[양자역학] 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators

Angular momentum에 대한 이론은 대학원 양자역학 수업의 절반을 차지할 정도로 중요한 주제이다. 또한, --classical, Noether theorem--에서 본 것과 같이 spherical symmetry를 가진 시스템은 angular momentum이 보존된다는 점으로부터 양성자의 Coulomb potential 하에서 전자의 운동으로 표현되는 수소 원자를 푸는데도 사용이 된다. 이번 페이지부터 angular momentum에 대한 양자역학 이론을 살펴본다.

#Angular Momentum Operators

고전적으로 angular momentum은

$$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$

로부터

$$ \begin{align*} l_x &= y p_z - z p_y \\ l_y &= z p_x - x p_z \\ l_z &= x p_y - y p_x \end{align*} $$

를 얻는다. 이를 양자역학 operator로 변환하기 위하여

$$ \begin{align*} x &\to X=x & p_x &\to P_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \\ y &\to Y=y & p_y &\to P_y = -i\hbar \frac{\partial}{\partial y} \\ z &\to Z=z & p_z &\to P_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial z} \end{align*} $$

를 대입하면 (주의!! 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators에서 언급한 것처럼, \(xp\)와 같이 고전적 변수가 곱해진 경우 \(XP\)와 \(PX\)가 다르므로 단순히 대입만 하면 안된다. 여기에서는 \([Y,P_z]=0\), 즉 \(YP_z\)와 \(P_zY\)가 같으므로 단순대입이 가능)

$$ \begin{align*} L_x &= -i\hbar \left( y\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial y} \right) \\ L_y &= -i\hbar \left( z\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial z} \right) \\ L_z &= -i\hbar \left( x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x} \right) \end{align*} $$

이를 spherical coordinates로 바꾸기 위해,

Andeggs / Public domain via Wikimedia

$$ \begin{align*} x &= r \sin\theta \cos\phi & r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ y &= r \sin\theta \sin\phi & \theta &= \tan^{-1} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ z &= \cos\theta & \phi &= \tan^{-1} \frac{y}{x} \end{align*} $$

와 chain rule

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \phi} $$

를 이용하면,

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \sin\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta \cos\phi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} $$

같은 방식으로

$$ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial y} &= \sin\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta \sin\phi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \\ \frac{\partial}{\partial z} &= \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{align*} $$

이를 angular momentum operator들에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} L_x &= -i\hbar \left( -\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \\ L_y &= -i\hbar \left( \cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \\ L_z &= -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} \end{align*} $$

또한, \(L^2 = L_x ^2 + L_y ^2 + L_z ^2\)으로 정의하면,

$$ L^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right] $$

를 얻는다.

#Commutator Relations

First quantization \([X_l,P_m]=i\hbar\delta{lm}\)과 commutator의 성질^[각주:1]로부터 commutator

$$ \begin{align*} [L_x,L_y] &= [YP_z - ZP_y,ZP_x-XP_z] \\ &= [YP_z - ZP_y,ZP_x]-[YP_z - ZP_y,XP_z] \\ &= [YP_z,ZP_x] - [ZP_y,ZP_x] - [YP_z,XP_z] + [ZP_y,XP_z] \\ &= Y[P_z,Z]P_x - 0 - 0 P_yX[Z,P_z] \\ &= i\hbar (YP_x - XP_y) \\ &= i\hbar L_z \end{align*} $$

를 얻는다. 같은 방식으로

$$ \begin{align*} [L_y,L_z] &= i\hbar L_x \\ [L_z,L_x] &= i\hbar L_y \end{align*} $$

또한,

$$ \begin{align*} [L^2 , L_x] &= [L_y^2 , L_x ] + [L_z ^2,L_x] \\ &= L_y [L_y,L_x] + [L_y,L_x]L_y + L_z[L_z,L_x] + [L_z,L_x]L_z \\ &= -i\hbar L_y L_z -i\hbar L_z L_y + i\hbar L_z L_y + i\hbar L_xL_z \\ &= 0 \end{align*} $$

이러한 commutator relation들을 정리하기 위해 Levi-Civita symbol

$$ \epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{if } (i,j,k)=(1,2,3) \text{ or } (2,3,1) \text{ or } (3,1,2) \\ -1 & \text{if } (i,j,k)=(1,3,2) \text{ or } (2,1,3) \text{ or } (3,2,1) \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

를 사용하면,

THEOREM            Commutator Relations of Angular Momentum Operators

$$ \begin{align*} [L_l,L_m] &= \sum_{n=1} ^3 i\hbar\epsilon_{lmn} L_n \\ [L^2, L_n] &= 0 \end{align*} $$

책에 따라 첫번째 식에서 \(\sum\)을 빼고 쓰기도 한다.

1. 3.3 교환자 Commutator 참고. [본문으로]