Quantum8 [양자역학] 2.2 자유 입자 A Free Particle ① 이번 페이지에서는 모든 영역에서 potential이 0인 입자에 대하여 살펴본다. 이러한 입자를 free particle이라고 한다. #1-dimensional Case1차원의 경우 Hamiltonian은$$ H = \frac{P^2}{2m} = -\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2} $$이므로 Eigenvalue equation은$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E \psi(x) $$가 된다. 이 식은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 Eigenvalue equation과 똑같은 형태이다. 그러나 boundary condition이 다르다. Infinite potential well의 경우 bounda.. 2020. 5. 30. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 양자역학을 배울 때 가장 처음으로 만나게 되는 a particle in a box 문제를 미분방정식과 선형대수학 관점에서 살펴보고 이들이 어떻게 연결되어 있는지 살펴보자. #Infinite Potential Well Problem 가장 쉬운 문제는 1-dimensional box 문제일 것이다. 질량이 \(m\)인 입자 한개가 \(0 2020. 5. 8. [양자역학] 1.5-(2) 에렌페스트 정리 Ehrenfest's Theorem 양자역학은 고전역학적으로 설명이 잘 안되는 작은 입자의 세계를 설명하기 위해 사용되는데, 큰 입자 스케일에서 양자역학은 고전역학으로 근사될 수 있다. 이러한 사실은 다음과 같은 정리로 표현된다. THEOREM Ehrenfest's Theorem (Generalized) Hamiltonian operator \(H\)와 normalized state vector이 주어진 물리적 시스템에 대하여 observable \(A\) 는 다음이 성립한다.$$ \frac{d}{dt} \left\langle A \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle [H,A] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\r.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation (공백)4. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 은 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( \(H\) 는 시스템의 Hamiltonian operator)$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle $$ 물리학의 궁극적인 목표는 시간 \(t_0\) 에서 어떤 물리적 시스템이 주어져 있을 때, 이 시스템이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 구하는 것이다. 고전역학에서는 \(t_0\) 에서 phase space의 좌표 \((x_0,p_0)\) 와 Hamiltonian \(\mathcal{H}(x,p)\)가 주어졌을 때, 그 시스템은 Hamilton e.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4-(1) Example: 슈테른-게를라흐 실험 Stern-Gerlach Experiment 양자역학에서 측정은 고전역학에서 측정에서 기대되는 것과는 전혀 다른 현상이 도출된다. 대표적인 예로 Stern-Gerlach 실험이 있다. #Stern-Gerlach ExperimentStern-Gerlach 실험은 아래 그림과 같이 균일하지 않은 magnetic field에 은 원자빔을 통과시켜서 은 원자의 스핀을 구분하는 실험이다. By Tatoute [CC BY-SA 4.0 ], from Wikimedia Commons 스핀은 입자에 주어지는 angular momentum의 일종으로 고전역학적으로는 기술되지 않는 현상이다. 고전역학에서 angular momentum은 임의의 모든 값이 가능하기 때문에 그림에서 4번과 같은 결과가 기대되지만, 실제 실험에서는 5번과 같이 2개의 값만이 검출된다. 스핀.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.4 측정, 확률 Measures, Probabilities (공백)3. State vector \(\left|\psi\right\rangle\) 가 observable \(L\) 에 대한 측정이 eigenvalue \(l\) (그리고 이에 대한 eigenvector를 \(\left| l \right\rangle\) ) 이 될 확률은 \(\left| \left\langle l | \psi \right\rangle \right|^2\) 에 비례한다. 측정의 결과로 state vector는 \(\left|\psi\right\rangle\) 에서 \(\left|l\right\rangle\) 로 변한다.(공백) 이번 가정에서 살펴볼 것은 측정 결과와 측정 행위에 대한 것이다. #Eigenvectors #Probabilities학부 양자역학 대부분은 \(L^2\) spac.. 2018. 10. 26. [양자역학] 1.2 상태 벡터 State Vectors (공백)1. 물리적 시스템은 inner producr가 정의된 complex vector space의 원소인 vector \(\left| \psi \right\rangle\)로 표현된다. 이 vector를 state vector라고 부른다.(공백) 선형대수학에서 vector space는 몇가지 공리들을 만족하는 집합을 말한다. 고전역학이나 전자기학에서 vector를 \(\vec{r}\) 또는 \(\mathbf{r}\) 처럼 표현했던 것과는 다르게 양자역학에서는 이 state vector를 \(\left| f \right\rangle\) 와 같이 표현한다. Inner product는 vector space에 정의되는 연산이다. State vector의 inner product를 \(\left\langle .. 2018. 10. 10. [양자역학] 1.1 양자역학 기본 가정 The Postulates of Quantum Mechanics 물리 현상을 기술한다는 것은 기술하고자 하는 물리적 시스템과 상태(states), 시스템의 상태를 대표해주는 관측값(observables), 그리고 시간의 변화에 따른 상태의 변화(dynamics)를 밝히는 것을 말한다. 따라서 양자역학적으로 물리 현상을 기술하기 위해서는 states, observables, dynamics가 양자역학에서 어떻게 표현되는지 먼저 알아야 한다. 이번 페이지에서는 양자역학의 기본 가정을 살펴보고 이를 통해 물리 현상이 어떻게 기술되는지를 살펴본다. #The Postulates of Quantum Mechanics양자역학이 state, observable, dynamics를 기술하는 방식을 고전역학에서 기술하는 방식과 비교해 보면 다음과 같이 정리된다. (몇몇 개념들은 수학적.. 2018. 10. 9. 이전 1 다음