(선형대수학) 3.5 Simultaneously Diagonalizable, Commutator

Simultaneously Diagonalizable

 

2개의 diagonalizable linear operator가 주어졌을 경우, 두 linear operator의 matrix 표현이 동시에 diagonal matrix가 되도록 basis를 선택할 수 있는지가 문제가 된다.

 

DEFINITION            Simultaneously Diagonalizable Operators

 

Finite vector space \(V\)의 diagonalizable linear operator \(A\)와 \(B\)가 matrix representation이 모두 diagonal matrix인 basis가 존재하는 경우 \(A\)와 \(B\)는 simultaneously diagonalizable하다고 부른다.

 

선형대수학 정리에 의하면, 동시대각화의 문제는 linear operator의 교환가능의 문제로 치환된다.

 

THEOREM            The Property of Simultaneously Diagonalizable Operators

 

\(A\)와 \(B\)가 simultanously diagonalizable \(\Longleftrightarrow\) \(AB=BA\) 또는 \(AB-BA=0\)

 

이를 증명하는 것은 (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition의 결론을 이용하면 쉽다.

 

① \(A\)와 \(B\)가 simultaneously diagonalizable하다면, \(A\)의 eigenvalue \(\alpha_i\)와 \(B\)의 eigenvalue \(\beta_j\)에 대하여 다음을 만족하는 subspace \(W_{ij}\)가 존재한다.

 

만약 \(\mathbf{w}\in W_{ij}\)이면,

$$ A\mathbf{w}=\alpha_i \mathbf{w} $$

$$ B\mathbf{w}=\beta_j \mathbf{w} $$

또한

$$ V=\bigoplus_{i,j}W_{ij} $$

그리고

$$ \begin{eqnarray} A & = & \sum_{i,j} \alpha_i P_{ij} \\ \\ B & = & \sum_{l,m} \beta_m P_{lm} \\ \\ P_{ij}P_{lm} & = & \delta_{il}\delta_{jm}P_{ij} \\ \\ I & = & \sum{i,j}P_{ij} \end{eqnarray} $$

를 만족하는 projection operator가 존재한다. 3번째 식으로부터 projection은 commute함을 알 수 있다.

$$ P_{ij}P_{lm}=P_{lm}P_{ij} $$

따라서

$$ AB=\left( \sum_{i,j} \alpha_i P_{ij} \right)\left( \sum_{l,m} \beta_m P_{lm} \right) = \left( \sum_{l,m} \beta_m P_{lm} \right)\left( \sum_{i,j} \alpha_i P_{ij} \right)=BA $$

이므로

$$ AB=BA $$

이다.

 

② \(A\)와 \(B\)는 각각 diagonalizable하므로

$$ A=\sum_i \alpha_i A_i $$

$$ B=\sum_j \beta_j B_j $$

인 projection operator \(A_i\)와 \(B_j\)가 존재한다. 1번과 다른점은 \(A_i\)로 결정되는 subspace가 \(A\)에 대해서는 eigenspace이지만 \(B\)에 대해서는 eigenspace가 아니라는 점이다. 이제 새로운 operator \(P_{ij}\)를

$$ P_{ij}=A_iB_j $$

로 정의하자. \(AB=BA\)이므로 \(A_iB_j=B_jA_i\)이다. 따라서

$$ P_{ij} ^2 = A_iB_jA_iB_j=A_iA_iB_jB_j=A_iB_j=P_{ij} $$

즉, \(P_{ij}\)는 projection operator이다. 게다가

$$ \sum_j P_{ij}=\sum_j A_iB_j=A_i\left(\sum_j B_j \right)=A_i $$

$$ \sum_i P_{ij}=\sum_i A_iB_j=B_j\left(\sum_i B_i \right)=B_j $$

이므로

$$ A=\sum_{i,j} \alpha_i P_{ij} $$

$$ B=\sum_{i,j} \beta_j P_{ij} $$

가 된다. 그러므로 \(P_{ij}\)에 의해 결정되는 subspace는 \(A\)에 대해서 eigenspace이면서 동시에 \(B\)에 대해서도 eigenspace가 된다. 또한

$$ \sum_i \sum_j P_{ij} = \sum_i A_i=I $$

이므로 \(V\)는 이 subspace들의 direct sum이 된다. 따라서 \(V\)의 basis를 이 eigenspace의 basis로 구성하면 \(A\)와 \(B\)는 위의 식에 의해 동시에 diagonal matrix 표현을 얻게된다.

 

 

증명과정에서 볼 수 있듯이 simultaneously diagonalization은 vector space를 \(A\)의 eigenspace와 \(B\)의 eigenspace로 각각 나누었던 것을 \(P_{ij}\)를 이용해 더 잘게 나누는 것으로 이해할 수 있다. 그리고 이렇게 잘게 나누는 것은 \(A\)와 \(B\)가 \(AB=BA\) 또는 \(AB-BA=0\)을 만족하는 경우 가능하다.

 

 

Commutator

 

양자역학에서는 2개의 linear operator를 동시에 대각화하는 문제가 중요하다. 그래서 동시 대각화문제와 동치인 \(AB-BA=0\)이 되는 문제 역시 중요하게 다뤄진다. 특별히 이 식을 다음과 같이 정의 한다.

 

DEFINITION            Commutator of Linear Operators

 

Vector space \(V\)의 linear operator \(A\)와 \(B\)에 대하여, linear operator \([A,B]\)를

$$ [A,B]=AB-BA $$

로 정의한다.

 

Commutator는 다음과 같은 기본적인 특징을 가진다.

 

1. \([A+B,C]=[A,C]+[B,C]\)

 

2. \([A,A]=0\)

 

3. \([A,B]=-[B,A]\)

 

4. \([A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0\) (Jacobi identity라고 부른다.)

 

사실 이러한 특징을 가지는 것이 commutator만 있는 것은 아니다. 예를 들어, 고전역학에서 사용되는 Poisson bracket

$$ \{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial x} $$

역시 위의 특징을 가진다. 이러한 연산은 Lie algebra라고 하는 수학 분야에서 더 자세히 다룬다. ((---page link---) 참고)