(선형대수학) 3.5 Simultaneously Diagonalizable, Commutator

Simultaneously Diagonalizable

 

2개의 diagonalizable linear operator가 주어졌을 경우, 두 linear operator의 matrix 표현이 동시에 diagonal matrix가 되도록 basis를 선택할 수 있는지가 문제가 된다.

 

DEFINITION            Simultaneously Diagonalizable Operators

 

Finite vector space $V$의 diagonalizable linear operator $A$와 $B$가 matrix representation이 모두 diagonal matrix인 basis가 존재하는 경우 $A$와 $B$는 simultaneously diagonalizable하다고 부른다.

 

선형대수학 정리에 의하면, 동시대각화의 문제는 linear operator의 교환가능의 문제로 치환된다.

 

THEOREM            The Property of Simultaneously Diagonalizable Operators

 

$A$와 $B$가 simultanously diagonalizable $⟺$ $AB=BA$ 또는 $AB-BA=0$

 

이를 증명하는 것은 (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition의 결론을 이용하면 쉽다.

 

① $A$와 $B$가 simultaneously diagonalizable하다면, $A$의 eigenvalue ${\alpha }_i$와 $B$의 eigenvalue ${\beta }_j$에 대하여 다음을 만족하는 subspace $W_{ij}$가 존재한다.

 

만약 $\mathbf{w}\in W_{ij}$이면,

$$A\mathbf{w}={\alpha }_i\mathbf{w}$$

$$B\mathbf{w}={\beta }_j\mathbf{w}$$

또한

$$V=\underset{i,j}{⨁}{W}_{ij}$$

그리고

$$\begin{array}{rcl}A& =& \sum _{i,j}{\alpha }_i{P}_{ij}\\ \\ B& =& \sum _{l,m}{\beta }_m{P}_{lm}\\ \\ P_{ij}{P}_{lm}& =& {\delta }_{il}{\delta }_{jm}{P}_{ij}\\ \\ I& =& \sum i,j{P}_{ij}\end{array}$$

를 만족하는 projection operator가 존재한다. 3번째 식으로부터 projection은 commute함을 알 수 있다.

$$P_{ij}{P}_{lm}=P_{lm}{P}_{ij}$$

따라서

$$AB=\left(\sum _{i,j}{\alpha }_i{P}_{ij}\right)\left(\sum _{l,m}{\beta }_m{P}_{lm}\right)=\left(\sum _{l,m}{\beta }_m{P}_{lm}\right)\left(\sum _{i,j}{\alpha }_i{P}_{ij}\right)=BA$$

이므로

$$AB=BA$$

이다.

 

② $A$와 $B$는 각각 diagonalizable하므로

$$A=\sum _i{\alpha }_i{A}_i$$

$$B=\sum _j{\beta }_j{B}_j$$

인 projection operator $A_i$와 $B_j$가 존재한다. 1번과 다른점은 $A_i$로 결정되는 subspace가 $A$에 대해서는 eigenspace이지만 $B$에 대해서는 eigenspace가 아니라는 점이다. 이제 새로운 operator $P_{ij}$를

$$P_{ij}=A_i{B}_j$$

로 정의하자. $AB=BA$이므로 $A_i{B}_j=B_j{A}_i$이다. 따라서

$$P_{ij}^2=A_i{B}_j{A}_i{B}_j=A_i{A}_i{B}_j{B}_j=A_i{B}_j=P_{ij}$$

즉, $P_{ij}$는 projection operator이다. 게다가

$$\sum _j{P}_{ij}=\sum _j{A}_i{B}_j=A_i\left(\sum _j{B}_j\right)=A_i$$

$$\sum _i{P}_{ij}=\sum _i{A}_i{B}_j=B_j\left(\sum _i{B}_i\right)=B_j$$

이므로

$$A=\sum _{i,j}{\alpha }_i{P}_{ij}$$

$$B=\sum _{i,j}{\beta }_j{P}_{ij}$$

가 된다. 그러므로 $P_{ij}$에 의해 결정되는 subspace는 $A$에 대해서 eigenspace이면서 동시에 $B$에 대해서도 eigenspace가 된다. 또한

$$\sum _i\sum _j{P}_{ij}=\sum _i{A}_i=I$$

이므로 $V$는 이 subspace들의 direct sum이 된다. 따라서 $V$의 basis를 이 eigenspace의 basis로 구성하면 $A$와 $B$는 위의 식에 의해 동시에 diagonal matrix 표현을 얻게된다.

 

 

증명과정에서 볼 수 있듯이 simultaneously diagonalization은 vector space를 $A$의 eigenspace와 $B$의 eigenspace로 각각 나누었던 것을 $P_{ij}$를 이용해 더 잘게 나누는 것으로 이해할 수 있다. 그리고 이렇게 잘게 나누는 것은 $A$와 $B$가 $AB=BA$ 또는 $AB-BA=0$을 만족하는 경우 가능하다.

 

 

Commutator

 

양자역학에서는 2개의 linear operator를 동시에 대각화하는 문제가 중요하다. 그래서 동시 대각화문제와 동치인 $AB-BA=0$이 되는 문제 역시 중요하게 다뤄진다. 특별히 이 식을 다음과 같이 정의 한다.

 

DEFINITION            Commutator of Linear Operators

 

Vector space $V$의 linear operator $A$와 $B$에 대하여, linear operator $[A,B]$를

$$[A,B]=AB-BA$$

로 정의한다.

 

Commutator는 다음과 같은 기본적인 특징을 가진다.

 

1. $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$

 

2. $[A,A]=0$

 

3. $[A,B]=-[B,A]$

 

4. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$ (Jacobi identity라고 부른다.)

 

사실 이러한 특징을 가지는 것이 commutator만 있는 것은 아니다. 예를 들어, 고전역학에서 사용되는 Poisson bracket

$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial x}$$

역시 위의 특징을 가진다. 이러한 연산은 Lie algebra라고 하는 수학 분야에서 더 자세히 다룬다. ((---page link---) 참고)