[양자역학] 4.3 사다리 연산자 Ladder Operators

Angular momentum operator들의 commutation relation

$$ \begin{align*} [L_x,L_y] &= i\hbar L_z \\ [L_y,L_z] &= i\hbar L_x \\ [L_z,L_x] &= i\hbar L_y \\ [L^2,L_x] = [L^2,L_y] &= [L^2,L_z] = 0 \end{align*} $$

이므로 세 성분을 모두 동시에 측정할 수 없고, \(L^2\)와 한 성분만 동시에 측정할 수 있다. 보통

$$ L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} $$

로 하나의 변수에 대한 미분연산이 되므로 \(L^2\)와 \(L_z\)를 동시에 측정할 수 있는 operator로 선택한다. \(L^2\)와 \(L_z\)의 eigenvalue equation은 미분방정식을 푸는 방법과 ladder operator를 이용하는 방법이 있는데, 이번 페이지에서는 ladder operator를 이용하는 방법을 살펴본다.

 

#Ladder Operators

\(L^2\)의 eigenvalue를 \(\alpha\), \(L_z\)의 eigenvalue를 \(\beta\)로 가지는 eigenvector를 \(|\alpha,\beta\rangle\)이라고 하고

$$ \begin{align*} L^2 | \alpha,\beta\rangle &= \alpha ~|\alpha,\beta\rangle \\ \\ L_z |\alpha,\beta\rangle &= \beta |\alpha,\beta\rangle \end{align*} $$

여기에 다음과 같은 operator를 정의하자.

$$ \begin{align*} L_+ &= L_x + i L_y \\ \\ L_- &= L_x - i L_y \end{align*} $$

그러면, commutation relation을 얻는다.

$$ \begin{align*} [L_z,L_{\pm}] &= [L_z,L_x \pm i L_y] \\ &= [L_z,L_x] \pm i[L_z,L_y] \\ &= i\hbar L_y \pm \hbar L_x \\ &= \pm \hbar L_{\pm} \\ \\ [L^2,L_{\pm}] &= [L^2,L_x \pm i L_y] \\ &= [L^2,L_x] \pm i [L^2,L_y] \\ &= 0 \end{align*} $$

이 operator들이 eigenvector에 작용하면 어떻게 되는지 알아보기 위하여 다음을 계산하자.

$$ \begin{align*} L_z (L_{\pm}|\alpha,\beta\rangle) &= [L_z,L_{\pm}]|\alpha,\beta\rangle ~+~ L_{\pm}L_z|\alpha,\beta\rangle \\ &= \pm \hbar L_{\pm} |\alpha,\beta\rangle ~+~ \beta L_{\pm}|\alpha,\beta\rangle \\ &= (\beta \pm \hbar) L_{\pm} |\alpha,\beta\rangle \\ \\ L^2 (L_{\pm}|\alpha,\beta\rangle) &= L_{\pm}L^2|\alpha,\beta\rangle \\ &= \alpha L_{\pm}|\alpha,\beta\rangle \end{align*} $$ 

즉, \(L_+\)는 \(L^2\)의 eigenvalue는 그대로 둔채 \(L_z\)의 eigenvalue가 \(\hbar\)만큼 커진 eigenvector로 만드는 operator이고 \(L_-\)는 \(L^2\)는 그대로 둔채 \(L_z\)를 \(\hbar\)만큼 작아진 eigenvector로 만드는 operator라고 할 수 있다. 이러한 관점에서 \(L_+\)를 raising operator, \(L_-\)를 lowering operator, 합쳐서 ladder operator라고 부른다.

$$ \cdots ~~~\rightleftarrows~~~ |\alpha,\beta-2\hbar\rangle ~~~\overset{L_+}{\underset{L_-}{\rightleftarrows}}~~~ |\alpha,\beta-\hbar\rangle ~~~\overset{L_+}{\underset{L_-}{\rightleftarrows}}~~~ |\alpha,\beta\rangle ~~~\overset{L_+}{\underset{L_-}{\rightleftarrows}}~~~ |\alpha,\beta+\hbar\rangle ~~~\overset{L_+}{\underset{L_-}{\rightleftarrows}}~~~ |\alpha,\beta+2\hbar\rangle ~~~\rightleftarrows~~~ \cdots $$

계수까지 고려해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \begin{align*} L_+ |\alpha,\beta\rangle &= c_+(\alpha,\beta) |\alpha,\beta+\hbar\rangle \\ \\ L_- |\alpha,\beta\rangle &= c_-(\alpha,\beta) |\alpha,\beta-\hbar\rangle \end{align*} $$

 

#Eigenvalues of Angular Momentum Operators

고전적으로 \(L^2\)가 \(\alpha\)인데, \(z\)축 성분인 \(L_z\)가 무한히 커진다는 것은 물리적으로 불가능하다. \(L_z\)의 eigenvalue에는 최대값과 최소값이 존재한다는 것을 예측할 수 있다. 또는

$$ \langle \alpha,\beta | L^2 - L_z ^2 | \alpha,\beta \rangle = \langle \alpha,\beta | L_x ^2 + L_y ^2 | \alpha,\beta \rangle \ge 0 $$

이고 \(\langle \alpha,\beta | L^2 - L_z ^2 | \alpha,\beta \rangle = \alpha - \beta^2\)이므로

$$ \alpha \ge \beta^2 $$

즉, 고정된 \(\alpha\)에 대하여 \(\beta\)의 최대값 \(\beta_{\text{max}}\)와 최소값\(\beta_{\text{min}}\)이 존재한다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 \(\beta_{\text{max}}\)에서 더 올리려고 하면 (\(\beta_{\text{min}}\)에서는 더 내리려고 하면) zero-vector가 되어야 한다.

$$ \begin{align*} L_+ | \alpha,\beta_{\text{max}} \rangle &= 0 \\ \\ L_- | \alpha,\beta_{\text{min}} \rangle &= 0 \end{align*} $$

이 때,

$$ \begin{align*} L_- L_+ &= (L_x - i L_y) (L_x + i L_y) \\ &= L_x ^2 + L_y ^2 - i [L_y,L_x] \\ &= L^2 - L_z ^2 - \hbar L_z \\ \\ L_+ L_- &= (L_x + i L_y) (L_x - i L_y) \\ &= L_x ^2 + L_y ^2 + i [L_y,L_x] \\ &= L^2 - L_z ^2 + \hbar L_z \end{align*} $$

이므로 위 식에 각각 \(L_-\), \(L_+\)를 작용하면,

$$ \begin{align*} L_- L_+  | \alpha,\beta_{\text{max}} \rangle &= (L^2 - L_z ^2 - \hbar L_z)~| \alpha,\beta_{\text{max}} \rangle = 0 \\ \\ L_+ L_- | \alpha,\beta_{\text{min}} \rangle &= (L^2 - L_z ^2 + \hbar L_z)~| \alpha,\beta_{\text{min}} \rangle = 0 \end{align*} $$

따라서,

$$ \alpha = \beta_{\text{max}}(\beta_{\text{max}}+\hbar) = \beta_{\text{min}}(\beta_{\text{min}}-\hbar) $$

이 식을 풀면,

$$ \beta_{\text{max}} = -\beta_{\text{min}} $$

그리고 \(\beta_{\text{min}}\)에서 \(\beta_{\text{max}}\)까지 \(L_+\)를 \(n\) 단계가 걸린다면,

$$ \beta_\text{max} - \beta_{\text{min}} = \hbar n $$

즉,

$$ \beta_\text{max} = \frac{\hbar n}{2} ~~,~~ n=0,1,2,\cdots $$

그리고 

$$ \alpha = \hbar^2 \frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1) ~~,~~ n=0,1,2,\cdots$$

보통은 \(n\) 대신 \(l=n/2\)로 정의하여

$$ \alpha = \hbar^2 l (l+1) ~~,~~ l = 0, \frac{1}{2} , 1 ,\frac{3}{2} , \cdots $$

그리고 주어진 \(l\)에 대하여 \(m= -l , -l+\hbar , -l +2\hbar , \cdots , l-2\hbar, l-\hbar,l \)로 정의하여

$$ \beta = \hbar m $$

이 된다.

 

 

THEOREM            Eigenvalues of Angular Momentum Operators

$$ L^2 | l , m \rangle = \hbar^2 l (l+1)~| l,m \rangle ~~~,~~l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\cdots $$

주어진 \(l\)에 대하여,

$$ L_z | l,m \rangle = \hbar m | l,m \rangle ~~~,~~m=-l,-l+1, \cdots , l-1,l $$

 

수소원자에서 \(l\)은 azimuthal quantum number, \(m\)은 magnetic quantum number, 전자 spin의 \(m\)은 spin quantum number로 부른다.

 

Complete \(L_+\) and \(L_-\)

Eigenvector들의 계수들을 적당히 조정하여 orthonormal하다고 하자. \(L_+ | l,m \rangle = c_+(l,m) |l,m+1\rangle\)에서 \(c_+\)를 구하기 위하여

$$ \langle l,m | L_- L_+ | l,m \rangle = |c_+ (l,m) |^2 \langle l,m+1 | l,m+1 \rangle = | c_+ (l,m) |^2 $$

그리고,  

$$ L_- L_+ = L^2 - L_z ^2 - \hbar L_z $$

를 이용하면,

$$ | c_+(l,m) |^2 = \hbar^2 (l-m)(l+m+1) $$

보통은 양의 실수를 택해

$$ c_+(l,m) = \hbar \sqrt{(l-m)(l+m+1)} $$

를 얻는다. 같은 방식으로 \(c_-(l,m)\)도 구할 수 있다. 종합하면,

$$ \begin{align*} L_+ |l,m\rangle &= \hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)} ~|l,m+1\rangle \\ \\ L_- |l,m\rangle &= \hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)} ~|l,m-1\rangle \end{align*} $$