations

Operator \(L^2\), \(L_x\), \(L_y\), \(L_z\) 로 이루어진 연산(예를 들어, \(L_+ = L_x + i L_y\) 같은 연산자)은 \(|l,m\rangle\)에서 \(l\)을 변화시키지 않는다. 그래서 이들로 이루어진 연산자의 행렬 표현은 다음과 같이 block matrix 형태로 표현될 수 있다. (빈공간은 모두 0)

$$ \begin{align*} {\scriptstyle \begin{array}{c} l=0 \\ \text{block} \end{array}} ~~~~~~~~ {\scriptstyle l=1 ~\text{block}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\scriptstyle l=2 ~\text{block} } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\  L^2 ~~~\longrightarrow~~~ \left[ \begin{array}{c|ccc|ccccc|c} 0 & & & & & & & & & \cdots \\ \hline & 2\hbar^2 & 0 & 0 & & & & & & \cdots \\ & 0 & 2\hbar^2 & 0 & & & & & & \cdots \\ & 0 & 0 & 2\hbar^2 & & & & & & \cdots \\ \hline & & & & 6\hbar^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 6\hbar^2 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & 6\hbar^2 & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & 0 & 6\hbar^2 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & 0 & 0 & 6\hbar^2 & \cdots \\ \hline & & & & & & & & & \ddots \end{array} \right] \\ \\ L_x ~~~\longrightarrow~~~ \left[ \begin{array}{c|ccc|ccccc|c} 0 & & & & & & & & & \cdots \\ \hline & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & & & & & & \cdots \\ & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & & & & & & \cdots \\ & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & & & & & & \cdots \\ \hline & & & & 0 & \hbar & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & \hbar & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & \hbar & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & 0 & \hbar & 0 & \cdots \\ \hline & & & & & & & & & \ddots \end{array} \right] \\ \\ L_y ~~~\longrightarrow~~~ \left[ \begin{array}{c|ccc|ccccc|c} 0 & & & & & & & & & \cdots \\ \hline & 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & & & & & & \cdots \\ & \frac{i}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}}\hbar & & & & & & \cdots \\ & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & & & & & & \cdots \\ \hline & & & & 0 & -i\hbar & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & i\hbar & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & -i\hbar & \cdots \\ & & & & 0 & 0 & 0 & i\hbar & 0 & \cdots \\ \hline & & & & & & & & & \ddots \end{array} \right] \end{align*}$$

만약 \(l\)이 정해진 상태에서는 행렬 전체를 다룰 필요없이, 해당하는 block matrix만 사용하면 된다. 예를 들어 \(l=1\) 로 정해진 경우

\[ L_x = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 \end{bmatrix} \]

만 가지고 연산이 가능하다.

#Operations of Linear Operator on State Vector

Operator가 wave function에 작용하는 것은 행렬의 곱으로 표현된다. 예를 들어, wave function \(f(\theta,\phi) = \sin\theta \cos\phi\) 에 \(L_y\)를 작용하면, block matrix를 이용하여

$$ L_y f ~~~\longrightarrow~~~ \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\hbar & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\left( \frac{2\pi}{3} \right) ^{1/2} \\ 0 \\ \left( \frac{2\pi}{3} \right) ^{1/2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2}{\sqrt{3}}\hbar \\ 0 \end{bmatrix} ~~~ \longrightarrow ~~~ \frac{2}{\sqrt{3}}\hbar ~Y_1 ^0 $$

따라서

$$ L_y f = \frac{2}{\sqrt{3}}\hbar ~Y_1 ^0 $$

를 행렬을 이용해 쉽게 계산할 수 있다. 만약 \(\cos^2 \theta\)와 같이 여러 값의 \(l\)이 연산에 연관되는 경우 block matrix들을 선택해서 계산할 수 있다.

\[ \cos^2 \theta ~~~ \longrightarrow ~~~ \left[ \begin{array}{c} \sqrt{\frac{4\pi}{9}} \\ \hline 0 \\ 0 \\ \sqrt{\frac{16\pi}{45}} \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \begin{array}{l} {\scriptstyle \leftarrow~l=0~\text{block}} \\ \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \right\} {\scriptstyle ~l=2~\text{block}} \end{array} \]

\[ L_y ~~~\longrightarrow~~~ \left[ \begin{array}{c|ccccc} 0 & & & & & \\ \hline & 0 & -i\hbar & 0 & 0 & 0 \\ & i\hbar & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & 0 \\ & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 \\ & 0 & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}}\hbar & 0 & -i\hbar \\ & 0 & 0 & 0 & i\hbar & 0 \end{array} \right] \begin{array}{l} {\scriptstyle \leftarrow~l=0~\text{block}} \\ \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \right\} {\scriptstyle ~l=2~\text{block}} \\ ~ \end{array} \]

1. 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators 참고. [본문으로]
2. 4.2 동시 측정 Simultaneous Measurements: Compatible Observables 참고. [본문으로]
3. 4.3 사다리 연산자 Ladder Operators 참고. [본문으로]
4. 4.4 구면 조화 함수 Spherical Harmonics 참고. [본문으로]