(선형대수학) 3.2 Diagonalizable Operators

Property of Eigenspaces

 

Finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$의 (값이 다른) eigenvalue들을 $c_1$, $c_2$, ..., $c_k$라고 하자.(즉, $i\ne j$이면, $c_i\ne c_j$) Vector ${\mathbf{v}}_i$와 ${\mathbf{v}}_j$를 각각 eigenvalue $c_i$와 $c_j$에 대한 eigenvector라고 하면, 이 vector들은 linearly independent하다. 이를 증명하기 위해서,

$$f_i(x)=\frac{x-c_j}{c_i-c_j}$$

$$f_j(x)=\frac{x-c_i}{c_j-c_i}$$

라고 하자. 만약

$${\alpha }_i{\mathbf{v}}_i+{\alpha }_j{\mathbf{v}}_j=\mathbf{0}$$

이면,

$$\mathbf{0}=f_i(T)\mathbf{0}=f_i(T)({\alpha }_i{\mathbf{v}}_i+{\alpha }_j{\mathbf{v}}_j)={\alpha }_i{f}_i(T){\mathbf{v}}_i+{\alpha }_j{f}_i(T){\mathbf{v}}_j={\alpha }_i{\mathbf{v}}_i$$

이므로 ${\alpha }_i=0$이다. 같은 방식으로

$$\mathbf{0}=f_j(T)({\alpha }_i{\mathbf{v}}_i+{\alpha }_j{\mathbf{v}}_j)={\alpha }_j{\mathbf{v}}_j$$

로부터 ${\alpha }_j=0$이다. 따라서 ${\mathbf{v}}_i$와 ${\mathbf{v}}_j$는 linearly independent하다. 그러므로 $c_i$와 $c_j$에 대한 eigenspace를 각각 $W_i$, $W_j$라 하고 basis를 ${\mathcal{B}}_i$, ${\mathcal{B}}_j$라고 하면, ${\mathcal{B}}_i\cup {\mathcal{B}}_j$는 linearly independent하므로(이를 간단히 $W_i$와 $W_j$가 linearly independent하다고 부른다) $W_i$와 $W_j$로 span되는 subspace $W$의 basis는

$$\mathcal{B}={\mathcal{B}}_i\cup {\mathcal{B}}_j$$

가 된다. 따라서

$$\dim (W)=\dim (W_i)+\dim (W_j)$$

를 만족한다. 이 특징은 (선형대수학) 3.3 Direct Sum Decomposition에서 다시 정의될 것이다.

 

 

Diagonalizable Operators

 

Linear operator $T$를 matrix 표현

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right]$$

로 표현하는 것은

$$T{\mathbf{e}}_k=a_k{\mathbf{e}}_k$$

를 만족하는 basis $\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\}$를 찾는 것과 같다. 이러한 basis를 찾을 수 있는 경우 linear operator는 diagonalizable하다고 한다.

 

DEFINITION            Diagonalizable (Finite Dimension)

 

Finite dimensional vector space $V$의 모든 basis vector가 linear operator $T$의 eigenvector인 basis가 존재하면 $T$를 diagonalizable하다고 부른다.

 

$T$가 diagonalizable한 경우 basis의 순서를 적절히 조절하여 같은 eigenvalue들이 연속적으로 나오게 만들 수 있다. 예를 들어, $c_1$에 대한 eigenspace의 dimension이 2이면,

$$\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& c_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& c_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & c_k\end{array}\right]$$

로 표현된다. 따라서, diagonalizable한 $T$의 charateristic polynomial

$$det(xI-T)=(x-c_1{)}^{d_1}(x-c_2{)}^{d_2}\cdots (x-c_k{)}^{d_k}$$

에서 $d_i$는 eigenspace $W_i$의 dimension과 같다.

$$d_i=\dim (W_i)$$

그리고 diagonalizable의 정의로부터 $V$가 eigenspace들로 span되면 $T$는 diagonalizable하다. 따라서,

$$\dim (V)=\dim (W_1)+\dim (W_2)+\cdots +\dim (W_k)$$

이면 $T$는 diagonalizable하다. 이를 정리하면,

 

THEOREM            Properties of Diagonalizable Operators

 

Finite dimensional vector space $V$의 linear operator $T$에 대하여 다음은 동치이다.

 

1. $T$는 diagonalizable하다.

 

2. $T$의 characteristic polynomial

$$det(xI-T)=(x-c_1{)}^{d_1}(x-c_2{)}^{d_2}\cdots (x-c_k{)}^{d_k}$$

에서 $d_i$는 eigenspace $W_i$의 dimension과 같다.

 

3. $\dim (V)=\dim (W_1)+\dim (W_2)+\cdots +\dim (W_k)$