(선형대수학) 3.4-(1) Example: Diagonalization of Matrices

\(n\times n\) matrix는 \(n\)-dimensional vector space의 linear operator를 특정 basis에서 표현하는 것이므로 지금까지 했던 linear operator에 대한 논의는 matrix에도 그대로 적용된다. 예제를 통해 행렬이 어떻게 대각화가 되는지 살펴보자.

 

다음과 같은 \(3\times 3\) matrix

$$ A=\begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix} $$

를 생각해보자. 이 matrix의 eigenvalue를 구하기 위해, characteristic polynomial((선형대수학) 3.1 Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace 참고) \(f\)를 구하면

$$ f(x)=\det{(xI-A)}=(x-1)(x-2)^2 $$

이다. 따라서 \(A\)의 eigenvalue는 1과 2이다. 만약 \(n\times n\) matrix이 \(n\)개의 구별되는 eigenvalue를 가지면 그것만으로 diagonalizable하다는 것을 알 수 있다. 그러나 \(A\)는 2개의 구별되는 eigenvalue를 가지므로 우선 \(A\)가 diagonalizable인지 확인해야 한다. 이를 위해 polynomial

$$ p(x)=(x-1)(x-2) $$

가 minimal polynomial((선형대수학) 3.4 Minimal Polynomial 참고)인지 확인하면,

$$ p(A)=(A-I)(A-2I)=0 $$

이므로 Cayley-Hamilton theorem((선형대수학) 3.4 Minimal Polynomial 참고)에 의해 \(p\)가 minimal polynomial이 된다.(1차 polynomial은 \(A\)가 identity와 similar하지 않다는 것으로부터 자연스럽게 배제된다.)

 

Diagonalizable matrix의 characteristic polynomial에서 인수의 차수가 곧바로 eigenspace의 dimension이 됨을 보았으므로((선형대수학) 3.2 Diagonalizable Operators 참고) eigenvalue 1에 대한 eigenspace는 dimension이 1이고 2에 대한 eigenspace는 dimension이 2임을 알 수 있다. 따라서 \(A\)의 diagonal form에서 1은 한 번, 2는 두 번 나타난다. 즉,

$$ B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

가 된다. (1과 2의 위치가 다른 matrix 역시 diagonal form이 된다. 중요한 것은 1과 2가 몇 번 나타나느냐 이다.)

 

 

\(A\)와 \(B\)는 한 linear operator에 대한 matrix 표현들이므로 \(A\)와 \(B\)는 similar하다. 즉,

$$ B=RAR^{-1} $$

인 invertible matrix \(R\)이 존재한다.((선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations 참고) 이를 구하기 위해서는 linear operator를 \(A\)로 표현하는데 사용한 basis \(\mathcal{B}\)와 \(B\)로 표현하는데 사용한 basis \(\mathcal{C}\)를 알아야 한다. 우선,

$$ \mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} $$

라고 하자. \(\mathcal{C}\)를 구하기 위해, eigenvector를 구하면,

 

① eigenvalue 1에 대하여

$$ \begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$

에서

$$ -x+3y-z=x $$

$$ -3x+5y-z=y $$

$$ -3x+3y+z=z $$

를 만족하는 \((x,y,z)\)는

$$ (x,y,z)=(a,a,a) $$

가 된다. 이 중에서 \(a=1\)을 택하면(이 eigenspace의 dimension은 1이므로 아무 값이나 하나만 택하면 된다) eigenvector의 \(\mathcal{B}\)에서의 matrix 표현이

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$

라는 것이므로

$$ \mathbf{f}_1 = \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3 $$

가 된다.

 

② eigenvalue 2에 대하여

$$ \begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$

에서

$$ -x+3y-z=2x $$

$$ -3x+5y-z=2y $$

$$ -3x+3y+z=2z $$

를 만족하는 \((x,y,z)\)는

$$ (x,y,z)=(a,b,-3a+3b) $$

가 된다. (이로부터 eigenspace의 dimension이 2임을 다시 확인할 수 있다.) Linearly independent한 eigenvector 2개를 얻기 위해 우선 \(a=1\), \(b=0\)을 택하면

$$ \mathbf{f}_2 = \mathbf{e}_1-3\mathbf{e}_3 $$

그리고 \(a=0\), \(b=1\)을 택하면

$$ \mathbf{f}_3 = \mathbf{e}_2+3\mathbf{e}_3 $$

를 얻는다.

 

그러므로 diagonal form을 만들기 위한 basis를

$$ \mathcal{C}=\{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3\} $$

$$ \mathbf{e}_1=3\mathbf{f}_1-2\mathbf{f}_2-3\mathbf{f}_3 $$

$$ \mathbf{e}_2=-3\mathbf{f}_1+3\mathbf{f}_2+4\mathbf{f}_3 $$

$$ \mathbf{e}_3=\mathbf{f}_1-\mathbf{f}_2-\mathbf{f}_3 $$

로 설정할 수 있다. (선형대수학) 1.4 Coordinate Representation의 논의로부터

$$ R=\begin{bmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -2 & 3 & -1 \\ -3 & 4 & -1 \end{bmatrix} $$

을 얻을 수 있다. (만약 \(B\)를 \((1,2,2)\)가 아니라 \((2,1,2)\)의 형태로 잡았다면, \(R\) 역시 첫 번째 행과 두 번째 행이 바뀐 형태로 나타날 것이다.)