(선형대수학) 2.6 Kernel of Linear Transformation

물리에서 자주 사용하는 방정식들, Newton's 2nd law, Maxwell's equations, Schrödinger's equation 등은 differential equation이다. 따라서 주어진 물리적 조건에 맞는 differential equation의 해를 찾는 방법에 대한 기초적인 것들이 물리학과 학부과정 전반에서 쓰인다. 경우에 따라 differential equation이 선형대수학에서 다루는 구조를 가지는 경우도 있다. 예를 들어,

$$\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=0$$

에서 미분 연산자는 미분의 성질

$$\frac{d}{dx}(cf(x)+g(x))=c\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$$

로부터 linear operator임을 알 수 있다. 즉, $f$와 $g$가 solution이 된다면 $cf+g$도 solution이 된다. 흔히, differential equation을 homogeneous와 inhomogeneous로 나눠서 linear operator만 남게 되는 형태를 homogeneous라고 하는데, 이러한 homogeneous differential equation을 푼다는 것은 선형대수의 언어로 이야기 하자면, linear operator에 작용되어 결과로 zero vector가 되는 vector를 찾는 것이다.

 

DEFINITION            Kernel of Linear Transformation

 

Vector space $V$로부터 vector space $W$로의 linear transformation $T$에 대하여,

$$T\mathbf{v}=\mathbf{0}$$

을 만족하는 vector $\mathbf{v}\in V$의 집합을 $T$의 kernel 또는 null space라고 부르고 $\ker (T)$로 쓴다.

$$\ker (T)=\{\mathbf{v}\in V|T\mathbf{v}=0\in W\}$$

 

$\ker (T)$는$V$의 subspace임을 쉽게 확인할 수 있다. 이와 비슷하게 $T$의 image(또는 range라고 부른다)

$$\mathrm{im}(T)=\{T\mathbf{v}\in W|\mathbf{v}\in V\}$$

도 $W$의 subspace가 된다. 이를 종합하면 다음 그림과 같이 표현할 수 있다.

 

By Tomasz59 (Own work) [CC BY-SA 4.0], via Wikimedia Commons

 

$\dim V=n$이고, $\dim (\ker (T))=r$(단, $r\le n$), $\ker (T)$의 basis를 $\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r\}$라고 하자. $V$의 basis는

$$\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\}$$

으로 잡을 수 있다. 이제, $A=\mathrm{span}({\mathbf{e}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$이라고 하자. Vector ${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2\in A$가 linearly independent이면 $T{\mathbf{v}}_1$, $T{\mathbf{v}}_2$도 linearly independent이다.

($c_{1}T{\mathbf{v}}_1+c_{2}T{\mathbf{v}}_2=T(c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2)=\mathbf{0}$이려면 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2\in \ker (T)$이므로 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2=0$이어야한다. 따라서 $c_1=c_2=0$이다.)

그러므로 $\{T{\mathbf{e}}_{r+1},\cdots ,T{\mathbf{e}}_n\}$은 $\mathrm{im}(T)$의 basis가 된다. 즉, $\dim (\mathrm{im}(T))=n-r$이다. $\dim (\ker (T))$를 $\mathrm{nullity}(T)$라고 하고, $\dim (\mathrm{im}(T))$를 $\mathrm{rank}(T)$라고 한다.

 

THEOREM            Rank-Nullity Theorem

 

$T$를 finite dimensional vector space $V$로부터 vector space $W$로의 linear transformation이라고 하면,

$$\mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\dim V$$

 

Linear transformation은 basis가 정해지면 matrix로 표현될 수 있다. 따라서 matrix를 linear transformation이라고 생각한다면 비슷한 방식으로 matrix의 kernel과 image를 정의할 수 있다. Matrix equtation

$$AX=Y$$

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

에서 모든 $X$에 대한 $Y$의 집합을 $A$의 image라고 부르고 $Y=0$가 되는 모든 $X$의 집합을 $A$의 kernel이라고 부른다. 흔히 matrix $A$의 rank를 $A$의 row space의 dimension으로 정의하는데, 그렇게 정의하더라도 그 값은 image의 dimension과 같으므로 linear transformation에서 정의하는 rank와 같은 의미이다.

 

 

Example: Laplace Equation

 

전자기학의 핵심이 되는 Maxwell's equation's의 한 부분인 Gauss law

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\mathrm{div}(\mathbf{E})=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$

에서 $\rho =0$인 경우 gredient의 divergence는 0인 점을 이용하여

$$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi =\mathrm{grad}(\varphi )$$

로 둔다. 따라서 Gauss law는 Laplace's equation

$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x,y,z)=(\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{d^2}{d{y}^2}+\frac{d^2}{d{z}^2})\varphi (x,y,z)=0$$

이 된다. 이 식이 유효하기 위해서는 함수 $\varphi (x,y,z)$는 최소한 2번 미분가능 해야 한다. 2번 미분 가능한 함수들의 집합을 $V$라고 하자. 미분 연산의 성질로부터 $V$는 vector space임을 쉽게 확인할 수 있다. 그리고 vector($V$의 원소) $\varphi$에 작용하는 operator ${\mathrm{\nabla }}^2$는 linear operator가 되고 Laplace's equation을 만족하는 함수들의 집합(해집합)은 $\ker ({\mathrm{\nabla }}^2)$가 된다.

 

만약 $\ker ({\mathrm{\nabla }}^2)$들의 basis가 $\{f_n\}$이라고 한다면, 임의의 Laplace's equation의 solution $\varphi$는

$$\varphi =\sum _n{c}_n{f}_n$$

가 된다. 결국 Lapace equation을 푸는 것은 coefficient $c_n$을 구하는 것과 마찬가지이다. 전자기학이나 양자역학에서 소개되는 Legendre polynomials, Fourier series는 특정 boundary condition에서 $\ker ({\mathrm{\nabla }}^2)$의 basis가 된다.