commutator4 [양자역학] 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators Angular momentum에 대한 이론은 대학원 양자역학 수업의 절반을 차지할 정도로 중요한 주제이다. 또한, --classical, Noether theorem--에서 본 것과 같이 spherical symmetry를 가진 시스템은 angular momentum이 보존된다는 점으로부터 양성자의 Coulomb potential 하에서 전자의 운동으로 표현되는 수소 원자를 푸는데도 사용이 된다. 이번 페이지부터 angular momentum에 대한 양자역학 이론을 살펴본다. #Angular Momentum Operators고전적으로 angular momentum은$$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$로부터$$ \begin{align*} l_x &= y p_z - z p_y.. 2020. 6. 24. [양자역학] 3.3 교환자 Commutator 이번 페이지에서는 앞으로 양자역학 이론의 전개에 필요한 수학적 개념인 commutator에 대하여 알아본다. #Commutator of OperatorsCommutator는 다음과 같이 정의된다. DEFINITION Commutator of Operators wave function에 작용하는 operator \(A\)와 \(B\)에 대하여 다음의 연산을 \(A\)와 \(B\)의 commutator라고 한다.$$ [A,B] = AB - BA $$ 이 연산을 정확히 이해하기 위해서 먼저 operator에 대해서 이해해야 한다. operator는 함수를 받아서 새로운 함수를 내놓는 연산을 말한다. 예를 들어, position operator \(X\)는 함수 \(f\)에 작용하여 원래 함수에 \(x\)를 곱.. 2020. 6. 17. [양자역학] 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions (공백) 2. 물리적인 값의 측정은 hermitian operator로 표현되며, 측정값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다. (공백) Hermitian operator는 inner product를 이용하여 정의되는 linear operator이다. Hermitian operator의 eigenvalue는 항상 실수값을 갖는다. 따라서 두번째 공리는 물리적 측정값은 항상 실수값으로 나온다는 뜻이 된다. Hermitian operator의 또 다른 특징은 eigenvector들이 vector space의 basis를 이룬다는 것이다. 즉, Hermitian operator는 diagonalizable하다. 양자역학에서는 Hamiltonian operator나 momentum oper.. 2018. 10. 10. [다양체,텐서] 3.5-(1) Lie Groups, Lie Algebras ② Lie Algebras Lie group \(G\) 의 원소 \(g\) 에 대하여, 다음과 같이 정의되는 map \(L_g:G\to G\) , \(R_g:G\to G\) 를 각각 \(g\) 의 left multiplication, right multiplication이라고 부른다.$$ \begin{eqnarray} L_gh &=& gh \\ \\ R_gh &=& hg \end{eqnarray} $$만약 \(G\) 의 vector field \(X\) 가 모든 group element \(g\) 에 대하여,$$ (L_g)_\ast X = X $$를 만족하면, \(X\) 를 left-invariant하다고 부른다. 이러한 left-invariant한 vector field들의 집합은 vector space가.. 2018. 10. 8. 이전 1 다음