[양자역학] 1.5-(2) 에렌페스트 정리 Ehrenfest's Theorem

양자역학은 고전역학적으로 설명이 잘 안되는 작은 입자의 세계를 설명하기 위해 사용되는데, 큰 입자 스케일에서 양자역학은 고전역학으로 근사될 수 있다. 이러한 사실은 다음과 같은 정리로 표현된다.

THEOREM            Ehrenfest's Theorem (Generalized)

Hamiltonian operator \(H\)와 normalized state vector이 주어진 물리적 시스템에 대하여 observable \(A\) 는 다음이 성립한다.

$$ \frac{d}{dt} \left\langle A \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle [H,A] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\rangle $$

Heisenberg picture에 따르면 equation of motion은

$$ \frac{d}{dt} A = \frac{i}{\hbar} \left[H ,A\right] + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_H $$

이므로 Ehrenfest's theorem은 당연하게 얻어진다.

Ehrenfest's theorem은 고전역학의 Hamilton equation

$$ \begin{eqnarray*} \dot{x} & = & \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} \\ \\ \dot{p} & = & -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} \end{eqnarray*} $$

으로부터 얻게되는 observable \(A\) 의 시간에 대한 변화식

$$ \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} A & = & \frac{\partial A}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial A}{\partial p} \frac{dp}{dt} + \frac{\partial A}{\partial t} \\ \\ & = & \frac{\partial A}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial t} = \left\{A,H\right\} + \frac{\partial A}{\partial t} \end{eqnarray*} $$

와 거의 비슷하다. 특히, 고전역학의 observable에서 양자역학의 observable을 얻는 방식인

$$ \left\{~ \cdot , \cdot ~\right\} ~~~~~\longrightarrow~~~~~ \frac{1}{i\hbar}\left[~ \cdot,\cdot ~\right] $$

와 expectation을 결합하면, Ehrenfest's theorem이 된다.

반대로, Hamiltonian operator가

$$ H = \frac{P^2}{2m} + V(X) $$

로 주어진 경우 \(X\) 와 \(P\) 에 대한 Ehrenfest's theorem은 

$$ \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \left\langle X \right\rangle & = & \left\langle \frac{\partial H}{\partial P} \right\rangle \\ \\ \frac{d}{dt} \left\langle P \right\rangle & = & -\left\langle \frac{\partial H}{\partial X} \right\rangle \end{eqnarray*} $$ 

가 된다.