[양자역학] 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators

Angular momentum에 대한 이론은 대학원 양자역학 수업의 절반을 차지할 정도로 중요한 주제이다. 또한, --classical, Noether theorem--에서 본 것과 같이 spherical symmetry를 가진 시스템은 angular momentum이 보존된다는 점으로부터 양성자의 Coulomb potential 하에서 전자의 운동으로 표현되는 수소 원자를 푸는데도 사용이 된다. 이번 페이지부터 angular momentum에 대한 양자역학 이론을 살펴본다.

#Angular Momentum Operators

고전적으로 angular momentum은

$$\overrightarrow{l}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$$

로부터

$$\begin{array}{rl}{l}_x& =y{p}_z-z{p}_y\\ l_y& =z{p}_x-x{p}_z\\ l_z& =x{p}_y-y{p}_x\end{array}$$

를 얻는다. 이를 양자역학 operator로 변환하기 위하여

$$\begin{array}{rlrl}x& \to X=x& p_x& \to P_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\\ y& \to Y=y& p_y& \to P_y=-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}\\ z& \to Z=z& p_z& \to P_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}\end{array}$$

를 대입하면 (주의!! 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators에서 언급한 것처럼, $xp$와 같이 고전적 변수가 곱해진 경우 $XP$와 $PX$가 다르므로 단순히 대입만 하면 안된다. 여기에서는 $[Y,P_z]=0$, 즉 $Y{P}_z$와 $P_{z}Y$가 같으므로 단순대입이 가능)

$$\begin{array}{rl}{L}_x& =-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})\\ L_y& =-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})\\ L_z& =-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})\end{array}$$

이를 spherical coordinates로 바꾸기 위해,

Andeggs / Public domain via Wikimedia

$$\begin{array}{rlrl}x& =r\sin \theta \cos \varphi & r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ y& =r\sin \theta \sin \varphi & \theta & ={\tan }^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ z& =\cos \theta & \varphi & ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}\end{array}$$

와 chain rule

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

를 이용하면,

$$\frac{\partial }{\partial x}=\sin \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta \cos \varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

같은 방식으로

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial y}& =\sin \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta \sin \varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \frac{\partial }{\partial z}& =\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin \theta }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\end{array}$$

이를 angular momentum operator들에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{L}_x& =-i\hslash (-\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })\\ L_y& =-i\hslash (\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })\\ L_z& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}$$

또한, $L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$으로 정의하면,

$$L^2=-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]$$

를 얻는다.

#Commutator Relations

First quantization $[X_l,P_m]=i\hslash \delta lm$과 commutator의 성질^[각주:1]로부터 commutator

$$\begin{array}{rl}[L_x,L_y]& =[Y{P}_z-Z{P}_y,Z{P}_x-X{P}_z]\\ & =[Y{P}_z-Z{P}_y,Z{P}_x]-[Y{P}_z-Z{P}_y,X{P}_z]\\ & =[Y{P}_z,Z{P}_x]-[Z{P}_y,Z{P}_x]-[Y{P}_z,X{P}_z]+[Z{P}_y,X{P}_z]\\ & =Y[P_z,Z]P_x-0-0P_{y}X[Z,P_z]\\ & =i\hslash (Y{P}_x-X{P}_y)\\ & =i\hslash L_z\end{array}$$

를 얻는다. 같은 방식으로

$$\begin{array}{rl}[L_y,L_z]& =i\hslash L_x\\ [L_z,L_x]& =i\hslash L_y\end{array}$$

또한,

$$\begin{array}{rl}[L^2,L_x]& =[L_y^2,L_x]+[L_z^2,L_x]\\ & =L_y[L_y,L_x]+[L_y,L_x]L_y+L_z[L_z,L_x]+[L_z,L_x]L_z\\ & =-i\hslash L_y{L}_z-i\hslash L_z{L}_y+i\hslash L_z{L}_y+i\hslash L_x{L}_z\\ & =0\end{array}$$

이러한 commutator relation들을 정리하기 위해 Levi-Civita symbol

$${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cl}1& \text{if }(i,j,k)=(1,2,3)\text{ or }(2,3,1)\text{ or }(3,1,2)\\ -1& \text{if }(i,j,k)=(1,3,2)\text{ or }(2,1,3)\text{ or }(3,2,1)\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

를 사용하면,

THEOREM            Commutator Relations of Angular Momentum Operators

$$\begin{array}{rl}[L_l,L_m]& =\sum _{n=1}^{3}i\hslash {ϵ}_{lmn}{L}_n\\ [L^2,L_n]& =0\end{array}$$

책에 따라 첫번째 식에서 $\sum$을 빼고 쓰기도 한다.

1. 3.3 교환자 Commutator 참고. [본문으로]