[양자역학] 4.2 동시 측정 Simultaneous Measurements: Compatible Observables

고전역학에서 중력이나 전기장 같은 central force 하에서 물체의 energy를 구하기 위해 angular momentum의 성분 \(l_x\), \(l_y\), \(l_z\)를 알면, \(l^2\)를 알 수 있으므로 energy를 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 angular momentum의 세 성분을 동시에 측정하는 것이 불가능하다. 이는 Heisenberg's uncertainty principle에서 position과 momentum을 동시에 정확히 측정하는 것이 불가능하다는 것과 동일한 이유이다. 어떤 observable(측정가능한 물리량)들은 이런 식으로 동시에 측정하는 것이 불가능한가 하면, 어떤 observable들은 동시에 측정하는 것이 가능하다. 예를 들어, 2.2 자유 입자 A Free Particle ①에서 energy와 momentum은 동시에 측정이 가능하다. 그러나 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator에서 energy와 momentum은 동시에 측정 불가능하다. 어떤 기준으로 동시 측정 가능한 것과 불가능한 것을 판단할 수 있을까? 이번 페이지에서는 observable들의 동시 측정의 문제에 대하여 알아본다.

#Compatible Observables

두 observable이 서로 commute한 경우, compatible하다고 부른다. 책에 따라, compatible 개념없이 그냥 commute하다고 하는 경우가 많다.

DEFINITION            Compatible Observables

Observable \(A\)와 \(B\)가 \([A,B]=0\)인 경우 \(A\)와 \(B\)는 compatible하다고 한다.

우리의 목표는 compatible한 observable은 동시에 측정 가능하다는 것을 살펴보는 것이다. 이러한 내용은 일반화된 uncertainty principle에 압축되어 있다.^[각주:1]

$$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \ge \left| \frac{1}{2i} \langle \psi | [A,B] | \psi \rangle \right|^2$$

식에서 볼 수 있는 것처럼 observable이 compatible하지 않으면, \(A\)와 \(B\)의 오차를 둘다 0으로 만드는 것이 불가능하다.

Uncertainty principle은 본질적으로 측정에서 wave function collapse에 기인한다. \(A\)를 측정하면, 측정값으로 eigenvalue가 나오고 wave function은 eigenvector로 collapse한다는 것이다. 더 자세히 말하면, \(A\)의 eigenvalue, eigenvector 쌍이

$$ A: (\text{eigenvalue},\text{eigenvector}) = (a_1, |\alpha_1\rangle) ~,~ (a_2,|\alpha_2\rangle) ~,~ (a_3,|\alpha_3\rangle) ~,~ \cdots $$

라고 하면, wave function \(|f\rangle\)에 \(A\)를 측정하면,

$$ |f\rangle = \sum_i f_i ~|\alpha_i\rangle $$

중 \(f_i \ne 0\)인 \(i\)값 중에서 하나가 선택되어 \(a_i\)가 측정이 되고, wave function은 \(|f\rangle\)에서 \(f_i~|\alpha_i\rangle\)로 변한다. 여기에서 다시 \(B\)를 측정하는 경우 \(B\)의 eigenvalue, eigenvector 쌍이

$$ B: (\text{eigenvalue},\text{eigenvector}) = (b_1, |\beta_1\rangle) ~,~ (b_2,|\beta_2\rangle) ~,~ (b_3,|\beta_3\rangle) ~,~ \cdots $$

라고 하면, \(|\alpha_i\rangle\)을

$$ |\alpha_i\rangle = \sum_j c_j ~|\beta_j\rangle $$

에서 \(c_j \ne 0\)인 \(j\)값 중에서 하나가 선택되어 \(b_j\)가 측정되고, wave function은 \(|\beta_j\rangle\)로 변한다. 여기에서 다시 \(A\)를 측정하는 경우 다시 \(|\beta_j\rangle\)을 전개하여

$$ |\beta_j\rangle = \sum _k d_k ~|\alpha_k\rangle $$

에서 \(d_k \ne 0\)인 \(k\)값 중에서 하나가 선택되어 같은 과정으로 wave function collapse가 일어난다.

[선형대수학] 3.5 Simultaneously Diagonalizable, Commutator에 의하면 \(A\)와 \(B\)가 compatible하다면, \(A\)와 \(B\)의 행렬표현이 동시에 diagonalized하도록 하는 basis가 존재한다. 행렬표현이 동시에 diagonalized되려면 basis가 \(A\)와 \(B\)에 동시에 eigenvector이어야 한다. 따라서 basis vector \(| \alpha_i , \beta_j \rangle\)이

$$ \begin{align*} A | \alpha_i , \beta_j \rangle &= a_i | \alpha_i , \beta_j \rangle \\ \\ B | \alpha_i , \beta_j \rangle &= b_j | \alpha_i , \beta_j \rangle \end{align*} $$

를 만족하도록 잡을 수 있다. 이제 wave function \(|f\rangle\)에서 \(A\)를 측정하면,

$$ |f\rangle = \sum _{i,j} f_{ij} ~|\alpha_i,\beta_j\rangle $$

중 \(f_{ij} \ne 0\)인 \(i\)들 중 하나가 선택되어 \(a_i\)가 측정되고, wave function은 \(|f\rangle\)에서 \(\sum_j f_{ij}~ |\alpha_i,\beta_j\rangle\)로 변한다. 여기에 \(B\)를 측정하면, \(f_{ij} \ne 0\)인 \(j\)들 중 하나가 선택되어 \(b_j\)가 측정되고 wave function은 \(|\alpha_i,\beta_j\rangle\)로 변한다. 이제 다시 \(A\)를 측정하면, collapse된 wave function이 이미 \(A\)의 eigenvector이므로 원래의 측정값 \(a_i\)가 측정된다.

즉, 핵심은 \([A,B]=0\)인 경우 연속으로 측정된 후 collapse된 wave functino은 \(A\)의 eigenvector이지만, \([A,B]\ne0\)인 경우에는 그렇지 않다는 것이 핵심이다. 예를 들어, momentum operator \(P\)의 eigenvector \(e^{ikx}\)는 position operator의 eigenvector가 될 수 없기 때문에, \(X\)를 측정하고 \(P\)를 측정하면, wave function이 \(e^{ikx}\)로 collapsed되어 다시 \(X\)를 측정하면, 원래의 \(x\) 값이 될 확률이 거의 없게 된다. 그래서 정리하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

THEOREM            Simultaneous Measurement

Observable \(A\)와 \(B\)에 대하여 다음은 동등하다.

     ① \(A\)와 \(B\)가 compatible하다. 즉, \([A,B]=0\)

     ② \(A\)와 \(B\)의 행렬표현이 동시에 diagonalize(대각화)되도록 하는 basis가 존재한다.

     ③ \(A\)와 \(B\)는 동시에 측정 가능하다.

1. 일반화된 uncertainty principle의 증명은 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle 참고. [본문으로]